3.1. Площадь плоской фигуры
3.1.1. Площадь фигуры в ДСК.
Как известно, площадь криволинейной трапеции 
, если 
. Если же 
- знакопеременная функция, то
де 
В случае, если плоская фигура ограничена сверху кривой 
, а снизу – кривой 
, то
у
x
О а b
3.1.2. Площадь фигуры, если ее граница задана параметрическими уравнениями.
Пусть для криволинейной трапеции линия задана параметрическими уравнениями: 
при этом 
. Тогда, делая замену в интеграле, получаем
(1)
Пример 1. Найти площадь эллипса 
.
Запишем параметрические уравнения эллипса 
Тогда по формуле (1) в силу симметрии получим
3.1.3. Площадь в полярной системе координат 
(площадь криволинейного сектора).
Рассмотрим фигуру, ограниченную двумя 
лучами: 
, выходящими из полюса 
и кривую 
. Определим её площадь. 
Для этого разобьём её на п секторов с О P
площадью 
Составим интегральную сумму
, (2)
где 
.
Переходя к пределу в формуле (2) при 
, имеем
(3)
Пример 2. Найти площадь кардиоиды 
В силу симметрии, с учетом формулы (3),
получаем
а
-2 а О
3.2. Длина дуги плоской кривой
3.2.1. Кривая задана в ДСК.
Определим длину дуги АВ. Впишем в неё ломаную, длина которой 
у
х
О а 
b
Воспользуемся теоремой Лагранжа: 
, где 
. Тогда
. (4)
Пример 3. Найти длину дуги линии 
при 
.
3.2.2. Линия задана параметрическими уравнениями.
Линия задана уравнениями 
и пусть 
. Тогда, заменяя переменную в интеграле (4), с учетом значе-ния производной от функции, заданной параметрическими уравнениями, 
из формулы (4) следует
(5)
Замечание. Выражения 
назы-ваются дифференциалами дуги.
Пример 4. Найти длину развертки окружности 
Согласно формуле (5) получаем
3.2.3. Линия задана в полярной системе координат.
Рассматривая 
как параметр с учетом, что 
и 
, получаем
Тогда из формулы следует
. (6)
Пример 5. Найти длину кардиоиды 
.
В силу симметрии по формуле (6) получаем
3.3. Площадь поверхности тела вращения
Пусть линия 
вращается вокруг оси О х.
Определим площадь
поверхности вращения. у
Разобьём 
на п
частей и впишем ломаную
в график 
. Тогда каждая
хорда опишет боковую
поверхность усеченного х
конуса с площадью О а 
b
.
Учитывая, что при 
, и переходя к пределу в интегральной сумме, получим
(7)
Пример 6. Найти площадь поверхности сферы 
.
Рассмотрим сферу как поверхность, образованную вращением полу-
окружности 
вокруг оси О х. Тогда 
и по формуле (7) имеем
.
3.4. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений
Пусть нам известна площадь любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси О х: 
.
а 
b х
Составим интегральную сумму 
. Тогда
(8)
Следствие. Если тело получено путём вращения криволинейной трапеции вокруг оси О х, то из формулы (8) следует
(9)
Аналогично, если тело получено путём вращения вокруг оси О у, то
Пример 7. Найти объём шара 
.
Рассмотрим шар как тело, образованное вращением полукруга 
вокруг оси О х. Тогда по формуле (9) получаем
Лекция № 31
3.5. Приложения определённого интеграла к некоторым задачам физики
Приложения определённого интеграла к задачам физики рассмотрим на двух показательных примерах, решения которых представляют собой общую идею решения подобных задач.
Задача 1. Определить работу, затраченную на откачку жидкости из резервуара, имеющего форму поверхности, полученную при вращении линии
вокруг оси О у.
у
х
Н у
О х
Работа при подъёме элементарного объёма жидкости
,
где 
- плотность жидкости, Н - глубина резервуара. Тогда
где 
- обратная функция к функции .
Задача 2. Определить давление жидкости на вертикальную пластину, имеющую форму равнобочной трапеции, у которой большее основание совпадает с уровнем жидкости.
а
a - b
x y
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 
h
b
Давление жидкости на элементарную полоску 
. Из подобия треугольников определим 
Тогда интегрируя, получаем
.