Математика
Курс 1 семестр
Направление «Педагогическое образование»
Профили «Психология образования», «Дошкольное образование»,
«Физкультурное образование»
Экзамен
Контрольная работа
Сдается в первый день сессии в письменном виде
Вариант № 1
Задача № 1. Из 10 изделий, среди которых 4 бракованные, извлекают 3. Найти вероятность того, что среди них одно бракованное.
Задача № 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С: P(A)= 0,5; P(B)= 0,4; P(C)= 0,6. Определить вероятность того, что а)произойдет по крайней мере одно из этих событий, б)произойдет не более двух событий.
Задача № 3. Вероятности попадания в цель: первого стрелка – 0,6; второго – 0,7; третьего – 0,8. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель при одновременном выстреле всех трех.
Задача № 4. Известно, что 80 % продукции – стандартно. Упрощенный контроль признает годной стандартную продукцию с вероятностью 0,9 и нестандартную с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что признанное годным изделие – стандартно.
Задача № 5. Имеется 4 радиолокатора. Вероятность обнаружить цель для первого – 0,86; для второго – 0,9; для третьего – 0,92; четвертого – 0,95. Включен один из них. Какова вероятность обнаружить цель?
Вариант № 2
Задача № 1. Из 15 деталей 10 окрашено. Найти вероятность того, что из выбранных наугад 4-х две окрашенные.
Задача № 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С: P(A)= 0,5; P(B)= 0,7; P(C)= 0,3. Определить вероятность того, что: а) произойдет не более двух событий, б) произойдет одно и только одно из этих событий.
Задача № 3. Среди 15 изделий 6 неисправно. Найти вероятность того, что среди 5 проверенных хотя бы одно неисправно.
Задача № 4. Четыре стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания первого – 0,4; второго –0,6; третьего – 0,7; четвертого – 0,5. Какова вероятность, что промахнулся первый?
Задача № 5. Имеется три коробки с шарами. В первых двух по 2 черных и 2 белых шара, в третьей – 5 белых и 1 черный. Из коробки, взятой наугад извлечен белый шар. Найти вероятность того, что это была третья коробка.
Вариант № 3
Задача № 1. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков четная.
Задача № 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С: P(A)= 0,4; P(B)= 0,6; P(C)= 0,8. Определить вероятность того, что: а) произойдет одно и только одно из этих событий, б) произойдет не более двух событий.
Задача № 3. Вероятность, что первый станок исправен – 0,9; второй –0,8; третий – 0,85. Найти вероятность того, что хотя бы один неисправен.
Задача № 4. Вероятность попадания в цель для первого стрелка –0,8; для второго – 0,7; третьего – 0,6. При одновременном выстреле всех трех имелось одно попадание. Найти вероятность того, что попал третий стрелок.
Задача № 5. В первой коробке 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных. Из первой во вторую переложи- ли два шара. Затем из второй коробки взяли шар, оказавшийся белым. Какой состав переложенных шаров наиболее вероятен?
Вариант № 4
Задача № 1. Из 40 вопросов студент изучил 30. Найти вероятность того, что он ответит на два вопроса.
Задача № 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С: P(A)= 0,3; P(B)= 0,5; P(C)= 0,2. Определить вероятность того, что: а) произойдет по крайней мере одно из этих событий, б)произойдет два и только два события.
Задача № 3. Из 15 изделий 5 бракованных. Найти вероятность того, что из 4 проверенных не более одной бракованной.
Задача № 4. В сетке 9 мячей, из них 6 – новые. Для первой игры берут три, которые потом возвращают. Для второй снова берут 3. Найти вероятность того, что для второй игры взяли три новых мяча.
Задача № 5. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25; 0,35; 0,4. Вероятности работы в течение года равны соответственно 0,2; 0,1; 0,4. Найти вероятность того, что лампа проработает в течение года.
Вариант № 5
Задача № 1. Имеется 3 белых и 5 черных шара. Вынимают два. Найти вероятность того, что они разного цвета.
Задача № 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С: P(A)= 0,3; P(B)= 0,8; P(C)= 0,5. Определить вероятность того, что: а) произойдут ровно два из этих событий, б) произойдет не более одного события.
Задача № 3. Изделие стандартно с вероятностью Р = 0,9. Найти вероятность того, что из трех изделий два стандартно.
Задача № 4. На двух станках производят детали, причем на втором в два раза больше, чем на первом. Вероятность брака на первом станке – 0,1; на втором – 0,2. Найти вероятность того, что произвольно взятая деталь бракованная.
Задача № 5. Из 20 стрелков шесть попадают в цель с вероятностью 0,8; девять – с вероятностью 0,5 и пять с вероятностью 0,2. Наудачу выбранный стрелок попал в цель. К какой из групп он вероятнее всего принадлежит?
Вариант № 6
Задача № 1. Десять книг расставляются на одной полке. Най- ти вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом.
Задача № 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С: P(A)= 0,5; P(B)= 0,3; P(C)= 0,6. Определить вероятность того, что: а) произойдут только со- бытия А и В. б) произойдет не более двух событий.
Задача № 3. Вероятность попадания в цель для первого стрел- ка – 0,6; второго – 0,7; третьего – 0,8. Найти вероятность того, что будет хотя бы два попадания.
Задача № 4. Три стрелка стреляют в цель с вероятностями 0,7; 0,4; 0,3. При их одновременном выстреле имеется два попадания. Что вероятнее: попал третий стрелок в цель или промахнулся?
Задача № 5. Из 10 изделий число бракованных (0, 1, 2) равно- вероятно. Зная, что 5 взятых наугад изделий годные, найти вероятность того, что оставшиеся тоже годные.
Вариант № 7
Задача № 1. Имеется 40 путевок, среди которых 15 на юг. Найти вероятность того, что из 10 взятых наугад 4 на юг.
Задача № 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С: P(A)= 0,8; P(B)= 0,4; P(C)= 0,5. Определить вероятность того, что: а) произойдут по крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного события.
Задача № 3. Вероятность того, что произойдет одно и только одно событие из двух 0,44. Какова вероятность второго события, если вероятность первого – 0,8.
Задача № 4. В коробке было 9 белых и 6 черных шара, два из которых потерялись. Первый наугад взятый шар оказался бе- лым. Найти вероятность того, что потерялись два черных.
Задача № 5. Из 18 стрелков пять попадают в цель с вероятностью Р 1 = 0,8; семь с Р 2 = 0,7; четыре с Р 3 =0,6 и два с Р 4 = 0,5. Наудачу выбранный стрелок промахнулся. К какой из групп вероятнее всего он принадлежал?
Вариант № 8
Задача № 1. Из колоды в 52 карты выбирают 5. Найти вероятность того, что среди них один туз.
Задача № 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С: P(A)= 0,5; P(B)= 0,6; P(C)= 0,4. Определить вероятность того, что: а) произойдет по крайней мере одно из этих событий, б) ни одного события не произойдет.
Задача № 3. Деталь проходит три стадии обработки. Вероятность получения брака на первой стадии – 0,02; на второй – 0,06 и на третьей – 0,12. Какова вероятность изготовления бракованной детали?
Задача № 4. Имеется две партии изделий в 15 и 20 шт.; в первой два, во второй три бракованных. Одно изделие из пер- вой переложили во вторую, после чего из второй берут одно наугад. Найти вероятность того, что оно бракованное.7
Задача № 5. Три охотника выстрелили по зверю, который был убит одной пулей. Найти вероятность того, что зверь был убит третьим стрелком, если вероятности попадания равны Р 1 = 0,5; Р 2 = 0,6; Р 3 = 0,7.
Вариант № 9
Задача № 1. Группа из 8 человек занимают места за круглым столом. Найти вероятность того, что два определенных человека окажутся рядом.
Задача № 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С: P(A)= 0,7; P(B)= 0,4; P(C)= 0,5. Определить вероятность того, что: а) произойдет одно и только одно из этих событий, б) произойдет не более двух событий.
Задача № 3. Имеется 15 шаров, из которых 5 – черные. Наугад берут три. Найти вероятность того, что хотя бы один из них черный.
Задача № 4. В телеграфном сообщении “точка” и “тире” встречаются в соотношении 4: 3. Известно, что искажаются 25 % “точек” и 20 % тире. Найти вероятность того, что принят переданный сигнал, если принято “тире”.
Задача № 5. В коробке лежит шар неизвестного цвета – черный или белый равновероятно. К нему добавляют белый шар и после перемешивания вытаскивают шар оказавшийся белым. Найти вероятность того, что остался белый шар.
Вариант № 10
Задача № 1. 25 экзаменационных билетов содержат по два вопроса. Студент может ответить на 45 вопросов. Найти вероятность того, что вытянутый билет состоит из подготовленных вопросов.
Задача № 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С: P(A)= 0,4; P(B)= 0,5; P(C)= 0,7. Определить вероятность того, что: а) произойдет по крайней мере одно из этих событий, б) произойдет два и только два из этих событий.
Задача № 3 Среди 20 билетов 5 выигрышных. Найти вероятность того, что среди двух выбранных наугад хотя бы один вы- игрышный.8
Задача № 4. В коробке было 9 белых и 6 черных шара, два из которых потерялись. Первый наугад взятый шар оказался черным. Найти вероятность того, что потерялись два белых.
Задача № 5. Известно, что 80 % изделий стандартно. Упро- щенный контроль признает годной стандартную продукцию с вероятностью 0,9 и нестандартную с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что признанное годным изделие стандартно.
Вариант № 11
Задача № 1. Группа из 8 человек занимают места за круглым столом. Найти вероятность того, что два определенных человека окажутся рядом.
Задача № 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С: P(A)= 0,5; P(B)= 0,7; P(C)= 0,6. Определить вероятность того, что а) произойдет по крайней мере одно из этих событий, б) произойдет только событие В.
Задача № 3. Сколько нужно взять чисел из таблицы случай- ных чисел, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9 среди них было бы хотя бы одно четное?
Задача № 4. Известно, что 90 % продукции – стандартно. Упрощенный контроль признает годной стандартную продукцию с вероятностью 0,8 и нестандартную с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что признанное годным изделие – нестандартно.
Задача № 5. Имеется два набора деталей, в первом все стандартные, во втором 1/4 – нестандартных. Деталь, взятая из одного набора – стандартна. Найти вероятность того, что вторая деталь, взятая из того же набора стандартна при условии возвращения первой детали.
Вариант № 12
Задача № 1. Колода из 36 карт делится пополам. Найти веро- ятность того, что в каждой половине будет по 2 туза.
Задача № 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С: P(A)= 0,5; P(B)= 0,4; P(C)= 0,3. Определить вероятность того, что: а) произойдет по крайней мере два из этих событий, б) ни одного события не произойдет.
Задача № 3. Три последовательно соединенных элемента выходят из строя с вероятностями Р 1 = 0,3; Р 2 = 0,4; Р 3 = 0,6. Найти вероятность того, что в цепи будет разрыв.
Задача № 4. Четыре стрелка одновременно стреляют по ми- шени. Вероятность попадания первого – 0,4; второго –0,6; третьего – 0,7; четвертого – 0,5. Какова вероятность, что промахнулся первый?
Задача № 5. Имеется три коробки с шарами. В первых двух по 2 черных и 2 белых шара, в третьей – 5 белых и 1 черный. Из коробки, взятой наугад извлечен белый шар. Найти вероятность того, что это была третья коробка.
Вариант № 12a
Задача № 1. Колода из 36 карт делится пополам. Найти вероятность того, что в каждой половине будет по 2 туза.
Задача № 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С: P(A)= 0,5; P(B)= 0,4; P(C)= 0,3. Определить вероятность того, что: а) произойдет по крайней мере два из этих событий, б) ни одного события не произойдет.
Задача № 3. Три последовательно соединенных элемента выходят из строя с вероятностями Р1 = 0,3; Р2 = 0,4; Р 3 = 0,6. Найти вероятность того, что в цепи будет разрыв.
Задача № 4. В телеграфном сообщении “точка” и “тире” встречаются в соотношении 4: 3. Известно, что искажаются 25 % “точек” и 20 % тире. Найти вероятность того, что принят переданный сигнал, если принято “тире”.
Задача № 5. Имеется три коробки с шарами. В первых двух по 2 черных и 2 белых шара, в третьей – 5 белых и 1 черный. Из коробки, взятой наугад извлечен белый шар. Найти вероятность того, что это была третья коробка.
Задача № 6. Для данного высказывания
1) построить таблицу истинности;
2) упростить высказывание, пользуясь тождествами алгебры высказываний;
3) убедиться в равносильности исходной и полученной формул, построив таблицу истинности полученной в результате упрощения формулы.
Примерный перечень вопросов к экзамену
1. Понятие о комбинаторной задаче. Правила суммы и произведения. Перестановки. Размещения. Сочетания.
2. Испытания и события. Виды случайных событий.
3. Классическое определение вероятности. Статистическая вероятность.
4. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
5. Полная группа событий.
6. Противоположные события.
7. Произведение событий.
8. Условная вероятность.
9. Теорема умножения вероятностей.
10. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
11. Вероятность появления хотя бы одного события.
12. Теорема сложения совместных событий.
13. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса.
14. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины.
15. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
16. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
17. Задачи математической статистики.
18. Генеральная и выборочная совокупности.
19. Повторная и бесповторная выборки.
20. Способы отбора.
21. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения.
22. Полигон и гистограмма.