Условные распределения. Независимость случайных величин
Условное распределение — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение
Будем предполагать, что задано вероятностное пространство .
Дискретные случайные величины
Пусть и — случайные величины, такие, что случайный вектор имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности . Пусть такой, что . Тогда функция
,
где — функция вероятности случайной величины , называется условной функцией вероятности случайной величины при условии, что . Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.
Абсолютно непрерывные случайные величины
Пусть и — случайные величины, такие что случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности . Пусть таково, что , где — плотность случайной величины . Тогда функция
называется условной плотностью вероятности случайной величины при условии, что . Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.
Свойства условных распределений
1. Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,
,
,
и
почти всюду на ,
,
2. Справедливы формулы полной вероятности
,
.
3. Если случайные величины и независимы, то условное распределение равно безусловному:
или
почти всюду на .
Условные математические ожидания
Дискретные случайные величины
· Условное математическое ожидание случайной величины при условии получается суммированием относительно условного распределения:
.
· Условное математическое ожидание при условии случайной величины — это третья случайная величина , задаваемая равенством
.
Абсолютно непрерывные случайные величины
· Условное математическое ожидание случайной величины при условии получается интегрированием относительно условного распределения:
.
· Условное математическое ожидание при условии случайной величины — это третья случайная величина , задаваемая равенством
.
Независимость случайных величин
Случайная величина называется независимой от случайной величины , если закон распределения величины не зависит от того, какое значение приняла величина .
Для непрерывных случайных величин условие независимости от может быть записано в виде:
при любом .
Напротив, в случае, если зависит от , то
.
Так как зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны, можно дать новое определение независимых случайных величин.
Случайные величины и называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины и называются зависимыми.
Для независимых непрерывных случайных величин теорема умножения законов распределения принимает вид:
,
Определение 4. Случайные величины Х и У, определенные на одном и том же пространстве элементарных событий, называются независимыми, если для любых чисел а и b независимы события { X=a } и { Y=b }.
Утверждение 6. Если случайные величины Х и У независимы, а и b – некоторые числа, то случайные величины X+a и Y+b также независимы.
Действительно, события {X+a=с} и { Y+b=d } совпадают с событиями { X=с-a } и { Y=d-b } соответственно, а потому независимы.
Утверждение 7. Если случайные величины Х и У независимы, то математическое ожидание произведения ХУ равно произведению математических ожиданий Х и У, т.е. М(ХУ)=М(Х)М(У).
Два события называются независимыми если вероятность их совмещения ровна произведению вероятностей этих событий.
Несколько событий называются попарно независимыми если каждые два из них независимы.
Несколько событий называются независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных