Независимость случайных величин




Условные распределения. Независимость случайных величин

Условное распределение — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение

Будем предполагать, что задано вероятностное пространство .

Дискретные случайные величины

Пусть и — случайные величины, такие, что случайный вектор имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности . Пусть такой, что . Тогда функция

,

где — функция вероятности случайной величины , называется условной функцией вероятности случайной величины при условии, что . Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.

Абсолютно непрерывные случайные величины

Пусть и — случайные величины, такие что случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности . Пусть таково, что , где — плотность случайной величины . Тогда функция

называется условной плотностью вероятности случайной величины при условии, что . Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

Свойства условных распределений

1. Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,

,

,

и

почти всюду на ,

,

2. Справедливы формулы полной вероятности

,

.

3. Если случайные величины и независимы, то условное распределение равно безусловному:

или

почти всюду на .

Условные математические ожидания

Дискретные случайные величины

· Условное математическое ожидание случайной величины при условии получается суммированием относительно условного распределения:

.

· Условное математическое ожидание при условии случайной величины — это третья случайная величина , задаваемая равенством

.

Абсолютно непрерывные случайные величины

· Условное математическое ожидание случайной величины при условии получается интегрированием относительно условного распределения:

.

· Условное математическое ожидание при условии случайной величины — это третья случайная величина , задаваемая равенством

.

Независимость случайных величин

Случайная величина называется независимой от случайной величины , если закон распределения величины не зависит от того, какое значение приняла величина .

Для непрерывных случайных величин условие независимости от может быть записано в виде:

при любом .

Напротив, в случае, если зависит от , то

.

Так как зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны, можно дать новое определение независимых случайных величин.

Случайные величины и называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины и называются зависимыми.

Для независимых непрерывных случайных величин теорема умножения законов распределения принимает вид:

,

Определение 4. Случайные величины Х и У, определенные на одном и том же пространстве элементарных событий, называются независимыми, если для любых чисел а и b независимы события { X=a } и { Y=b }.

Утверждение 6. Если случайные величины Х и У независимы, а и b – некоторые числа, то случайные величины X+a и Y+b также независимы.

Действительно, события {X+a=с} и { Y+b=d } совпадают с событиями { X=с-a } и { Y=d-b } соответственно, а потому независимы.

Утверждение 7. Если случайные величины Х и У независимы, то математическое ожидание произведения ХУ равно произведению математических ожиданий Х и У, т.е. М(ХУ)=М(Х)М(У).

Два события называются независимыми если вероятность их совмещения ровна произведению вероятностей этих событий.

Несколько событий называются попарно независимыми если каждые два из них независимы.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-11-19 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: