МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тверской государственный университет»
Кафедра общей физики
Лаборатория механики
Лабораторная работа №17
Изучение движения маятника Максвелла
Тверь
Цель работы: Изучение законов вращательного движения, экспериментальное определение моментов инерции сменных колец с помощью маятника Максвелла.
Приборы и принадлежности: установка с маятником Максвелла со встроенным миллисекундомером, набор сменных колец, штангенциркуль.
Введение
Маятник Максвелла представляет собой диск А, неподвижно закрепленный на тонком стержне В. На концах стержня симметрично относительно диска закреплены нити С, с помощью которых маятник подвешен к штативу. При вращении маятника нити могут наматываться на стержень или сматываться с него, обеспечивая тем самым перемещение маятника вверх или вниз.
|
| Рис. 1 |
Если, намотав нити на ось, поднять маятник на некоторую высоту и отпустить его, то он начнет опускаться под действием силы тяжести, приобретая одновременно и вращательное движение. В нижней точке, когда маятник опустится на полную длину нитей, поступательное движение вниз прекратится. Нити станут наматываться на вращающийся по инерции стержень, а маятник начнет подниматься вверх, постепенно замедляя свое вращение. После достижения наивысшей точки цикл колебательного движения возобновится.
Высота, на которую поднимется маятник при движении вверх, будет меньше, чем первоначальная. Разность этих высот характеризует убыль механической энергии, затраченной на преодоление сил деформации нитей при ударе и сил трения. Доля потерянной механической энергии равна
где 
– высота опускания маятника; 
– высота подъема маятника.
Рассмотрим силы, действующие на маятник Максвелла (рис. 1). Если отвлечься от сил трения, то такими силами являются сила тяжести 
, приложенная к центру масс системы и две силы натяжения нити T, приложенные к стержню в точках касания нитей. В соответствии со вторым законом Ньютона уравнение поступательного движения маятника (движение вниз):
, (1)
а уравнение вращательного движения маятника (уравнение моментов) имеет вид:
. (2)
Здесь 
– масса маятника, 
– момент инерции маятника относительно его оси симметрии, 
– ускорение центр масс маятника, 
– угловое ускорение вращательного движения маятника, 
– момент сил натяжения относительно оси вращения, равный 
(докажите это!). Т.к. нить не проскальзывает, то 
(почему?).
В результате имеем:
. (3)
При этом расстояние, проходимое маятником за время 
, равно
. (4)
Равноускоренное движение маятника вниз будет продолжаться до тех пор, пока он не опустится на полную длину нитей. В нижней точке траектории линейная скорость маятника скачком измениться на противоположную, т.к. нити будут наматываться на стержень, и маятник начнет равнозамедленное движение вверх с ускорением (3).
Из соотношений (3) и (4) можно определить величину момента инерции маятника Максвелла:
. (5)
Таким образом, экспериментальное значение для момента инерции, определённое с помощью маятника Максвелла определяется радиусом стержня, временем движения и расстоянием, которое проходит маятник за это время. Поэтому относительная ошибка при вычислении момента инерции равна (покажите это!):
. (6)
Момент инерции маятника Максвелла можно также вычислить, используя определение момента инерции твёрдого тела (рис. 2):
, (7)
|
|
| Рис. 2 | Рис. 3 |
где интегрирование проходит по всему объёму тела, 
– плотность тела, 
– кратчайшее расстояние от элемента тела массой 
до оси вращения. Для вычисления момента инерции диска радиуса 
и массы можно сразу воспользоваться формулой (7), записав элемент объёма в цилиндрической системе координат. Однако в данном случае можно поступить и иначе. Разобьём диск на кольца радиуса и толщины 
(рис. 3). Найдём моменты инерции таких колец и сложим их (точнее, проинтегрируем). Это и будет моментом инерции диска. Момент инерции каждого бесконечно тонкого кольца складывается из моментов инерции материальных точек, составляющих его. Пусть масса кольца равна (это и есть суммарная масса всех точек, образующих кольцо). Учитывая, что все точки находятся на одинаковых расстояниях от оси, получим формулу для момента инерции кольца:
.
Массу кольца найти легко:
.
Здесь 
– толщина диска. Поэтому
.
Теперь сложим моменты инерции всех колец, т.е. проинтегрируем последнее выражение по :
(8)
Момент инерции кольца массой , внутренний и внешний радиусы которого равны 
и 
, имеет вид:
. (9)
Пусть радиус диска маятника Максвелла равен 
, внешний радиус кольца равен 
(см. рис.1), радиус стержня , 
– масса диска, 
– масса кольца, 
– масса стержня. Тогда согласно свойству аддитивности моментов инерции, момент инерции маятника, состоящего из нескольких частей (стержня, диска и кольца), представим в виде суммы моментов инерции этих частей:
. (10)
В формуле (5) масса очевидно равна сумме масс стержня, диска и кольца.
Порядок выполнения работы
Установка выполнена в виде вертикальной стойки, закрепленной на кронштейне. На стойке закреплена горизонтальная консоль, на которой закреплен электромагнит, необходимый для удержания маятника в верхнем положении.
1. Перед началом измерений необходимо убедиться в том, что длины нитей одинаковы. В случае необходимости проводится регулировка длин нитей с помощью регулировочного винта;
2. Оденьте на диск сменное кольцо;
3. Включите электронный блок нажатием клавиши "Сеть";
4. Измерьте, при помощи шкалы на стойке прибора, заданный путь движения 
от светового пучка первого фотоэлектрического датчика до светового пучка второго фотоэлектрического датчика;
5. Наматывая нити на стержень В, установите маятник в наивысшей точке, где он фиксируется с помощью электромагнитов;
6. Нажмите клавишу "Пуск". При этом разрывается питание электромагнита, маятник будет раскручиваться, миллисекундомер начнёт отсчёт времени. При достижении маятником нижнего кронштейна импульс от датчика остановит работу миллисекундомера. Результат высветиться на табло;
7. Запишите значения времени (округлите до третьего знака после запятой), отключить кнопку «ПУСК» и нажать клавишу "Сброс";
8. Повторите опыт ещё 4 раза;
9. Снимите ещё по 5 измерений с каждым из колец. Значения времён падения занесите в таблицу:
| № | m, кг | |
10. С помощью штангенциркуля измерить радиус стержня , радиус диска , и 
- наружный радиус кольца . Данные занести в таблицу
| , м
| ,  кг
| ,кг
| , кг
| , м
| , м
| , м
|
11. По формуле (5) рассчитайте момент инерции 
;
12. Рассчитайте относительную погрешность по формуле (6), считая, что 
мм, 
с, 
мм.
13. Найти абсолютную погрешность .
14. Записать ответ в виде 
(кг∙м2);
15. По формуле (10) рассчитать момент инерции 
;
16. Сравнить и . Сделать вывод.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение момента инерции материальной точки относительно 1) некоторой фиксированной точки, 2) относительно некоторой оси.
2. Дайте определение момента инерции твёрдого тела относительно оси.
3. Получите формулы (8) и (9).
4. Что представляет собой маятник Максвелла?
5. Напишите уравнения поступательного и вращательного движений твёрдого тела.
6. Получите формулу (5).
7. Почему в формулу для момента инерции маятника Максвеллавходит диаметр стержня маятника, а не диаметр диска? Зависит ли момента инерции маятника Максвеллаот диаметра диска?
8. Как изменится период колебаний маятника, если увеличить его массу при тех же геометрических размерах?
9. Запишите формулу для кинетической энергии твёрдого тела.
10. Напишите закон сохранения механической энергии для маятника Максвелла.
11. Выведите формулу для расчета ускорения маятника Максвелла, используя закон сохранения энергии.
12. Чем вызвано затухание колебаний маятника Максвелла?
13. Предложите метод определения доли механической энергии, потерянной за один период колебаний.
14. Найдите момент инерции тонкой палочки длиной 
и массой относительно оси, проходящей перпендикулярно палочки через 1) её середину, 2) через её конец.
15. 
Решите задачу:
На ступенчатый блок намотаны в противоположных направлениях две нити. На конец одной нити действуют постоянной силой F, а к концу другой нити прикреплен груз массы m. Известны радиусы R 1 и R 2 блока и его момент инерции относительно оси вращения. Трения нет. Найдите угловое ускорение блока.
Литература
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика: М., Физматлит, 2010.
2. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности, СПб, Лань, 2009.
3. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М., Бином, 2010.
4. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Курс общей физики. Механика. М., Физматлит, 2011.
5. Сивухин Д.В., Угаров В.А. Сборник задач по общему курсу физики: Механика, М., Физматлит, 2006.
6. Хайкин С.Э. Физические основы механики, СПб, Лань, 2008.
7. Корявов В.П. Методы решения задач в общем курсе физики. Механика. М., Высшая Школа, 2007.