Методика и порядок выполнения работы

Пример 1

Построить кривую и найти ее уравнение в прямоугольной системе координат.

Решение

Будем давать значения полярному углу, от 0 до через промежуток и вычислим соответствующие значения . Найденные значения поместим в таблицу. Примем произвольный отрезок за единицу масштаба, которой мы будем пользоваться при построении кривой. По значениям и из таблицы построим точки, соответствующие каждой паре чисел и , и соединим их плавной кривой.

 

Построение кривой показано на рис. 4 – 11.

Рис. 4 Рис. 5

Рис. 6 Рис. 7

Рис. 8 Рис. 9

Рис. 10 Рис. 11

На рис. 12 кривые, построенные на различных этапах, сое­динены в одну. Полученная кривая называется четырехлепестко­вой розой.

 

Рис. 12

Теперь найдем уравнение четырехлепестковой розы в прямо­угольной системе координат, причем, начало прямоугольной системы координат помещено в полюс полярной системы координат, а ось абсцисс направлена вдоль полярной оси.

Учитывая, что уравнение четырехлепестковой розы перепишем в виде . Подставляя сюда формулы перехода (2), получим

,

или

.

Отсюда

.

Возводя обе части последне­го уравнения в квадрат, полу­чим окончательно

.

Пример 2

Построить кривую ().

Указание. Найти полярное уравнение кривой. Поместить полюс в начало прямоугольной системы координат, а полярную ось совместить с положительной частью оси абсцисс.

Решение

Воспользуемся формулами (1). Уравнение данной кривой в полярных координатах имеет вид

.

Из рассмотрения данного уравнения заключаем, что при лю­бых значениях и его левая часть не отрицательна, так как она содержит квадрат суммы . Значит, и правая его часть () не может быть отрицательной, т.е. не может при­нимать отрицательных значений. Это говорит о том, что вся кри­вая будет расположена вправо от оси .

Так как замена в данном уравнении на не изменяет уравнения, то очевидно, что кривая расположена симметрично относительно оси абсцисс. Значит, достаточно построить кривую в первой четверти, а затем симметричную ей часть – в четвертой четверти. Эти соображения говорят о том, что полярному углу в уравнении данной кривой следует придавать значения только от до . Таким образом, это простое исследование помогло нам значительно упростить вычисления, так как теперь, вместо того, чтобы придавать полярному углу зна­чения от до , мы ограничимся значениями для только из первой четверти (кривая изображена на рис. 13).

Рис. 13

Задания

Задание 1

Определить точки, лежащие на линии, давая значения через промежуток, равный начиная от в промежутке . Построить область, ограниченную линией, соединив полученные точки. Найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат.

 

1) а) ,

б) ,

в) .

2) а) ,

б) ,

в) .

3) а) ,

б) ,

в) .

4) а) ,

б) ,

в) .

5) а) ,

б) ,

в) .

6) а) ,

б) ,

в) .

7) а) ,

б) ,

в) .

8) а) ,

б) ,

в) .

9) а) ,

б) ,

в) .

10) а) ,

б) ,

в) .

Задание 2

Построить прямую, заданную параметрическими уравнениями.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)