Решение систем линейных уравнений

Лекция 2.

МАТРИЦЫ.

Основные понятия.

Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрица обозначается заглавными буквами латинского алфавита, например: A, B, C,…, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: a_ij, где i – номер строки, j – номер столбца.

Пример: a). ,

или, в сокращенной записи, A=(a_ij); i=1,2,…,m; j=1,2,…,n

b). B=

в). C= - матрица-столбец (вектор-столбец)

г). D=(1 2 3)= - матрица-строка (вектор-строка)

д). H= = =

Если колличество строк матрицы равно колличеству столбцов, то матрица называется квадратной.

Элементы матрицы a_ij, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

Пример: Для квадратной матрицы главную диагональ образуют

элементы a₁₁, a₂₂, …, a_nn.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Пример: A= - диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквой E.

Пример: Е= - единичная матрица третьего порядка.

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю.

Пример:

Операции над матрицами.

1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число l называется матрица В=lА, элементы которой b_ij=lа_ij для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

Пример: Если А= , то 5А= .

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример: .

2. Сложение матриц. Матрицы одного типа можно складывать по следующему принципу:

А= , В= , А+В= ,

т.е. матрицы складываются поэлементно.

Пример: А= , В= , С=А+В=

3. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой с_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Пример: Вычислить произведение матриц А×В, где А= , В= .

1. Найдем размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно):

2. Вычислим элементы матрицы-произведения С, умножая элементы каждой строки матрицы А на соответствующие элементы столбцов матрицы В следующим образом: С=

Получаем С=

Примечание. В общем случае умножение матриц не обладает переместительным законом: А×В¹В×А

Пример: а).Найдем произведение В×А матриц из предыдущего примера

, число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А, Þ произведение матриц не существует.

б). А= , В=

А×В= × =

В×А= × =

А×В¹ В×А

Но существует два исключения:

1. Умножение на единичную матрицу обладает переместительным законом: А×Е=Е×А=А, где Е=

Пример: А= , Е= ,

А×Е= × = =А

Е×А= × = =А

2. Произведение взаимно-обратных матриц подчиняется переместительному закону: В×В^-1=В^-1×В=Е

4. Возведение в степень. целой положительной степенью А^m (m>0) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е. А^m= .

Примечание. Операция возведения в степень определена только для квадратных матриц.

Пример: А= , А²= × = .

5. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки и столбцы поменялись местами.

Пример: А= , А’= .

Обратная матрица.

Для каждого числа а¹0 существует обратное число а^-1 такое, что произведение а×а^-1=1. Для квадратных матриц вводится аналогичное понятие.

1. Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица:

А^-1×А=А×А^-1=Е

2. Найти матрицу обратную данной.

Пусть дана матрица В= .

Соответствующий этой матрице определитель (детерминант) имеет вид:

D=det B= .

Если det B=0, то обратная матрица не существует. И наоборот, если обратная матрица не существует, то det B=0.

Если det B¹0, то обратная матрица находится по формуле:

В^-1=

где А_ij – алгебраические дополнения элементов а_ij матрицы В.

Пример: В=

D=detB= =0+11+6=17¹0

A₁₁= =-4, A₂₁= =-1, A₃₁= =4,

A₁₂= =11, A₂₂= =-10,,A₃₂=- =6,

A₁₃= =3, A₂₃= =5, A₃₃= =-3.

В^-1= =

Это и есть матрица, обратная данной.

Ранг матрицы.

В матрице А размером m n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные матрицы k -го порядка, где k £min(m,n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы обозначается rang A или r(A).

Пример: Вычислить ранг матрицы А= .

Матрица А имеет четвертый порядок, поэтому r (А)£4.

Однако =0, т.к. матрица А содержит нулевой столбец, поэтому r (А)£3. Все подматрицы третьего порядка тоже содержат нулевой столбец поэтому имеют нулевые определители, значит r (А)£2. Все подматрицы второго порядка либо имеют нулевой столбец (второй и четвертый), либо имеют пропорциональные столбцы (первый и третий), поэтому тоже имеют нулевые определители; таким образом r (А)£1. Поскольку матрица А имеет ненулевые элементы, то r (А)=1.