Правильные многогранники

Правильный многоуг-к – это многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Их существует бесчисленное множество.

Правильные многогранники:

- Грани равные правильные многоугольники;

-В одной вершине сходится одно и тоже число ребер;

-(*) все двугранные углы равны.

Сколько же существует правильных многогранников?

N= 3 60⁰ *3=180⁰ < 360⁰ – прав.тетраэдр

N= 4 60⁰ *4=240⁰ < 360⁰ – прав.октаэдр

N= 5 60⁰ *5=300⁰ < 360⁰ – прав.икосаэдр

N= 6 – это невозможно

Сущ-ет только 5 Платон.тел (правильных многогранников),число граней у которых = 4, 6, 8, 12 или 20.

Докажем, что сущ-ет только 5 Платоновых тел с помощью Th Эйлера

Обозначим через p – число сторон у граней правильного многогранника.

По определению правильного многогранника в каждой вершине сходится одно и тоже число граней, которое обозначается через q.

Пусть Г – число граней, В –число вершин, Р - … ребер. Т.к. каждое ребро Î ровно двум граням, то p*Г = 2Р Т.к. каждое ребро имеет ровно 2 конца,

то q*B = 2P Þ Г=2Р/р (1) В=2Р/q (2)

По Th Эйлера Г + В – Р = 2. Подставим соотношения (1) и (2) в формулу Эйлера:

(3)

Найдем Р из (3): (4)

(5)

Т.к. в (5) знаменатель < 0, то (р-2)(q -2)<4, то число сторон у грани не меньше трех, т.е. р³3. Число q граней, сходящихся в вершине не меньше трехÞq³3.

Поэтому уравнение (3) при условии р³3 и q³3 имеет толко 5 целочисленных решений (p, q): (3,3), (3,4), (4,3), (3,5), (5,3) Þ комбинаторно различных многогранников, опираясь на Th Эйлера, доказали, что Платоновых тел не более 5.