КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1
ЭЛЕМЕНТЫЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
(для студентов заочного отделения)
Коломна - 2012 
Правила выполнения и оформления контрольных работ
При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться
указанных ниже правил.
Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются на переработку.
1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного.
2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины. Указать проверяющего. В конце работы следует поставить дату её выполнения и расписаться.
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту.
4. Решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
5. Перед решением каждой задачи необходимо полностью выписать её условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.
6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
Вариант 1
1. Найти длину вектора a=4m-n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p. Представить результат графически.
 | |||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||
 |  |  | |||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||
æ1 22. Найти А·В, если A = ç2 1
è1 0
-1; B =ç3
2ø è4
- 2 -1
2÷. Проверить коммутативность 3÷
этих матриц.
3. Решить систему уравнений методом Крамера: x + 2y - 4z = 1;
2x + y - 5z = -1; x - y - z = -2.
Вариант 2
1. Найти длину вектора a=4m-n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p. Представить результат графически.
2. Решить систему уравнений методом обратной матрицы: x + 2y - 2z = 1;
2x + y - 3z = -1; x - y - z = -1.
3.НайтиматрицуС = 3А2-2В,если A = æ-1 1; B = ç3
4÷.
ø
Вариант 3
1. Найти длину вектора a=4m-2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p. Представить результат графически.
æ1 32. Найти обратную матрицу А-1, если A = ç1 2
è3 1Проверить, что А-1·А = А· А-1= Е.
-1÷.
1ø
3.Решить систему уравнений методом Гаусса: x + y + z = 6;
x - y - 3z = -2; 2x - y + 2z = 6.
Вариант 4
1. Найти длину вектора a=4m-2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p. Представить результат графически.
| |||||||
| |||||||
| |||||||
| |||||||
| |||||||
| |||||||
 | |||||||
| |||||||
| |||||||
| |||||||
| |||||||
| |||||||
æ1 22. Найти обратную матрицу А-1, если A = ç1 2
è2 1Проверить, что А-1·А = А· А-1= Е.
-1÷.
1ø
3. Решить систему уравнений методом Гаусса: 2x + y + 4z = 5;
x - 3y - 5z = -1; 4x - 5y -6z = 3.
Вариант 5
1. Найти длину вектора a=4m+2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p. Представить результат графически.
æ4 32. Найти обратную матрицу А-1, если A = ç1 2
è3 1Проверить, что А-1·А = А· А-1= Е.
-1÷.
1ø
3. Решить систему уравнений методом Гаусса: 3x + 4y + 2z = 8;
2x - 4y - 3z = -1; x + 5y + z = 0.
Вариант 6
1. Найти длину вектора a=m+2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p. Представить результат графически.
æ2 32. Найти обратную матрицу А-1, если A = ç1 2
è2 1Проверить, что А-1·А = А· А-1= Е.
-1÷.
1ø
3. Решить систему уравнений методом обратной матрицы, Крамера и Гаусса (сравнить результаты):
2x + y = 5; x + 3z = 16; 5y - z = 10.
Вариант 7
1. Найти длину вектора a=3m+2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p. Представить результат графически.
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
 | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
 | |||||||||||||||
|
| ||||||||||||||
|
| ||||||||||||||
æ-1 32. Найти обратную матрицу А-1, если A = ç1 2
è 3 1Проверить, что А-1·А = А· А-1= Е.
-1÷.
1ø
3. Решить систему уравнений методом обратной матрицы, Крамера и Гаусса (сравнить результаты):
2x + 2 y = 3; x + 2z = 1; 4y - z = 10.
Вариант 8
1. Найти длину вектора a=3m-2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p. Представить результат графически.
æ3 22. Найти С = А·В, если A = ç2 1
è1 0
-1; B =ç3
2ø è4
- 2 -1ö
-1 1 ÷. Найти D = В·А.
3 0ø
Сделать вывод о коммутативности.
3. Решить систему методом Гаусса и Крамера: x + 2y + z = 4;
3x - 5y + 3z = 1; 2x + 7y - z = 8.
Сравнить результаты.
Вариант 9
1. Найти длину вектора a=4m+2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p. Представить результат графически.
|  |
| |||||||
|
| ||||||||
 | |||||||||
æ12. Найти С = А·В, если A = E = ç0
è0
0 0ö æ1 - 2 10; B =ç3 -1
0 1ø è4 3
-1ö
1 ÷. Найти D = В·А.
0ø
Сделать вывод о коммутативности.
3. Решить систему методом Крамера и Гаусса: x + 2y + z = 4;
3x - 5y + 3z = 1; 2x + 7y - z = 8.
Сравнить результаты.
Вариант 10
1. Найти длину вектора a=4m-2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p. Представить результат графически.
æ ö æ ö
3. Найти матрицу С= А · В, если A = ç3 - 2 4 ÷;B = ç ÷. è-5 5 -1 -121
Найти произведение обратной последовательности матриц. Сравнить и сделать вывод о коммутативности.
3. Решить систему методом Крамера и Гаусса: x + 2y + z = -1;
3x - 5y + 3z = 1; 2x + 7y - z = 3.
Сравнить результаты.
Вариант11
1. Найти длину вектора a=4m+2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p. Представить результат графически.
2. Найти произведение АВ данных матриц æ 0 2 -1 ö
A = - 2 -1 2;B = 1 0 2
ç 3 -2 -1 ÷
Найти произведение обратной последовательности матриц. Сравнить и сделать вывод о коммутативности.
3. Решить систему уравнений методом Гаусса: x + 2y + 3z = 5;
2x + 3y + 7z = 1; 3x + 5y + 11z = 2.
Вариант 12
1. Найти длину вектора a=3m-2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p. Представить результат графически.
 | ||||||||||||||
 | ||||||||||||||
| ||||||||||||||
| ||||||||||||||
| ||||||||||||||
æ-1 12. Найти А2, если A = ç0 0
è 0 0
1÷.
0ø
3. Решить систему уравнений методом обратной матрицы и Крамера: 2x - y + 4z = 1;
3x - y + z = 8; -2x + y + z = 0.
Сравнить результаты.
Вариант 13
1. Найти длину вектора a=3m+2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p.
2. Исследовать взаимное положение прямых (угол между ними) 2х-3у-7=0 и х –2у –5 =0.
3. Решить систему методом обратной матрицы и Крамера: 3х + 2х2+ х3= 5;
2х + 3х2+ х3= 1; 2х + х2+ 3х3= -1.
Сравнить результаты.
Вариант 14
1. Найти длину вектора a=3m-2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p.
 | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
 | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
 | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
 | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
|
|
æ2 7
2.Найтирангматрицы A=ç3 5è94
÷.
3. Решить систему уравнений методом обратной матрицы, Гаусса и Крамера: 3x + y + 4z = 5;
x - 3y - 5z = 1; 4x - 5y -6z = 3.
Сравнить результаты.
Вариант 15
1. Найти длину вектора a=4m-2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p.
æ2 12. Найти ранг матрицы A = ç3 5
è9 4
2÷.
0ø
3. Решить систему методом обратной матрицы и методом Крамера: 2x - 4y + 5z = 2;
x - 3z = -1;
6x + y + z = 3.
Вариант 16
1. Найти длину вектора a=3m+2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p.
2. Найти обратную матрицу А-1для матрицы: æ2 3 -1
A = ç1 2 0 ÷. Проверить, что А ·А = А· А-1= Е. è31 1 ø
3. Решить систему методом Гаусса, Крамера (результаты сравнить): x + y + z = 4;
x - 3y - 3z = 0; 3x + y + 2z = 9.
Вариант 17
1. Найти косинус угла между векторами ÀB и АС: А(1, - 2, 3). В(0, - 1, 2), С(3, - 4, 5).
2. Найти обратную матрицу для матрицы А-1
| |||||||||||||
| |||||||||||||
| |||||||||||||
| |||||||||||||
| |||||||||||||
| |||||||||||||
| |||||||||||||
| |||||||||||||
| |||||||||||||
| |||||||||||||
| |||||||||||||
| |||||||||||||
| |||||||||||||
 | |||||||||||||
| |||||||||||||
æ1 3 A =ç12
è3 1
-1÷. Проверить,чтоА·А= А· А-1=Е.
1ø
3. Решить систему методом Крамера и Гаусса (результаты сравнить): x + y + z = 2;
x - 3y - 3z = 0; 3x + y + 2z = 4.
Вариант 18
1. Найти косинус угла между векторами ÀB и АС: А(1, - 2, 4). В(0, - 1, 1), С(3, - 3, 5).
2. Найти обратную матрицу для матрицы А-1
æ1 3 A =ç22
è3 1
-1÷. Проверить,чтоА·А= А· А-1=Е.
1ø
3. Решить систему методом Гаусса и Крамера (результаты сравнить): 2x - y + z = -2;
x+2y +3z = -1; x - 3y - 2z = 3.
Вариант 19
1. Найти косинус угла между векторами ÀB и АС: А(2, - 2, 4). В(0, - 1, 2),
С(2, - 3, 5).
2. Найти обратную матрицу для матрицы А-1
æ1 3 A =ç22
è0 1
-1÷. Проверить,чтоА·А= А· А-1=Е.
1ø
3. Решить систему методом Гаусса, Крамера (результаты сравнить): x + y + z = 1;
x - y +2z = -5; 4x + y + 4z = -2.
Вариант 20
1. Найти длину вектора a=3m-2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p.
 | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
 |  | ||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
|
æ-1 12. Найти А2, если A = ç0 0
è 0 0
1÷.
0ø
3. Решить систему методом обратной матрицы и Гаусса (результаты сравнить):
x + y + z = 1; x - 3y - 3z = 0;
3x + y + 2z = -2.
Вариант 21
1. Найти косинус угла между векторами ÀB и АС: А(2, - 2, 4). В(0, - 1, 2), С(2, - 3, 5).
æ0 22. Найти А·В, если A = ç2 1
è1 0
-1; B =ç3
2ø è4
- 2 -1
2÷. Проверить коммутативность 3÷
матриц.
3. Решить систему методом обратной матрицы и Гаусса (результаты сравнить):
x + y + z = 5; x - 3y - 3z = 1;
3x + y + 2z = -1.
Вариант 22
1. Найти длину вектора a=3m-2n, зная, что m и n – векторы единичной длины, угол между которыми p.
2. Найти обратную матрицу для матрицы А-1 æ2 3 -1
A = ç1 2 0 ÷. Проверить, что А ·А = А· А-1= Е. è31 1 ø
3. Решить систему методом Крамера и Гаусса (результаты сравнить): x + y + z = 1;
x - 3y - 3z = 2; 3x + y + 2z = 3.