Введение.
Общие организационно-методические указания по изучению дисциплины «Математика», методические рекомендации для преподавателей, а также методические рекомендации по контролируемой самостоятельной работе студентов приведены в рабочей учебной программе по дисциплине «Математика», одним из разделов которой является «Теория вероятностей и Математическая статистика».
Изучение основ теории вероятностей и математической статистики при заочной форме обучения в рамках дисциплины «Математика, часть2» предусматривает 20 часов установочных лекций (тьюториалов) и 90 часов самостоятельной работы студента. Основу методического сопровождения дисциплины составляет электронный учебник «Теория вероятностей и математическая статистика», содержащий помимо настоящих методических указаний:
· рабочую учебную программу по дисциплине,
· контент,
· компьютерный интеллектуальный тьютор,
· компьютерный тест закрытого типа,
· хрестоматию,
· методические указания по изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения.
Заочная форма обучения предполагает, что в часы аудиторных занятий преподаватель прорабатывает в группе наиболее важные, основополагающие понятия и методы учебного курса. Глубина такой проработки и охват учебного материала существенно зависят от состава и уровня подготовки аудитории, мотивации и др. При этом большая часть учебного материала дисциплины выносится на самостоятельное изучение студентов с активным использованием комплекса средств методической поддержки и контроля.
Изучение основ теории вероятностей и математической статистике завершается выполнением итогового компьютерного теста закрытого типа и решением письменной контрольной работы.
Общие требования к выполнению контрольной работы.
Письменная контрольная работа по алгебре и геометрии содержит 10 контрольных заданий (задач). Преподаватель определяет продолжительность написания контрольной работы (в случае проведения контрольной работы в часы аудиторных занятий), возможность использования студентами каких-либо источников (книги, конспекты, ЭУМК и т.д.), а также распределяет варианты контрольных работ между студентами группы. Во всех случаях предполагается самостоятельное решение каждым студентом контрольных заданий своего варианта, подготовка и представление преподавателю на проверку письменного решения. Письменное решение контрольной работы должно быть аккуратно оформлено (с использованием ручки чёрного \ синего цвета) и подписано студентом.
3. Содержание (условие) контрольных заданий.
Вариант 1.
Задача 1.
Набирая номер телефона, абонент забыл последние 2 цифры и набрал их наудачу, помня, что они различны. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
Задача 2.
Круговая мишень состоит из трёх зон. Вероятности попадания в эти зоны при одном выстреле соответственно равны 0,1; 0,35 и 0,4. Найти вероятность:
а) попадания в первую или третью зоны;
б) промаха по мишени.
Задача 3.
Монета подбрасывается 5 раз в неизменных условиях. Успехом считается герб (событие А). Найти вероятность того, что герб появится 3 раза.
Задача 4.
Дан ряд распределения случайной величины ξ:
| ||||
| 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,2 |
Найти:
а) М(ξ+2);
б) Д(ξ+2).
Задача 5.
Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятностей:
Найти вероятность того, что случайная величина ξ примет значение меньше 0.
Задача 6.
Задана двумерная дискретная величина:
 
| ||
| 0,1 | 0,3 | |
| 0,2 | 0,15 | |
| 0,15 | 0,1 |
Найти ряды распределения случайных величин и .
Задача 7.
Стрелок выполнил 400 выстрелов. Найти вероятность 325 попаданий, если
вероятность при каждом выстреле 0,8.
Задача 8.
По списку на предприятии числится 20 рабочих, которые имеют следующие разряды:
1,5,2,4,3,4,6,4,5,1,2,2,3,4,5,3,4,5,2,1.
Составьте сгруппированный ряд распределения рабочих по разрядам. Определите средний разряд рабочего, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.
Задача 9.
Для определения потерь зерна при уборке проведено 100 измерений случайным образом. Средняя величина потерь составила 1,8 ц с одного гектара посевов при среднем квадратическом отклонении 0,5 ц с га. С доверительной вероятностью 0,95 определить границы, в которых может находиться средняя величина потерь с 1 га.
Задача 10.
Результат прочности на сжатие (случайная величина ξ) – 200 образцов бетона – представлены в виде сгруппированного ряда:
Интервалы прочности кг/ 
| 190-200 | 200-210 | 210-220 | 220-230 | 230-240 | 240-250 |
|
Требуется проверить основную гипотезу о нормальном законе распределения прочности образцов бетона на сжатие. Уровень значимости принять q = 0,01.
Решение варианта 1.
Задача 1.
Для решения задачи используем классическое определение вероятности (контент, п.1.3.1.).
Событие А – номер набран верно.
Р(А)= 
где 
, так как только один вариант набора верен, всего таких вариантов 
Ответ: Р(А)= 
Задача 2.
События: 
- попасть в первую зону; 
- попасть во вторую зону; 
- попасть в третью зону; А – попасть в первую или третью зоны; В – промах по мишени.
а) Так как события и несовместны, используем теорему сложения для несовместных событий (контент, формула 2.2.3).
Р(А)= 
0,1+0,4=0,5.
б) События , и независимы используем формулу умножения вероятностей для независимых событий (контент, формула 2.1.4).
Р(В)= 
=(1-0,1)∙(1-0,35)∙(1-0,4)=0,9∙0,65∙0,6=0,351.
Ответ: Р(А)=0,5; Р(В)=0,351.
Задача 3.
Для решения задачи используем формулу Бернулли (контент, п.3.1.1).
Ответ: вероятность того, что герб выпадет 3 раза из 5 равна 0,3125.
Задача 4.
Для решения задачи воспользуемся определением и свойствами математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины (контент, §4.4).
а) 
=0∙0,1+1∙0,4+2∙0,3+3∙0,2+2=3,6.
б) 
=0,84.
Ответ: М(ξ+2)=3,6; D(ξ+2)=0,84.
Задача 5.
Для решения задачи воспользуемся одним из свойств функции распределения (контент,§5.1).
Ответ: вероятность того, что ξ меньше 0 равна 0,5.
Задача 6.
Для построения рядов распределения случайных величин 
и 
воспользуемся формулами 8.2.2 (контент, § 8.2).
Таким образом, ряд распределения имеет вид:
| |||
| 0,4 | 0,35 | 0,25 |
Ряд распределения имеет вид:
| ||
| 0,45 | 0,55 |
Задача 7.
Для решения задачи воспользуемся локальной теоремой Муавра – Лапласа (контент, теорема 3.4.1).
Значения функции 
берём из таблицы 12.1 контента.
Ответ: вероятность того, что стрелок попадёт 325 раз 400 равна 0,0409.
Задача 8.
Построение сгруппированного ряда для дискретного признака подробно описано в § 9.2 контента. Составим таблицу, в которой перечислим варианты и их частоты.
| ||||||
|
Для определения выборочных характеристик воспользуемся формулами приведёнными в § 9.5.
Ответ: средний разряд рабочего равен 3,3 при среднем квадратическом отклонении 1,49.
Задача 9.
В этой задаче требуется построить доверительный интервал для математического ожидания при известном среднем квадратическом отклонении (контент, п.10.2.1).
Параметр 
определяем из равенства: 
Для нахождения используем таблицу 12.2.
Ответ: средняя величина потерь находится в границах (1,702;1,898).
Задача 10.
В качестве основной гипотезы будем рассматривать гипотезу 
: 
. Для её проверки воспользуемся критерием Пирсона, алгоритм использования которого изложен в § 11.2.
Начнём решение задачи с определения выборочных характеристик.
Для определения 
составим таблицу.
Интервалы, 
| Частоты, 
| 
| 
|
| -∞-200 | 0,0446 | 0,13 | |
| 200-210 | 0,1421 | 0,21 | |
| 210-220 | 0,2814 | 0,0013 | |
| 220-230 | 0,2992 | 0,289 | |
| 230-240 | 0,1709 | 0,511 | |
| 240-+∞ | 0,0614 | 0,241 |
Например, 
Для определения критической точки воспользуемся таблицей 12.4 критических точек распределения хи-квадрат. Так как неизвестные параметры распределения были заменены их точечными оценками, число степеней свободы будет на 3 меньше числа интервалов, то есть 
. Итак, 
Так как 
, то гипотеза принимается.
Ответ: данные согласуются с гипотезой о нормальном законе распределения.
Вариант 2.
Задача 1.
В ящике 15 деталей, среди которых 10 - окрашены. Сборщик наудачу выбрал 3 детали. Найти вероятность того, что эти детали окрашены.
Задача 2.
По предмету теория вероятностей и математическая статистика имеется 30 экзаменационных билетов. Студент выучил только 20. Каким ему выгоднее зайти на экзамен – первым или вторым?
Задача 3.
Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6. Он собирается произвести 10 выстрелов. Найти вероятность того, что он попадёт в цель три раза.
Задача 4.
Вероятность работы каждого из четырёх банкоматов без поломок в течении определённого времени равна 0,9. Составить ряд распределения случайной величины ξ – числа банкоматов, работающих без поломок. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ.
Задача 5.
Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятностей:
Найти вероятность того, что ξ примет значение, принадлежащее интервалу (0;1).
Задача 6.
Задана двумерная дискретная величина:
|
| ||
| 0,1 | 0,05 | |
| 0,2 | 0,3 | |
| 0,3 | 0,05 |
Найти ряды распределения для случайных величин и .
Задача 7.
Завод отправил 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути разобьётся изделие, равна 0,0002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено 3 изделия.
Задача 8.
В результате тестирования группа из 24 человек получила следующие баллы: 4,0,3,4,1,0,3,1,0,4,0,0,3,1,0,1,1,3,2,3,1,2,1,2. Составить сгруппированный ряд распределения студентов по баллам. Найти средний балл, выборочную и исправленную дисперсии.
Задача 9.
С помощью случайной выборки изучалось время открытия банковского счёта в различных банках. На основании 60 наблюдений установлено, что в среднем на выполнение этой операции затрачивалось 0,5 часа, при среднем квадратическом отклонении 0,12 часа. Считая время выполнения производственной операции нормально распределённой случайной величиной, определить границы, в которых находится среднее время открытия счёта с доверительной вероятностью 0,9.
Задача 10.
Из нормальной генеральной совокупности сельскохозяйственных предприятий, рассматриваемых по показателю урожайности пшеницы, с известным средним квадратическим отклонением σ = 9,4 и генеральной средней 
= 38,1, извлечена выборка объёма n = 50. По ней найдена выборочная средняя 
= 42. Требуется при уровне значимости 
=0,05 проверить основную гипотезу 
: 
=38,1 при конкурирующей гипотезе 
Вариант 3.
Задача 1.
В группе 25 студентов, из них 10 юношей и 15 девушек. Какова вероятность того, что из вызванных наудачу трёх студентов все три девушки?
Задача 2.
При исследовании жирности молока коров всё стадо было разбито на три группы. В первой группе оказалось 70%, во второй 23% и в третьей 7% всех коров. Вероятность того, что молоко, полученное от отдельной коровы, имеет не менее 4% жирности, для каждой группы соответственно равна 0,6; 0,35 и 0,1. Определить вероятность того, что для взятой наудачу коровы жирность молока составит не менее 4%.
Задача 3.
Найти вероятность того, что при подбрасывании игральной кости 5 очков появится два раза.
Задача 4.
Вероятность рождения в семье мальчика 0,515. Составить закон распределения случайной величины ξ – числа мальчиков в семьях, имеющих четырёх детей. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Задача 5.
Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятностей:
Определить плотность распределения ξ и построить графики плотности и функции распределения вероятностей.
Задача 6.
Задана двумерная дискретная величина:
|
| ||
| 0,2 | 0,1 | |
| 0,3 | 0,3 | |
| 0,04 | 0,06 |
Найти дисперсию .
Задача 7.
Стрелок выполнил 400 выстрелов, вероятность одного попадания 0,8. Найти вероятность того, что он попал от 310 до 325 раз.
Задача 8.
Имеются следующие данные о количестве отделений у каждого из 20 банков: 2,4,5,3,4,6,7,4,5,3,3,4,5,3,4,2,6,5,4,7. Составить сгруппированный ряд распределения банков по числу отделений на один банк. Найти среднее число отделений на один банк, выборочную и исправленную дисперсии.
Задача 9.
Случайным бесповторным способом изучались остатки неиспользованных бюджетных средств на 110 государственных предприятиях. Средние остатки составили 150 т. руб. при среднем квадратическом отклонении 42 т. Руб. С доверительной вероятностью 0,95 определите границы, в которых будут находиться средние остатки бюджетных средств на одно предприятие.
Задача 10.
Оценить существенность различий в средней урожайности двух сортов озимой пшеницы, если для первого сорта выборочная средняя урожайность 
=48,4 и выборочная дисперсия 
=8,05, а для второго сорта выборочная средняя урожайность 
=35,6 и выборочная дисперсия 
=14,31. Объёмы выборок 
= 
=5. Считать, что совокупности распределены нормально. Уровень значимости =0,1.
Вариант 4.
Задача 1.
Из 40 деталей в ящике 5 бракованных. Какова вероятность того, что взятые две детали не будут бракованные?
Задача 2.
В первой урне 10 деталей, из них 8 стандартных. Во второй 6 деталей, из которых 5 стандартных. Из второй урны переложили в первую одну деталь. Какова вероятность того, что деталь, извлечённая после этого из второй урны, нестандартная?
Задача 3.
Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырёх.
Задача 4.
Вероятность того, что покупатель совершит покупку в магазине 0,4. Составить закон распределения случайной величины ξ – числа покупателей совершивших покупку, если магазин посетило 3 покупателя. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ.
Задача 5.
Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятностей:
Найти математическое ожидание случайной величины ξ.
Задача 6.
Задана двумерная дискретная величина:
|
| |||
| -1 | 0,1 | 0,2 | 0,03 |
| 0,3 | 0,3 | 0,07 |
Найти дисперсию .
Задача 7.
Вероятность того, что при транспортировке изделий одно из них будет утеряно, равна 0,005. Найти вероятность того, что из 200 изделий окажутся утерянными три изделия.
Задача 8.
Распределение работников предприятия по стажу их работы на данном предприятии представлено интервальным рядом:
| Стаж работы, лет | До 1 | 1-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 |
| Число работников |
Найти эмпирическую плотность распределения работников по их стажу и
построить гистограмму.
Задача 9.
Для определения влажности зерна было взято случайным образом 25 проб. Средний процент влажности зерна составил 16%, а выборочное среднее квадратическое отклонение – 2,5%. Определить доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью 0,95.
Задача 10.
Проверить гипотезу о равенстве генеральных средних урожайности в двух хозяйствах, если в результате случайной выборки получены следующие результаты:
1-ое хозяйство
| Урожайность, ц с 1 га |
| 25-35 | 35-45 | 45-55 |
| Число участков | 
|
2-ое хозяйство
| Урожайность, ц с 1 га | 
| 15-25 | 25-35 | 35-45 | 45-55 |
| Число участков | 
|
Уровень значимости =0,1.
Вариант 5.
Задача 1.
В коробке 12 карандашей трёх цветов, по четыре карандаша каждого цвета. Наудачу вынимают 3 карандаша. Найти вероятность того, что они разного цвета.
Задача 2.
Вероятность поражения первой мишени для данного стрелка равна 0,6. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на следующий выстрел по второй мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,3. Определить вероятность поражения второй мишени.
Задача 3.
всех студентов на факультете – отличники. Из 28 студентов наудачу выбрали троих. Определить вероятность того, что среди них 2 отличника.
Задача 4.
В группе из 10 спортсменов 6 мастеров спорта. Отбирают трёх спортсменов. Составить закон распределения случайной величины ξ – числа мастеров спорта из отобранных спортсменов.
Задача 5.
Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятностей:
Найти значения 
и 
.
Задача 6.
Задана двумерная дискретная величина:
|
| |||
| -2 | 0,2 | 0,1 | 0,3 |
| 0,3 | 0,08 | 0,02 |
Найти ряды распределения для случайных величин и .
Задача 7.
Количество кормов, расходуемых на ферме крупного рогатого скота в сутки, является случайной величиной, математическое ожидание которой ровно 6 т. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход кормов превысит 10 т.
Задача 8.
Распределение работников предприятия по стажу их работы на данном предприятии представлено интервальным рядом:
| Стаж работы, лет | До 1 | 1-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 |
| Число работников |
Определить средний стаж работника, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочный показатель асимметрии.
Задача 9.
Случайным бесповторным способом произведено выборочное обследование семей района. Из 1300 семей обследовано 130, по которым определён душевой доход на одного члена семьи, представленный в виде интервального ряда. Распределение семей по величине месячного дохода на одного члена семьи:
| Группы семей | >500 руб. | 500-1000 руб. | 1000-1500 руб. | 1500-2000 руб. | <2000 руб. |
| Число семей |
С доверительной вероятностью 0,95 определить границы, в которых будет находиться средний месячный доход на одного члена семьи по району.
Задача 10.
По двум независимым выборкам объёма и , извлечённым из нормальных генеральных совокупностей, проверить гипотезу о равенстве средних при уровне значимости =0,01, если:
Вариант 6.
Задача 1.
Из урны, содержащей четыре красных и шесть чёрных шаров, вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что будут вынуты шары чёрного цвета?
Задача 2.
Имеются две урны. В первой – семь красных шаров и три чёрных, во второй – три красных и четыре чёрных. Из первой урны во вторую переложили один шар, затем, перемешав шары, извлекли шар из второй урны. Найти вероятность того, что этот шар окажется красным.
Задача 3.
Всхожесть клубней картофеля равна 80%. Сколько нужно посадить клубней, чтобы наивероятнейшее число взошедших из них было равно 100?
Задача 4.
В группе, состоящей из 19 студентов, 9 девушек. Составить закон распределения случайной величины ξ – числа девушек среди случайно отобранных трёх студентов.
Задача 5.
Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятностей:
Найти математическое ожидание ξ.
Задача 6.
Задана двумерная дискретная величина:
|
| ||
| -2 | 0,1 | 0,01 |
| -1 | 0,2 | 0,02 |
| 0,3 | 0,37 |
Найти ряд распределения для при условии, что =2.
Задача 7.
Дискретная случайная величина ξ задана рядом распределения:
|
| ||||
|
| 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,2 |
Используя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что 
Задача 8.
Путём устного опроса изучалось качество продукции, выпускаемой фирмой и реализуемой в магазине этой фирмы. Посетители давали оценку качества по десятибалльной шкале. Были получены следующие результаты.
| Оценка качества, балл | 1-2 | 3-4 | 5-6 | 7-8 | 9-10 |
| Число оценок |
Определить средний балл качества продукции, выборочную и исправленную дисперсии.
Задача 9.
Взято 16 проб молока, поступивших на реализацию из акционерного сельскохозяйственного предприятия. Средняя жирность молока составила 3,7% при среднем квадратическом отклонении 0,5%. Какова вероятность того, что средняя жирность молока всех партий не выйдет за пределы от 3,6% до 3,8%?
Задача 10.
Распределение работников предприятия по стажу их работы на данном предприятии представлено интервальным рядом:
| Стаж работы, лет | До 1 | 1-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 |
| Число работников |
На уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что данная генеральная совокупность имеет нормальный закон распределния.
Вариант 7.
Задача 1.
Слово «машина» составлено из букв разрезанной азбуки. Какова вероятность того, что, вынимая по одной четыре буквы и прикладывая одну к другой, получим слово «шина»?
Задача 2.
Вероятность безотказной работы автомобиля равна 0,9. Автомобиль перед выходом на линию осматривается двумя механиками. Вероятность того, что первый механик обнаружит неисправность в автомобиле, равна 0,8, а второй – 0,9. Если хотя бы один механик обнаружит неисправность, то автомобиль отправляется на ремонт. Найти вероятность того, что автомобиль будет выпущен на линию.
Задача 3.
Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений шести очков было равно 50?
Задача 4.
В партии из 10 изделий 6 изделий высокого качества. Случайно отбирают 3 изделия. Составить ряд распределения случайной величины ξ – числа изделий высокого качества среди отобранных.
Задача 5.
Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятностей:
Найти дисперсию ξ.
Задача 6.
Задана двумерная дискретная величина:
|
| -2 | -1 |
| 0,1 | 0,2 | |
| 0,3 | 0,05 | |
| 0,35 |
Найти ряд распределения для при условии, что =-2.
Задача 7.
Вероятность вызревания семян овощной культуры в данной местности составляет 0,8. С помощью неравенства Чебышёва оценить вероятность того, что из 1000 растений число вызревших составит от 750 до 850.
Задача 8.
По данным распределения студентов по результатам сдачи экзаменов найти эмпирическую функцию распределения и построить её график.
| Оценка на экзамене | ||||
| число студентов |
Задача 9.
Автотранспортная компания желает оценить среднее время транзита грузов из столицы в северные регионы страны. Случайная выборка 20 партий товаров дала =2,6 дней, s=0,4 дня. Постройте 99%- ный доверительный интервал для среднего времени транзита товаров.
Задача 10.
По двум независимым выборкам объёма и , извлечённым из нормальных генеральных совокупностей, проверить гипотезу о равенстве средних при уровне значимости =0,01, если:
Методические рекомендации по выполнению контрольных заданий.
Вариант 1 приведён с решением, которое содержит методические рекомендации и ссылки на контент.
В задании 1 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 1 (классическое определение вероятности, комбинаторика). В случае затруднений с решением задания 1 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующей темы, а также обратить внимание на пример 1.3.2.
В задании 2 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 2 (теоремы сложения и умножения вероятностей, формула полной вероятности, формула Байесса). В случае затруднений с решением задания 2 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующей темы, а также обратить внимание на примеры 2.1.1-2.1.4, 2.2.1-2.2.4, 2.3.1-2.3.2.
В задании 3 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 3 (схема испытаний Бернулли, формула Бернулли, теорема о наиболее вероятном числе успехов). В случае затруднений с решением задания 3 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующей темы, а также обратить внимание на примеры 3.1.1-3.1.2, 3.2.3.
В задании 4 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 4 (законы распределения дискретной случайной величины, числовые характеристики дискретных случайных величин, основные типы дискретных распределений). В случае затруднений с решением задания 4 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующей темы, а также обратить внимание на примеры 4.3.1-4.3.3.
В задании 5 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 5(непрерывная случайная величина, числовые характеристики непрерывных случайных величин, основные типы непрерывных распределений). В случае затруднений с решением задания 5 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующей темы, а также обратить внимание на примеры 5.1.1-5.1.2, 5.3.1.
В задании 6 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 8(системы дискретных случайных величин, частные и условные законы распределения, смешанные моменты дискретного случайного вектора). В случае затруднений с решением задания 6 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующей темы, а также обратить внимание на пример 8.3.1..
В задании 7 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении тем 3 и 6 (предельные теоремы теории вероятностей). В случае затруднений с решением задания 7 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующей темы, а также обратить внимание на примеры 3.4.1-3.4.3, 6.1.1, 6.2.2.
В задании 8 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 9 (выборочный метод математической статистики). В случае затруднений с решением задания 8 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующей темы, а также обратить внимание на примеры 9.2.1, 9.3.1, 9.4.1-9.4.2, 9.5.1-9.5.2.
В задании 9 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 10 (построение доверительных интервалов). В случае затруднений с решением задания 9 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующих тем, а также обратить внимание на пример 10.2.1.
В задании 10 проверяются знания и навыки студентов, приобретенные при изучении темы 11(проверка статистических гипотез). В случае затруднений с решением задания 10 студенту рекомендуется повторить учебный материал соответствующей темы, а также обратить внимание на примеры 11.1.1, 11.2.2.