К государственному экзамену по специальности
1. Линейное (векторное) пространство над полем. Примеры. Подпространства, простейшие свойства. Линейная зависимость и независимость векторов.
2. Базис и размерность векторного пространства. Матрица координат системы векторов. Переход от одного базиса к другому. Изоморфизм векторных пространств.
3. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
4. Кольцо целых чисел. Упорядоченность целых чисел. Теоремы о «наибольшем» и «наименьшем» целом числе.
5. Группа, примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Гомоморфизм и изоморфизм групп.
6. Основные свойства делимости целых чисел. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.
7. Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений).
8. Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов по модулю. Кольцо классов вычетов по модулю. Теоремы Эйлера и Ферма.
9. Приложение теории сравнений к выводу признаков делимости. Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины ее периода.
10. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
11. Линейные сравнения с одной переменной (критерий разрешимости, способы решения).
12. Равносильные системы линейных уравнений. Метод последовательного исключения неизвестных.
13. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Поле. Примеры полей. Простейшие свойства. Минимальность поля рациональных чисел.
14. Натуральные числа (основы аксиоматической теории натуральных чисел). Теоремы о «наибольшем» и «наименьшем» натуральном числе.
15. Многочлены над полем. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, его свойства и способы нахождения.
16. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности, фактормножество.
17. Математическая индукция для натуральных и целых чисел.
18. Свойства взаимно простых чисел. Наименьшее общее кратное целых чисел, его свойства и способы нахождения.
19. Поле комплексных чисел, числовые поля. Геометрическое представление и тригонометрическая форма комплексного числа.
20. Теорема о делении с остатком для целых чисел. Наибольший общий делитель целых чисел, его свойства и способы нахождения.
21. Линейные операторы векторного пространства. Ядро и образ линейного оператора. Алгебра линейных операторов векторного пространства. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
22. Аффинные преобразования плоскости, их свойства и способы задания. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы.
23. Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности.
24. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.
25. Геометрия Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом геометрии Лобачевского.
26. Понятие параллельности в геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.
27. Формулы движений. Классификация движений плоскости. Приложения к решению задач.
28. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).
29. Проективные преобразования. Теорема существования и единственности. Формулы проективных преобразований.
30. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их приложение к решению задач.
31. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее содержательная непротиворечивость.
32. Движения плоскости и их свойства. Группа движений плоскости. Теорема существования и единственности движения.
33. Проективная плоскость и ее модели. Проективные преобразования, их свойства. Группа проективных преобразований.
34. Преобразования подобия плоскости, их свойства. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы.
35. Гладкие поверхности. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.
36. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.
37. Гладкие линии. Кривизна пространственной кривой и ее вычисление.
38. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. Канонические уравнения.
39. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы. Полярные уравнения.
40. Двойное отношение четырех точек прямой, его свойства и вычисление. Гармоническая разделенность пар точек. Полный четырехугольник и его свойства. Приложение к решению задач на построение.
41. Теоремы Паскаля и Брианшона. Полюсы и поляры.
Примерные вопросы по математическому анализу