Цель работы
1.1 Изучение способов описания линейных систем и их звеньев.
1.2 Исследование временных и частотных характеристик типовых линейных звеньев.
Ключевые положения
Любое линейное звено или система (рис. 1) может быть полностью описана передаточной функцией следующего вида
, (1)
где 
и 
– изображения по Лапласу входного воздействия 
и реакции на него 
соответственно;
– коэффициенты, характеризующие систему (
).
Рисунок 1 – Линейная система
Для описания линейных систем используют:
– во временной области: переходную и импульсную характеристики;
– в частотной области: комплексную передаточную функцию – амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.
Для линейных систем вводят понятия воздействия и реакции.
Воздействие на систему – это сигнал (импульс), поданный на ее вход.
Реакция системы – это результат преобразования системой воздействия.
Переходная характеристика (ПХ) линейной системы 
– это реакция системы на воздействие в виде единичного скачка 
(функции Хевисайда), 
.
Математическое выражение функции Хевисайда:
(2)
Импульсная характеристика (ИХ) линейной системы 
, ее еще называют импульсной реакцией – это реакция системы на воздействие в виде δ-функции (дельта-функции, дельта-функции Дирака), 
.
Математическое выражение дельта-функции Дирака следующее:
(3)
Комплексную передаточную функцию системы получают, принимая 
в операторе 
,
. (4)
Как и любую комплексную функцию, 
можно представить через вещественную и мнимую части
, (5)
где 
– называется вещественной частотной характеристикой;
– называется мнимой частотной характеристикой.
Также можно записать в показательной форме
, (6)
где 
– амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – модуль комплексной передаточной функции – зависимость от частоты коэффициента передачи по амплитуде;
– фазо-частотная характеристика (ФЧХ) – аргумент комплексной передаточной функции – зависимость от частоты фазового сдвига, вносимого системой.
Связь между частотными характеристиками линейной системы может быть проиллюстрирована графически (рис.2).
Математически частотные характеристики линейной системы связаны следующим образом:
,
,
,
.
Рисунок 2 – Комплексная H -плоскость
При графическом построении записанных выше частотных характеристик задают различные значения 
, i = 1,2,... в диапазоне частот от нуля до бесконечности, определяют соответствующие значения 
, 
, , , на графике указывают точки с соответствующими координатами, соединяя их прямыми линиями.
Комплексную частотную характеристику можно изобразить и в виде одной зависимости – годографа – амплитудно-фазо-частотной характеристики, построенной на комплексной плоскости. Годограф представляет собой геометрическое место концов вектора , соответствующих изменению частоты от ω = 0 до ∞.
При синтезе систем используют также логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ)
, дБ. (7)
Комплексная передаточная функция связана с импульсной характеристикой системы преобразованием Фурье:
– прямое преобразование,
–обратное преобразование.
Импульсная и переходная характеристики связаны друг с другом операциями дифференцирования и интегрирования:
, 
. (8)
Нижний предел интегрирования в выражении (8) равен нулю, а не –∞, т.к. по определению для физически реализуемых систем импульсная характеристика принимает нулевые значения при 
.
К типовым звеньям линейных систем относят перечисленные ниже.
1. Безынерционное (пропорциональное, усилительное) звено – это такое звено, для которого в любой момент времени реакция пропорциональна воздействию.
Характеристики:
– передаточная функция: 
;
– комплексная передаточная функция: 
;
– АЧХ: 
;
– ФЧХ: 
;
– уравнение: 
;
– переходная характеристика: 
;
– импульсная характеристика: 
.
Реакция безынерционного звена на единичное ступенчатое воздействие мгновенно достигает величины в k раз большей и сохраняет это значение. При k = 1 звено никак себя не проявляет, а при k = – 1 – инвертирует входной сигнал.
Безынерционное звено является всепропускающим, т.е. имеет одинаковый коэффициент передачи на всех частотах.
Любое реальное звено обладает инерционностью, но с определенной точностью некоторые реальные звенья могут рассматриваться как безынерционные, например, усилитель.
2. Идеальное дифференцирующее звено – это такое звено, реакция которого пропорциональна скорости изменения воздействия.
Характеристики:
– передаточная функция: 
;
– комплексная передаточная функция: 
;
– АЧХ: 
;
– ФЧХ: 
;
– уравнение: 
;
– переходная характеристика: 
;
– импульсная характеристика: 
.
Идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно, так как величина всплеска реакции при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия всегда ограничена. На практике используют реальные дифференцирующие звенья, осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала.
3. Реальное дифференцирующее звено первого порядка осуществляет приближенное дифференцирование входного сигнала. При малых Т такое звено можно рассматривать как идеальное дифференцирующее для низкочастотного воздействия, ширина спектра которого удовлетворяет условию 
.
Характеристики:
– передаточная функция: 
;
– комплексная передаточная функция: 
;
– АЧХ: на начальном участке (до частоты 
) нарастает практически линейно, в его пределах реальное звено можно рассматривать, как осуществляющее идеальное дифференцирование, с ростом частоты стремится к 
;
– ФЧХ: убывает с ростом частоты от 
при 
до 0 при 
, в диапазоне частот, где АЧХ может считаться линейно нарастающей, принимает значения близкие к ;
– уравнение: 
;
– переходная характеристика: 
;
– импульсная характеристика: 
.
Как видим из выражения , при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия выходная величина ограничена по величине и растянута во времени.
Примерами таких звеньев могут являться четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности.
4. Идеальное интегрирующее (астатическое) звено – это такое звено, которое неограниченно "накапливает" входное воздействие.
Характеристики:
– передаточная функция: 
;
– комплексная передаточная функция: 
;
– АЧХ: 
;
– ФЧХ: 
;
– уравнение: 
;
– переходная характеристика: 
;
– импульсная характеристика: 
.
Пример интегрирующего звена: емкость.
5. Инерционное звено первого порядка (апериодическое). При достаточно больших Т такое звено может рассматриваться как интегрирующее, при малых Т звено приближенно можно рассматривать как безынерционное.
Характеристики:
– передаточная функция: 
;
– комплексная передаточная функция: 
;
– АЧХ: убывает с ростом частот от при до 0 при ;
– ФЧХ: убывает с ростом частот от 0 при до 
при ;
– уравнение: 
;
– переходная характеристика: 
;
– импульсная характеристика: 
.
Примеры апериодического звена: четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности.
6. Инерционное звено второго порядка (колебательное) – это такое звено, переходная и импульсная характеристика которого представляют собой колебательный процесс.
Характеристики:
– передаточная функция: 
;
– комплексная передаточная функция: 
;
– АЧХ: характеризуется наличием максимума на резонансной частоте 
, которая зависит от значений Т 1 и Т 2;
– ФЧХ: убывает с ростом частот от 0 при до 
при , на частоте фазовый сдвиг равен –90 градусов;
– уравнение: 
;
– переходная характеристика является суммой единичного скачка 
и гармонического колебательного процесса с амплитудой колебаний пропорциональной и периодом 
;
– импульсная характеристика является гармоническим колебательным процессом с амплитудой колебаний пропорциональной и периодом .
Скорость затухания колебаний переходной и импульсной характеристик такого звена зависит от величины
.
При 
колебания носят незатухающий характер. Соответственно, чем значение 
ближе к нулю, тем медленнее происходит затухание амплитуды колебаний.
Примером колебательного звена может служить электрический колебательный контур с активным сопротивлением и т.п.
3. Ключевые вопросы
3.1 Дайте определение переходной и импульсной характеристик системы.
3.2 Как связаны между собой переходная и импульсная характеристики системы?
3.3 Расшифруйте аббревиатуру и дайте определение АЧХ и ФЧХ системы.
3.4 Каким образом производится переход от передаточной функции системы к комплексной передаточной функции системы?
3.5 Какие частотные характеристики систем вам известны, как они связаны между собой?
3.6 Как связаны между собой комплексная передаточная функция и импульсная характеристика системы?
3.7 Дайте определение, запишите и поясните характеристики типовых звеньев систем: безынерционного звена, идеального и реального дифференцирующих звеньев, астатического и апериодического звеньев, колебательного звена.
Домашнее задание
4.1 Изучить по конспекту и литературе [1, разд. 2.1] раздел "Описание линейных систем с помощью передаточных функций"
4.2 Построить графики переходной и импульсной характеристик безынерционного звена, астатического и апериодического звеньев.
Параметры звеньев:
безынерционного – k = 1 + 0,05 N;
астатического – k = 1 + 0,05 N, Т = 1 с;
апериодического – k = 1 + 0,05 N, Т = 1 с,
k = (1 + 0,05 N)10, Т = 10 с,
k = 1 + 0,05 N, Т = 0,02 с;
N – номер бригады (стенда).
При построении графиков необходимо принять диапазон значений t от –0,1 c до 1 c. В случае апериодического звена три зависимости, соответствующие трем наборам параметров звена, необходимо изобразить на одном рисунке.
Сравнить переходные (или импульсные) характеристики между собой.
4.3 Подготовится к обсуждению по ключевым вопросам раздела 3 этого пособия.
Лабораторное задание
5.1 Запуск виртуального лабораторного макета: с помощью ярлыка на рабочем столе запустите программу Matlab и введите в командной строке "lb2", нажмите "Enter".
5.2 Исследование характеристик безынерционного звена. В выпадающем списке выберите "усилительное звено" и установите b 0 равное k из домашнего задания для безынерционного звена, нажмите кнопку "Запуск".
Проанализируйте, соответствуют ли полученные результаты теоретическим положениям, а именно, что безынерционноезвено:
– моментально реагирует на воздействие;
– является всепропускающим и не вносит фазового сдвига.
Какие из графиков, построенных макетом, необходимо зафиксировать в рабочей тетради уточняйте у преподавателя (также поступайте в следующих пунктах лабораторного задания).
5.3 Исследование характеристик идеального интегрирующего (астатического) звена. В выпадающем списке выберите "идеальное интегрирующее звено" и установите b 0 равное k из домашнего задания для астатического звена, нажмите кнопку "Запуск".
Проанализируйте, соответствуют ли полученные результаты теоретическим положениям, а именно, что астатическоезвено:
– неограниченно "накапливает" входное воздействие;
– имеет коэффициент передачи по амплитуде обратно пропорциональный частоте и вносит одинаковый фазовый сдвиг на всех частотах равный
–90 градусов.
5.4 Исследование характеристик инерционного звена первого порядка (апериодического). В выпадающем списке выберите "апериодическое звено" и последовательно установите три варианта значений b 0 и a 1 равные k и T из домашнего задания для апериодического звена, нажмите кнопку "Запуск".
Сравните графики импульсных и переходных характеристик, построенные макетом и полученные при выполнении домашнего задания.
Убедитесь, что во втором случае характеристики апериодического звена можно считать близкими к характеристикам идеального интегрирующего (астатического) звена.
Убедитесь, что в третьем случае характеристики апериодического звена можно считать близкими к характеристикам безынерционного звена. Можете уменьшите значение a 1 до 0,002 и убедится, что характеристики становятся еще ближе к характеристикам безынерционного звена
5.6 Исследование характеристик инерционного звена второго порядка (колебательного). В выпадающем списке выберите "колебательное звено" и установите b 0 равное k из домашнего задания для безынерционного звена, установите a 2 = 0,001 и a 1 = 0,01, нажмите кнопку "Запуск".
Убедитесь, что колебательное звено реагирует на импульсное воздействие гармоническим колебательным процессом, период колебаний которого равен 
, где 
– частота, на которой наблюдается максимум АЧХ, а фазовый сдвиг, вносимый звеном, равен 
.
Установите значение a 1 = 0 () и убедитесь, что колебания импульсной и переходной характеристик носят незатухающий характер.
5.7 Исследование характеристик идеального дифференцирующего звена. В выпадающем списке выберите "идеальное дифференцирующее звено" и установите b 0 равное 1, нажмите кнопку "Запуск".
Проанализируйте, соответствуют ли полученные результаты теоретическим положениям, а именно, что идеальное дифференцирующеезвено:
– имеет реакцию на воздействие являющуюся его производной: для значений единичный скачок равен 0 и, соответственно, его производная равна нулю, для значений 
единичный скачок равен 1 – производная тоже равна нулю, в момент 
происходит мгновенный переход с уровня 0 на уровень 1 – производная равна ∞ (поскольку отобразить скачок до бесконечности невозможно, то на графике имеется ограничение по уровню);
– имеет коэффициент передачи по амплитуде пропорциональный частоте и вносит одинаковый фазовый сдвиг на всех частотах равный 90 градусов.
5.8 Исследование характеристик реального дифференцирующего звена первого порядка. В выпадающем списке выберите "реальное дифференцирующее звено первого порядка" и установите b 0 равное 1 и a 1 = 0,05 (
с, 
), нажмите кнопку "Запуск".
Убедитесь, что реальное дифференцирующеезвено первого порядка осуществляет приближенное дифференцирование входного воздействия с шиной спектра 
Гц, в диапазоне частот до 2 Гц:
– АЧХ линейно возрастает;
– ФЧХ принимает значения близкие к 90 градусам.
Из графика АЧХ также можно видеть что при больших значениях частоты коэффициент передачи стремится к .
Описание лабораторного макета
Лабораторная работа выполняется на компьютере в среде Matlab с использованием виртуального макета, структурная схема которого приведена на рис. 3.
Требование к отчету
7.1 Название лабораторной работы.
7.2 Цель работы.
7.3 Результаты выполнения домашнего задания.
7.4 Структурная схема исследований и результаты выполнения пп. 5.2…5.8 лабораторного задания (графики и числовые значения).
7.5 Выводы по каждому пункту задания, в которых представить анализ полученных результатов.
7.6 Дата, подпись студента, виза преподавателя с оценкой по 100-бальной системе оценивания.
Література
1. Вунш Г. Теория систем: Пер. с нем. – М., «Сов. радио», 1978. – 288 с.