Математика с дополнительной специальностью»




К государственному экзамену по специальности

1. Линейное (векторное) пространство над полем. Примеры. Подпространства, простейшие свойства. Линейная зависимость и независимость векторов.

2. Базис и размерность векторного пространства. Матрица координат системы векторов. Переход от одного базиса к другому. Изоморфизм векторных пространств.

3. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.

4. Кольцо целых чисел. Упорядоченность целых чисел. Теоремы о «наибольшем» и «наименьшем» целом числе.

5. Группа, примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Гомоморфизм и изоморфизм групп.

6. Основные свойства делимости целых чисел. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.

7. Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений).

8. Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов по модулю. Кольцо классов вычетов по модулю. Теоремы Эйлера и Ферма.

9. Приложение теории сравнений к выводу признаков делимости. Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины ее периода.

10. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.

11. Линейные сравнения с одной переменной (критерий разрешимости, способы решения).

12. Равносильные системы линейных уравнений. Метод последовательного исключения неизвестных.

13. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Поле. Примеры полей. Простейшие свойства. Минимальность поля рациональных чисел.

14. Натуральные числа (основы аксиоматической теории натуральных чисел). Теоремы о «наибольшем» и «наименьшем» натуральном числе.

15. Многочлены над полем. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, его свойства и способы нахождения.

16. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности, фактормножество.

17. Математическая индукция для натуральных и целых чисел.

18. Свойства взаимно простых чисел. Наименьшее общее кратное целых чисел, его свойства и способы нахождения.

19. Поле комплексных чисел, числовые поля. Геометрическое представление и тригонометрическая форма комплексного числа.

20. Теорема о делении с остатком для целых чисел. Наибольший общий делитель целых чисел, его свойства и способы нахождения.

21. Линейные операторы векторного пространства. Ядро и образ линейного оператора. Алгебра линейных операторов векторного пространства. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

22. Аффинные преобразования плоскости, их свойства и способы задания. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы.

23. Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности.

24. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.

25. Геометрия Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом геометрии Лобачевского.

26. Понятие параллельности в геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.

27. Формулы движений. Классификация движений плоскости. Приложения к решению задач.

28. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).

29. Проективные преобразования. Теорема существования и единственности. Формулы проективных преобразований.

30. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их приложение к решению задач.

31. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее содержательная непротиворечивость.

32. Движения плоскости и их свойства. Группа движений плоскости. Теорема существования и единственности движения.

33. Проективная плоскость и ее модели. Проективные преобразования, их свойства. Группа проективных преобразований.

34. Преобразования подобия плоскости, их свойства. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы.

35. Гладкие поверхности. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.

36. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.

37. Гладкие линии. Кривизна пространственной кривой и ее вычисление.

38. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. Канонические уравнения.

39. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы. Полярные уравнения.

40. Двойное отношение четырех точек прямой, его свойства и вычисление. Гармоническая разделенность пар точек. Полный четырехугольник и его свойства. Приложение к решению задач на построение.

41. Теоремы Паскаля и Брианшона. Полюсы и поляры.

 

Примерные вопросы по математическому анализу



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: