Общие подходы к определению достоверности совпадений и различий характеристик экспериментальной и контрольной группы
Цель работы: изучение сходств и различий по критериям Крамера - Уэлча и Вилкоксона – Манна –Уитни.
Теоретическая часть
Одной из задач анализа экспериментальных данных является установление совпадений или различий характеристик экспериментальной и контрольной группы. Для этого выдвигается статистическаягипотеза об отсутствии различий (так называемая нулевая гипотеза Н0).
Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречивую ей гипотезу - гипотезу о значимости различий (так называемая альтернативная гипотеза Н1).
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость проверить ее. Поскольку проверку производят статистическими методами, ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.
Ошибка второго рода состоит в том» что будет принята неправильная гипотеза.
Правильное решение может быть принято также в двух случаях: гипотеза принимается; причем и в действительности она правильная; гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна.
Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать q. Ее называют уровнем значимости.
Уровнем значимости называется вероятность ошибки, заключающейся в отклонении (не принятии) нулевой гипотезы, когда она верна, то есть вероятность того, что различия сочтены существенными, а они на самом деле случайны.
Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05, 0,010 или 001. Если, например, принят уровень значимости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста мы рискуем допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).
Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, имеет место противоречащая гипотеза.
Для принятия решений о том, какую из гипотез (нулевую или альтернативную) следует принять, используют решающие правила – статистические критерии. То есть, на основании информации о результатах наблюдений (характеристиках членов экспериментальной и контрольной группы) вычисляется число, называемое эмпирическим значениемкритерия. Это число сравнивается с известным (например, заданным таблично) эталонным числом, называемым критическим значениемкритерия.
Если полученное исследователем эмпирическое значение критерия оказывается меньше или равно критическому, то принимается нулевая гипотеза – считается, что на заданном уровне значимости (то есть при том значении q, для которого рассчитано критическое значение критерия) характеристики экспериментальной и контрольной групп совпадают. В противном случае, если эмпирическое значение критерия оказывается строго больше критического, то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза – характеристики экспериментальной и контрольной группы считаются различными с достоверностью различий (1 – q). [Н]
Пример 6. Имеется две группы экспериментальная (ЭГ) и контрольная (КГ). В результате проведения эксперимента, с помощью одной и той же процедуры измерений одного и того же показателя были получены следующие данные: x = (x1, x2, …, xn) – выборка для экспериментальной группы и y = (y1, y2, …, ym) – выборка для контрольной группы, где n=m=10.
Результаты измерений эксперимента приведены в таблице 6.1.
Таблица 6.1 – Результаты эксперимента
№ xi ЭГ (M) | Результаты измерений ЭГ | № yiКГ (N) | Результаты измерений КГ |
Необходимо определить достоверность совпадений и различий характеристик сравниваемых выборок.
6.2 Ход выполнения работы:
1. Проверку гипотезы о совпадении характеристик двух групп проведем используя критерий Крамера – Уэлча.
Выдвигаем статистическуюгипотезу об отсутствии различий Н0. И альтернативную гипотезу Н1 о значимости различий.
Вычислим для сравниваемых выборок Tэмп – эмпирическое значение критерия Крамера-Уэлча по формуле:
где M и N – объемы выборок x и y;
и - выборочные средние x и y;
и - выборочные дисперсии x и y.
Вычислим выборочные средние и выборочные дисперсии x и y. Данные необходимые для расчетов представлены в таблице 6.2.
Таблица 6.2 – Данные, необходимые для расчетов.
№ xi ЭГ (M) | Результаты измерений ЭГ | № yiКГ (N) | Результаты измерений КГ | ||||
15,6 | 243,36 | 13,8 | 190,44 |
Продолжение таблицы 6.2
16,6 | 275,56 | 0,2 | 0,04 | |||||
9,6 | 92,16 | 7,2 | 51,84 | |||||
7,6 | 57,76 | 11,2 | 125,44 | |||||
20,4 | 416,16 | 5,2 | 27,04 | |||||
7,4 | 54,76 | 15,2 | 231,04 | |||||
1,6 | 2,56 | 12,8 | 163,84 | |||||
15,6 | 243,36 | 4,8 | 23,04 | |||||
13,4 | 179,56 | 15,2 | 231,04 | |||||
25,4 | 645,16 | 22,8 | 519,84 | |||||
∑ | 133,2 | 1934,84 | 108,4 | 1563,6 |
Сравниваем это значение с критическим значением Tкр= 1,96 (приложение 5) взятом на уровне значимости 0,05.
Tкр= 1,96; Tэмп= 0,068; Tэмп<Tкр
Следовательно, характеристики сравниваемых выборок совпадают на уровне значимости 0,05 или гипотеза о совпадении характеристик контрольной и экспериментальной групп принимается на уровне значимости 0,05.