Брянский колледж экономики, статистики и информатики
УТВЕРЖДАЮ:
Заместитель директора по УМР
____________Т.Н. Кузина
«____» _______________
ИНСТРУКЦИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №8
«Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений»
По предмету «Численные методы» для студентов специальности 230105
«Программное обеспечение ВТ и автоматизированных систем»
Инструкция составлена преподавателем Ноздрачевой Н.Л.
Согласовано на заседании цикловой комиссии математики, информатики и программирования
Протокол заседания № ___ от ____________ 200 г.
Председатель комиссии _________ Н.К. Минина
Брянск
Содержание
1. Цель работы.
2. Приборы и оборудование.
3. Общие теоретические сведения.
4. Задание.
5. Порядок выполнения работы.
6. Отчет о выполненной работе.
7. Контрольные вопросы.
8. Литература.
1. Цель работы:
1.1. Закрепить знание основных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
1.2. Разработать программу решения обыкновенных дифференциальных уравнений методами:
- методом Эйлера;
- методом Эйлера с двойным счетом;
- методом Эйлера – Коши с двойным счетом;
- методом Рунге – Кутта.
1.3. Найти решения обыкновенных дифференциальных уравнений различными методами.
1.4. Сравнить результаты, полученные различными методами.
1.5. Закрепить умения и навыки работы с программой и основными компонентами в среде программирования Delphi.
2. Приборы и оборудование:
2.1. ПК, система программирования Delphi.
Общие теоретические сведения
Постановка задачи
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида Решить такое уравнение численным методом это значит для заданной последовательности аргументов и числа , не определяя функции найти такие значения что где и
Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргумента и начального условия
Метод Эйлера
Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием Требуется найти решения данного уравнения на
Разобьём отрезок на n равных частей. Получили последовательность чисел . Шаг или . Проинтегрируем данное дифференциальное уравнение по . Получим:
Отсюда получаем формулу Эйлера:
Таким образом, если известна функция , начальное условие , шаг h и отрезок , то по этой формуле можно найти все решения дифференциального уравнения на данном отрезке.
Метод Эйлера обладает малой точностью, к тому же погрешность каждого нового шага возрастает. Поэтому он применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу этого метода, являются исходными для ниже следующих методов.
Метод Эйлера – Коши (уточненный метод Эйлера)
3.4. Метод Рунге – Кутта
Это один из методов повышенной точности.