Вычисление объемов и площадей поверхностей. Основные формулы.

Решение.

5.1. Найдем точки пересечения графиков функций (рис. 2.1):

= , x ² + 3 x – 4 = 0,

x ₁ = – 4, x ₂ = 1.

Вычисляем площадь

=

= =

= = .

5.2. Найдем точку пересечения графиков функций (рис. 2.2).

Сделаем замену неизвестной sin x = z. Тогда 2 – 2 z ² = 3 z, 2 z ² + 3 z – 2 = 0. Решая уравнение, находим z ₂= . Решение z = – 2 постороннее. Решаем да­лее, sin x = . Находим площадь

=

= = .

5.3. Ищем точку пересечения графиков функций (рис. 2.3):

2 x ² = , x ₁ = 0, x ₂ = 6.

При 0 ≤ x ≤ 6 имеем ≤ ≤ 2 x ². Поэтому

S = =

= = 36.

5.4. Ищем точку пересечения графиков функций (рис. 2.4):

ln(x + 6) = 3ln x = ln x ³, x + 6 = x ³.

Ясно, что x = 2. Находим площадь фигуры:

S = + .

Интегралы вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям. Для первого интеграла полагаем u = ln(x + 6), du = , v = x; для второго u = ln(x +
+ 6) – 3ln x, du = , v = x.

Получаем

– + –

– = ln7 – + 2ln8 – 6ln2 – ln7 –

– = – 1 + 6 ln7 – 6 ln6 + – 2 +

+ 6 ln 8 + 1 – 6 ln 7 + 3 = + 1.

5.5. В этой задаче мы рассмотрим в качестве функции x, а y будет аргументом (рис. 2.5). Ищем точки пересечения графиков функций y ² = y ² + 1. Находим y ₁ = – 2,
y ₂ = 2. Вычисляем площадь

= =

= = = .

При вычислении интеграла по отрезку [–2, 2] мы учли четность функции x = .

5.6. Здесь, как и в предыдущей задаче, удобнее считать y аргументом, а x – функцией. Тогда при вычислении площади нам потребуется только один интеграл, в то время как при вычислении площади фигуры, ограниченной графиками y ₁ = = 2 ^{x –3} + 1, y ₂ = 2^{3– x} + 1, y ₃ = , понадобится два интеграла, что хорошо видно из рис. 2.6.

Найдем выражение x через y. Получаем x ₁ = , x ₂ = = , ≤ y ≤ 2, так как точкой пересечения графиков функций x ₁ = и x ₂ = = будет точка (3, 2).

Вычисляем площадь фигуры

S = = .

Вычислим интеграл, применяя формулу интегрирования по частям, полагая

u = , du = , v = y – 1.

Тогда

S = – 2 = =

= = – 1 = .

5.7. Найти площадь фигуры (рис. 2.7), ограниченной параболой y = – x ² – 2 x + 3, касательной к ней в точке М (2, – 5), и осью ординат.

Решение. Найдем уравнение касательной: y ¢ = – 2 x – 2, y ¢(2) = – 6. Тогда y + 5 = – 6(x – 2) – уравнение касательной, проходящей через точку М (2, – 5). Перепишем уравнение в виде y = – 6 x + 7.

Вычислим площадь фигуры:

S = =

= = =

= = .

Вычислить площади криволинейных трапеций, образованных графиками следующих функций.

5.8. y = , x Î [0, 1).

5.9. y = х ⁴ e ^{– x}, x Î [0, ¥).

Решение.

5.8. При x Î[0,1) ≥ 0 и, следовательно,

S = = = =

= = + = 2.

Отметим, что в этом примере площадь вычислена с помощью несобственного интеграла.

5.9. Имеем

.

Вычислим интеграл с помощью формулы интегрирования по частям, примененной несколько раз. Воспользуемся обобщенной формулой интегрирования по частям (см. гл. I, § 3). Положим u = x ⁴. Тогда u ¢ = 4 x ³, u ¢¢ = 12 x ², u ¢¢¢ = 24 x, = 24. Далее v = e ^{- x}, v ₁ = = – e ^{– x} , v ₂ = = e ^{– x} , v ₃ = – e ^{– x} , v ₄ = e ^{– x} .

Получим

S = = – – –

– + .

Поскольку , m = 1, 2, … (это доказывается последовательным применением правила Лопиталя), то мы получаем

S = = = 24.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в следующих полярных координатах.

5.10. r = a cos3j, (a = 2).

5.11. r = 2 – cos j, r = cos j.

5.12. r = , r = (внутри окружности).

5.13. r = 2j, j= 0 (0 ≤ j ≤ 2π).

5.14. r ²= 4 cos 2j, r ²= 4 sin 2j (пересечение областей, ограниченных этими кривыми).

Решение.

5.10. Так как функция r = a cos 3j имеет период T = , то при изменении j от 0 до 2π радиус-вектор описывает три равных лепестка кривой (рис. 2.8). Допустимыми для j являются те значения, при которых cos 3j ≥ 0, откуда

≤j≤ ,

k = 0, ±1, ±2, …

При k = 0 имеем первый лепесток, соответствующий – ≤ j ≤ . При k = 1 получаем пределы для j, соответствующие второму лепестку, ≤ j ≤ . Если k = 2, то третий лепесток линии соответствует изменениям j: ≤ j ≤ . В этих трех промежутках заключена кривая, соответствующая изменению j от 0 до 2π (полный оборот). Если брать k = 3, 4, …, то мы не получим новой линии, а будем каждый раз проходить одну и ту же линию.

Поскольку лепестки одинаковы, то достаточно найти площадь одного из них и затем утроить.

Имеем

S = = 3 a ² = =

= = .

При вычислении интеграла мы учли четность функции cos²3j.

5.11. r = cosj – это уравнение окружности в полярных координатах (рис. 2.9). Найдем площадь фигуры между линией r = 2 – cos j и окружностью. Ясно, что площадь фигуры есть разность площадей, ограниченных двумя линиями:

S = S ₁ – S ₂, где S ₁ = ,

S ₂ = .

Вычисляем эти интегралы.

S ₁ = =

= = ,

S ₂ = = = = .

Окончательно получаем S = = .

При вычислении S ₂ мы использовали четность функции cos² j.

5.12. Найдем все значения j, при которых cos 2j ≥ 0. Имеем

≤j ≤ , k = 0, ±1, ±2,…

При k = 0 получаем ≤j≤ , при k = 1: ≤j ≤ . Далее при k = 2, 3, … мы будем получать один из этих двух лепестков (рис. 2.10). Итак, фигура ограничена двумя одинаковыми лепестками. Нас интересует площадь фигуры внутри окружности r = .

Найдем полярные координаты точек пересечения кривой r = с окружностью r = . Решая уравнение
= , получаем j = ± , k = 0, ±1, …

Выберем значения jиз отрезка [–π, π] такие, что cos 2j ≥ 0. Ясно, что достаточно рассмотреть = , = , что соответствует первому лепестку. Вычислим соответствующую площадь и удвоим ее, что даст нам искомую площадь. Имеем

S = + = + = +

= + 4 – 2 .

При вычислении второго интеграла мы учли симметрию фигуры относительно полярной оси.

 

5.13. Линия r = 2j – спираль, раскручивающаяся из начала координат O. Нам требуется определить площадь, ограниченную одним витком спирали и полярной осью.

Вычисляем площадь.

S = = = .

 

5.14. Линия r ²= 4 cos 2j представляет собой два одинаковых лепестка (рис. 2.12). Одному из них соответствуют углы ≤ j ≤ , другому ≤j ≤ . Линия r ²= 4 sin 2j образует два равных лепестка, один вписан в угол 0 ≤j≤ , второй – в угол π ≤ j≤ . Найдем точки пересечения линий:

4 sin 2j = 4 cos 2j, = , = .

Луч делит часть нашей области в первом квадранте пополам, луч делает то же самое с частью области в третьем квадранте. Достаточно найти площадь общей части

0 ≤ r ≤ , ≤j≤

и умножить на четыре. Это и будет искомое решение. Вычисляем

S = = = 4 =

= = 2(2 – ).

 

Перейдя к полярным координатам, найти площадь области, ограниченной кривыми (рис. 2.13 и 2.14).

 

Рис. 2.13 Рис. 2.14

 

5.15. x ² + y ² = 6 x, x ² + y ² = 6 y, точка принадлежит области.

5.16. x ² + y ² = 9, x ² + y ² = 2 x, x + y = 0, x – y = 0,

x > 0, x ² + y ² ≤ 9.

Решение.

5.15. Линии являются окружностями (x – 3)² + y ² = 9 и x ² + (y – 3)² = 9. Пересечение кругов делится биссектрисой y = x первого квадранта на две равные половины. Найдем площадь одной, затем удвоим.

В полярных координатах x = r cos j, y = r sin j, уравнение x ² + y ² = 6 x окружности принимает вид r = 6 cos j, уравнение второй окружности имеет вид r = 6 sin j.

Вычисляем площадь:

S = = 18 = = (π – 2).

5.16. Перейдем к полярным координатам x = r cos j, y = r sin j. Тогда граница области будет задаваться уравнениями r = 3, r = 2 cos j,
j = – , j = .

Наша область – фигура, симметричная относительно полярной оси (оси Ox). Найдем площадь заштрихованной области и результат удвоим. Получим искомый ответ.

Полярные координаты точки пересечения окружностей находятся из уравнения

3 = 2 cos j, cos j = , j = ± .

Вычисляем площадь:

= π + 6 =

= π + π + 3 = + 3× – 3 = .

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически.

5.17. x = a cos t, y = b sin t.

5.18. x = 3 cos t, y = 3 sin 2 t.

Решение.

5.17. Данная линия есть эллипс + = 1. Используя формулу для вычисления площади, находим

= =

= = π ab.

5.18. Выражая y через x, получаем

y = ± 2 x .

При x ≥ 0 и y = 2 x ≥ 0.

Таким образом, при изменении t от 0
до π точка (x, y) описывает на плоскости xOy замкнутую кривую, симметричную относительно оси Ox. При изменении t от π до 2π x изменяется сначала от 0 до –3 (t изменяется от π до ), затем от –3 до 0 . Ордината y = –2 x ≥ 0 при t Î и y = 2 x ≤ 0 – при t Î , т. е. при изменении t от π до 2π мы получаем снова замкнутую кривую, симметричную первой кривой относительно оси ординат.

Мы найдем площадь фигуры, соответствующей изменению t от 0 до , а затем умножим результат на четыре. Это и даст нам искомый ответ. Вычисляем

S = = = =

= = = 24.

Вычисление длины плоской кривой. Основные формулы

Если плоская кривая задана как график функции y = f (x), a ≤ x ≤ b, и производная y¢ = f¢ (x) непрерывна, то длина дуги этой кривой выражается интегралом

l = = .

Если кривая задана параметрически x = x (t), y = y (t), a ≤ t ≤ b и производные x¢ (t) и y¢ (t) непрерывны на отрезке [a, b], то длина дуги кривой выражается интегралом

l = .

Если кривая задана уравнением r = r (j), a≤ j ≤ b, в полярных координатах и r¢ (j) непрерывна на отрезке [a, b], то длина l дуги кривой выражается интегралом

l = .

ЕслиГ – пространственная кривая, заданная параметрически: x = x (t), y = y (t), z = z (t), a≤ t ≤ b, производные x¢ (t), y¢ (t) и z¢ (t) непрерывны на отрезке [a, b], то длинаГнаходится по формуле

l = .

Замечание. Пусть Г – некоторая кривая на плоскости xOy. Выра­жение

dl = ,

где dx ² = (dx)², dy ² = (dy)², называется дифференциалом длины дуги. Используя это понятие, можно единообразно записать формулу для вычисления длины кривой

l = = ,

где a и b, a ≤ b, обозначают границы изменения параметра, с помощью которого задается кривая. Пусть кривая Г есть график функции
x = x (y), c ≤ y ≤ d. Тогда dx = x¢ (y) dy и мы получаем

l = = .

Если кривая Г задана параметрически, то dx = x¢ (t) dt, dy = y¢ (t) dt
и мы получаем

l = = = .

Задание кривой с помощью полярных координат r = r (j), a ≤ j ≤ b, есть частный случай параметрического задания: x = r (j)cos j, y =
= r (j) sin j. Параметром здесь является j. Вычисляя дифференциалы dx = (r ¢ cos j – r sin j) d j, dy = (r ¢ sin j + r cos j) d j, убеждаемся, что
dl = = .

Для пространственной кривойГдифференциалом длины дуги называется выражение l = и длину кривойГможно выразить интегралом

l = = ,

где a и b (a ≤ b) – концы отрезка [a, b] – промежутка изменения параметра, с помощью которого задается кривая.

 

Рассмотрим примеры.

Вычислить длину дуги кривой.

5.19. y = 1 – ln cos x, 0 ≤ x ≤ .

5.20. y = 2 , 0 ≤ x ≤ 1.

5.21. x = , 0 ≤ y ≤ 4.

5.22. 3 y ² = x (x – 1)² (длину петли).

5.23. y = , 0 ≤ x ≤ ln 4.

5.24. y = , 0 ≤ x ≤ .

Решение.

5.19. Так как y ¢ = = tg x, то

.

5.20. Так как , то

.

Можно было рассмотреть нашу кривую как график функции , . Тогда вычисление длины кривой свелось бы к нахождению интеграла

.

5.21. Вычисляем производную = и далее = = , откуда

= = = .

5.22. Из условия следует, что y = 0 при x = 0 и x = 1, причем линия симметрична относительно оси Ox, так как y входит в уравнение в четной степени. Ясно, что достаточно вычислить длину половины петли, задаваемой уравнением y = , . (Вторая половина петли есть график функции ). Так как

, = ,

то мы получаем

= = .

5.23. Делаем предварительные вычисления:

= – = .

Вычисляем длину кривой

l = = = = 2.

5.24. Вычисляем производную:

= ,

тогда

= = .

Вычисляем длину кривой

l = = = =

= = = =

= .

Вычислить длину кривой, заданной в полярных координатах.

5.25. r = , – ≤ j≤ .

5.26. r = a (1 + cos j), 0 ≤ j≤ 2π (кардиоида).

5.27. r = th , 0 ≤ j≤ 2.

5.28. r = a cos⁴ .

Решение.

5.25. Вычисляем длину кривой по формуле

l = = = =

= = = .

5.26.

l = = =

= = = – =

= – = 4 a + 4 a = 8 a.

5.27.

l = = =

= = = =

= = = = 1 – th1.

5.28. Функция cos имеет период 8π. Функции , cos² , cos⁴ и т.п. имеют период 4π. Поскольку = , то линия симметрична относительно полярной оси и при изменении j от 0 до 2π полярный радиус опишет половину линии. Найдем длину половины кривой (рис. 2.16) и затем удвоим результат. Вычисляем

= a ² + = .

Отсюда следует

l = = = =

= = .

Вычислить длину кривой, заданной параметрически.

5.29. x = 6 t ⁵, y = 5 t (1 – t ⁸), 0 ≤ t ≤ 1.

5.30. x = ln(1 + t ²), y = 2arctg t – 2 t + 8, 0 ≤ t ≤ 1.

5.31. x = t – sh 2 t, y = 2 ch t, 0 ≤ t ≤ 1.

5.32. x = 2 cos³ t, y = 2 sin³ t.

5.33. x = t ², y = t – t ³ (длину петли).

Решение.

5.29. Вычисляем, используя соответствующую формулу:

l = = =

= 5 = 5 = = 10.

5.30.

= + = .

Поэтому

l = = = .

5.31.

= (1 – ch 2 t)² + 4sh² t = | ch 2 t – 1 = 2 sh² t | = 4 sh⁴ t + 4sh² t =

= 4 sh² t ch² t = sh² 2 t.

Поэтому

l = = = = sh² 1.

5.32. Уравнение линии (астроиды) в декартовых координатах имеет вид или (рис. 2.17).

Отсюда следует, что линия симметрична относительно обеих осей координат. Вычислим четверть длины астроиды, что соответствует изменению параметра t от 0 до , и результат учетверим. Вычисляем

= 36 cos⁴ t sin² t + 36 sin⁴ t cos² t =

= 36 sin² t cos² t = 9 sin² 2 t.

Отсюда следует

l = = = 6 + 6 = 12.

5.33. Если выразить y через x, то мы получаем

,

откуда следует, что при x Î [0, ] графики симметричных относительно оси Ox функций

и

образуют замкнутый контур на плоскости xOy (петлю). График функции

получается, когда t изменяется от –1 до 0, а при изменении t от 0 до 1 точка (x, y) движется по графику функции

от точки O (0, 0) до точки A (, 0).

Вычисляем сначала = 12 t ² + (1 – 3 t ²)² = (1 + 3 t ²)². Поэтому

l = = = 4.

Вычислить длину дуги пространственной кривой.

5.34. x = 3 t – t ³, y = 3 t ², z = 3 t + t ³, 0 ≤ t ≤ 1.

5.35. x = at, y = , z = , ≤ t ≤ 1.

5.36. x = e^t, y = e^-t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2.

5.37. x = a (1 + cos t), y = a (t – sin t), z = 4 a sin , 0 ≤ t ≤ 2.

Решение.

5.34. Вычисляем длину кривой по формуле

l = = =

= = = = 4 .

5.35.

= =

= = = .

Отсюда получаем

l = = = = .

 

5.36. Имеем = e ^{2 t} + e^{– 2 t} +2 = (e^t + e^–t)². Откуда получаем

l = = = = 2 sh 2.

5.37. Сделаем предварительные вычисления:

= 4 =

= = 4 a ².

Мы использовали здесь тригонометрическую формулу 1 – cos t = = .

Вычисляем длину кривой

l = = 4 a.

Вычисление объемов и площадей поверхностей. Основные формулы.

Пусть S (x) – площадь сечения тела V плоскостью, перпендикулярной к оси Ox в точке с абсциссой x, a и b – левая и правая границы изменения x. Тогда объем тела V выражается интегралом

V = .

Если тело V образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x) ≥ 0, a ≤ x ≤ b, осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, то объем тела V вычисляется по формуле

V = = .

Если тело образовано вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции x = g (y), c ≤ y ≤ d (g (y) ≥ 0), то объем тела выражается интегралом

V = = .

Есл