Решение комбинаторных задач

Глава II

1. Основные понятия и правила комбинаторики

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

Комбинаторика - раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторные методы лежат в основе решения многих задач теории вероятностей и ее приложений.

Задачу можно назвать комбинаторной, если ее решением является перебор элементов некоторого конечного множества.
Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать таким образом, что он начинался бы словами:
• Сколькими способами…?

• Сколько вариантов…?

Для того, чтобы решить задачу по комбинаторике, необходимо сначала понять её смысл, то есть, представить мысленно процесс или действие, описанное в задаче.

Нужно чётко определить тип соединений в задаче, а для этого надо, составив несколько различных комбинаций, проверить повторяются ли элементы, меняется ли их состав, важен ли порядок элементов.

Если же комбинаторная задача содержит ряд ограничений, налагающихся на соединения, то нужно понять, как влияют или не влияют эти ограничения на соединения.

В том случае, если трудно сразу определить какие-либо важные моменты задачи, то не плохо было бы попытаться разобраться в более лёгкой задаче, например в той, в которой не учитываются ограничения, если они есть в исходной задаче, или же в задаче, в которой рассматривается меньшее количество элементов, тогда проще будет понять принцип образования выборок.

Когда комбинаторная задача состоит из различных комбинаций элементарных задач, то нужно просто разбить задачу на подзадачи.

Комбинаторные задачи бывают самых разных видов. Однако, большинство задач решается с помощью двух основных правил — правила суммы и правила произведения.

Правило суммы.

Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить (m+n) способами.

Например: Имеется 8 шаров: в первый ящик положили 5 шаров, а во второй 3 шара. Сколькими способами можно вытащить 1 шар?

Решение: из первого ящика шар можно вытащить 5-ю способами, а из второго 3-мя. Значит, всего 5+3=8 способов.

При использовании правила суммы надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-либо способом выбора объекта В. Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получаем лишь (m + n - k) способов выбора, где k—число совпадений.

Правило произведения.

Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.

При этом число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент.

Например: В первом ящике 5 зелёных шаров, а во втором 3 красных шара. Сколькими способами можно вытащить 1 зелёный и 1 красный шар?

Решение: зелёный шар можно выбрать 5-ю способами, а красный – 3-мя. Значит, 1 зелёный и 1 красный шар можно выбрать 3х5 = 15 способами.

Так же комбинаторные задачи можно решить методом перебора.

Например: Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение. Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, надо выписывать их в порядке возрастания. Сначала вписываем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7. Получаем следующий расклад.

 

Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Существует единый подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название –дерево возможных вариантов. Решение комбинаторных задач методом составления дерева вариантов с применением правила умножения. Так, например, “дерево возможностей” помогает решать разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий. Каждый путь по этому “дереву” соответствует одному из способов выбора, число способов выбора равно числу точек в нижнем ряду “дерева”. Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

Например: Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 5 и 8?

*

 

 

Первая цифра 1 5 8

 

Вторая цифра 1 5 8 1 5 8 1 5 8

 

Число 11 15 18 51 55 58 81 85 88

Эта схема действительно похожа на дерево, правда, «вверх ногами» и без ствола. Знак «*» изображает корень дерева, ветви дерева – различные варианты решения. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать первую его цифру, а для нее есть три варианта: 1, 5 или 8. Поэтому из точки * проведены три отрезка и на концах поставлены цифры 1, 5 и 8.

Теперь надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 5 или 8. Поэтому от каждой первой цифры проведено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 5 или 8. Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел. Других двузначных чисел из этих трех цифр составить невозможно.

В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” - “множитель”).
Факториал числа — это произведение всех натуральных чисел до этого числа включительно.

Обозначается с восклицательным знаком в конце. n! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · (n-2) · (n-1) · n

Случай 0! определен и имеет значение 0!=1, соответствующее комбинаторной интерпретации комбинации нуля объектов, другими словами, есть единственная комбинация нуля элементов, а именно: пустое множество.

Ниже приведены значения факториалов от 0 до 10.

0! = 1
1! = 1
2! = 1 · 2 = 2
3! = 1 · 2 · 3 = 6
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720
7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040
8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320
9! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 362880
10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 3628800

Свойство факториала: (n + 1)! = (n + 1) · n!

Например: (5 + 1)! = (5 + 1) · 5!

Действительно 6! = (1 · 2 · 3 · 4 · 5) · 6 = 720

А значение (1 · 2 · 3 · 4 · 5) = 5! = 120

В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

 

2. Примеры решения задач

1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

1 способ. Перечислим возможные варианты

Чай(Ч) Компот (К)	Мясо с макаронами(М)	Рыба с картошкой(Р)	Курица с рисом(Кр)
Борщ (Б)	БМЧ/ БМК	БРЧ/БРК	БКрЧ/БКрК
Солянка(С)	СМЧ/ СМК	СРЧ/СРК	СКрЧ/СКрК
Грибной суп(Г)	ГМЧ/ГМК	ГРЧ/ГРК	ГКрЧ/ГКрК

18 вариантов.

2 способ. Дерево возможностей.

3 способ. Используя правило умножения, получаем: 3х3х2=18

2. Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?

1 способ. Обозначим мячи - М1, М2, игрушки- И1,И2,И3, И4, куклы- К1,К2, К3, К4, К5. Перечислим возможные варианты:

М1-И1-К1, М1-И1-К2, М1-И1-К3, М1-И1-К4, М1-И1-К5,
М1-И2-К1, М1-И2-К2, М1-И2-К3, М1-И2-К4, М1-И2-К5,
М1-И3-К1, М1-И3-К2, М1-И3-К3, М1-И3-К4, М1-И3-К5,
М1-И4-К1, М1-И4-К2, М1-И4-К3, М1-И4-К4, М1-И4-К5
М2-И1-К1, М2-И1-К2, М2-И1-К3, М2-И1-К4, М2-И1-К5,
М2-И2-К1, М2-И2-К2, М2-И2-К3, М2-И2-К4, М2-И2-К5,
М2-И3-К1, М2-И3-К2, М2-И3-К3, М2-И3-К4, М2-И3-К5,
М2-И4-К1, М2-И4-К2, М2-И4-К3, М2-И4-К4, М2-И4-К5

Ответ: 40 вариантов.

2 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х4х5= 40

3. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?

1 способ. Перечислим возможные варианты.

2 способ. Дерево возможностей.

3 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х3=15.

4. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

1 способ. Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно:

№1 - Саша - есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)
№2 - Петя - 4 варианта
№3- Денис - 3 варианта
№4- Оля - 2 варианта
№5 - Настя- 1 вариант

Используя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=120

2 способ. Решаем, используя понятие факториала: 5!=120

6. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?

1 способ. Перечислим возможные варианты состава пары:

11А-11Б, 11А-11В, 11А-11Г, 11А-11Д,
11Б-11В, 11Б-11Г, 11Б-11Д, 11В-11Г, 11В-11Д, 11Г-11Д

Ответ: 10 пар.

2 способ. Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.
Число элементарных событий = = 10

7. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?

1 способ. Обозначим имена детей первыми заглавными буквами.
Получаем следующие пары:
В-К, В-А, Д-К, Д-А, О-К, О-А.

Ответ: 6 пар.

2 способ. Мальчиков 3, из них 1 можно выбрать , девочек 2, из них можно 1 выбрать , используя правило умножения, получаем:
х = 6

8. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.

Сколькими способами могут распределится места по окончании соревнований?
Обозначим участников по первой заглавной букве страны и пронумеруем: Р1, И2, У3, Н4,К5, Ф6
Р1 - имеют возможность занять с1-6 места, т.е. 6 вариантов
И2 - 5 вариантов
У3- 4 варианта
Н4- 3 варианта
К5- 2 варианта
Ф6- 1 вариант
Используя правило умножения, получаем: 6х5х4х3х2х1= 720

2 способ. Используя понятие факториала, получаем: 6!=720

9. В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых?

Обозначим первыми заглавными буквами имен учащихся.
Возможны следующие тройки:
Г-С-К-О, Г-С-К-М, Г-С-К-В,
Г-С-О-М, Г-С-О-В, Г-С-М-В
С-К-О-М, С-К-О-В, С-К-М-В,
К-О-М-В, С-О-М-В, Г-К-О-В,
Г-К-О-В, Г-О-М-В, Г-К-М-В

2 способ. Из 6 человек нужно выбрать 4, число элементарных событий равно = 15

10. Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?

Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети:
=35, число четверок у Вали из 9 дисков - = 126
По правилу умножения находим число обменов 35х126=4410

11. Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?

Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний =10 способами, из 8 сержантов 4 - =70, из 70 рядовых 15 - . По правилу умножения находим число выбора отряда:
10х70х = 700х

12. В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?

Из 6 изумрудов 3 он может выбрать =20 способами, из 9 алмазов 5 - =126, из 7 сапфиров 2 - =21. По правилу умножения находим число вариантов 20х126х21= 52920

13. На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

Здесь речь идет о размещениях
Можно было решать по-другому. На должность председателя выбираем из 9 человек, на заместителя - из 8, на профорга - из 7
По правилу умножения получаем 9х8х7=504

14. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?

На должность директора выбираем из 25 человек, на завуча начальной - из 24, завуча среднего звена - из 23, завуча по воспитательной работе - 22. По правилу умножения получаем:
25х24х23х22 = 303600
Или, зная формулу размещения, получаем

15. В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?

Для Пети набор можно набрать 6х8х10=480 способами, для Васи - 5х7х9=315, для Коли - 4х6х8=192. По правилу умножения получаем
480х315х192= 29030400 способами.

16. В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?

В русском языке 9 гласных букв - а, е, е, и, о, у, э, ю, я. Выбрать из них 2 можно =36 способами. Из 10 цифр выбрать 3 можно =120 способами. Применяя правило умножения, получаем:
36х120= 4320

17. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?
Эта задача на размещение

Другой способ решения.
1цвет выбирается из 8 тканей 8 способами
2цвет выбирается 7 способами
3 цвет - 6способами
Используя правило умножения, получаем 8х7х6= 336 способов.

18. В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различные?

Из 15 предметов 5 любых можно выбрать

19. В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайных розы. Сколькими различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета?

1 способ. Обозначим белые - Б1, Б2, Б3, алые - А1,А2, чайные - Ч1, Ч2, Ч3,Ч4
Перечислим возможные варианты
Б1-А1-Ч1, Б1-А1-Ч2, Б1-А1-Ч3, Б1-А1-Ч4, Б1-А2-Ч1,Б1-А2-Ч2, Б1-А2-Ч3, Б1-А2-Ч4
Б2- А1-Ч1, Б2-А1-Ч2, Б2-А1-Ч3, Б2-А1-Ч4, Б2-А2-Ч1,Б2-А2-Ч2, Б2-А2-Ч3, Б2-А2-Ч4
Б3- А1-Ч1, Б3-А1-Ч2, Б3-А1-Ч3, Б3-А1-Ч4, Б3-А2-Ч1,Б3-А2-Ч2, Б3-А2-Ч3, Б3-А2-Ч4

Ответ: 24 варианта.

2способ. Дерево возможностей

3 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х3х4=24

20. К 60-летию Победы группа школьников отправилась по местам боевых действий в Смоленской области. Они планировали осуществить поход по маршруту деревни Сосновка-Быковка- Масловка- Видово. Из С в Б можно проплыть по реке или пройти пешком, из Б в М- пешком или на автобусе, из М в В - по реке, пешком или автобусе. Сколько вариантов похода есть у щкольников?

1 способ. Обозначим СБ - путь из Сосновки в Бытовку, ВГ - путь из Быковки в Масловку, МВ - путь из Масловки в Видово.
По реке -Р, пешком - П, на автобусе - А
Перечислим возможные варианты:
СБР- БМП-МВР, СБР- БМП-МВП, СБР- БМП-МВА
СБР-БМА-МВР, СБР-БМА-МВП, СБР-БМА-МВА
СБА- БМП-МВР, СБА- БМП-МВП, СБА- БМП-МВА
СБА-БМА-МВР, СБА-БМА-МВП, СБА-БМА-МВА
Ответ: 12 вариантов.

2 способ. Дерево возможностей