ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА В ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ




Свойство 1

Поскольку выбор первого элемента в перестановке не повлияет на числа возможностей выбора второго, выбор второго элемента не повлияет на число возможностей третьего, здесь можем воспользоваться правилом произведения

Произведение первых n-натуральных чисел n(n-1) (n-2)(n-3)*…*1*2*3 называется n- факториал и обозначается n! (5!=1*2*3*4*5)

Свойство 2

Рассмотрим задачу:

Сколькими способами из n различных предметов можно выбрать m различных предметов и расположить их в m различных местах. Такое расположение наз. размещением из n по m и обозначается

=

Отметим, что если все k-групп одинаковы, т.е. каждая состоит из одних и тех же различных между собой n-элементов, то получаем число размещений с повторениями

Свойство 3

Рассмотрим задачу:

Какими способами можно из множества, содержащего n-элементов выбрать подмножество, содержащее m-элементов, такое подмножество наз. сочетанием из n по m и обозначается

❷❾ Изучением случайных явлений и процессов занимается теория вероятности.

Под испытанием понимают наблюдение, опыт, эксперимент

Случайным событием наз. такой исход испытания, который при соблюдении условий испытания может произойти, а может и не произойти

Для краткости их наз. событием

Достоверным событием наз. событие, которое при соблюдении условий испытания обязательно произойдет.

Невозможным событием наз. событие, которое заведомо не может произойти при соблюдении условий испытания

События наз. несовместимыми, если они взаимно исключают друг друга, т.е. никакие из них не могут появиться вместе, в противном случае события наз. совместимыми

2)Вероятность события. Основные свойства вероятности.

Испытания характеризуются не только своими возможными исходами и количеством, но и степенью их появления.

Степень возможности того, что случайное событие произойдет определяет специальная математическая характеристика, которая наз. вероятностью ( Вероятность события А обозначается Р(А))

О вероятности может говорить:

1)только в связи с появлением того или иного события

2)вероятность событий можно сравнивать между собой

3)вероятность всякого события не может быть больше вероятности достоверного события

Пусть m(А) – это число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А в результате испытания

n(E) – общее число равновозможных элементарных событий, которые могут произойти в результате испытания, тогда вероятностью события А наз. отношение

 

❸⓿ - классическое определение вероятности

Элементарные события должны быть равновозможными, т.е. условия испытания обеспечивают одинаковую возможность появления каждого из них. В противном случае вероятность события нельзя будет определить по формуле

Свойства вероятности:

1)Вероятность достоверного события равна 1

2)вероятность невозможного события равна 0

3)вероятность случайного события А есть положительное число, заключенное между 0 и 1 0≤Р(А)≤1

3)Вероятность объединения событий и правило сложения вероятностей

Событие, которое происходит т.и т. т. к. происходит хотя бы одно из событий А или В наз. объединением событий А и В, поэтому высказывание «произошло событие АUВ» обозначает, что произошло событе А или произошло событие В или произошли оба события

Правило 1

Вероятность того, что произойдет одно из двух несовместимых событий (все равно какое А или В) равна сумме вероятностей этих событий

Р(АUВ) = Р(А) + Р(В)

Это правило наз. сложением вероятностей двух несовместимых событий

Следствие

Пусть несовместимые события, которые могут произойти при испытании

Р()+Р()+Р()+…+Р()=1

Пусть А- событие, - противоположное ему событие, т.е. событие, происходящее т и ттк не происходит событие А

Р(А) +Р() = 1

Событие, которое происходит т и ттк происходит оба события А и В наз. пересечением событий и обозначается А∩В

Высказывание «произошло событие А∩В» означает, что произошло событие А и событие В

Правило 2

Вероятность объединения двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления

Р(АUВ) = Р(А) + Р(В)- Р(А∩В)

Правило сложения вероятностей двух совместимых событий

4)Независимость случайных событий и правило умножения вероятностей

Событие А наз. независимым от события В если вероятность события А не зависит от того произошло или не произошло событие В

Если событие А независимо от события В, то событие В независимо от события А

Правило

Вероятность того, что произойдут 2 независимых события А и В авна произведению вероятностей

Р(А∩В) = Р(А) * Р(В)

Это утверждение называют правилом умножения вероятностей двух независимых событий

 

 

❸❻ Числовые последовательности и ряды

Функцию, заданную надмножестве натуральных чисел обычно называют числовой последовательностью

Числа наз. ч ленами последовательности, - общий член последовательности

Числовая последовательность считается заданной, если мы знаем закон ее образования

Закон образования последовательности будет известен если общий член выражен формулой

2) Вычисление пределов

1. величина наз. переменной, если онав условиях данной задачи принимает различные числовые значения

2. переменной х наз. ограниченной, если она при своем изменении по абсолютной величине никогда не превосходит некоторого числа А

|x| < A

3. переменная наз. бесконечно малой, если она при своем изменении остается меньше любого, наперед заданного, сколь угодно малого положит. числа Е

|ɑ| < E

4. переменная х наз. бесконечно большой, если она при своем изменении по абсолютному значению становится и при дальнейшем изменении остается больше любого, наперед заданного положительного числа N как бы велико оно не было

|x| >N

5. постоянное а наз. приделом переменной х, если абсолютная величина разности а-х в процессе изменения х становится и при его дальнейшем изменении остается меньше любого наперед заданного положительного числа Ɛ как бы мало оно не было

|x-a|<Ɛ

Если постоянная а есть придел переменной х, то говорят, что х стремится к а и записывают , при х→а

6. функция f(x)→в

При х →а, причем х не принимает значения равного а, то число в наз. пределом функции f(x), при х=а

7. предел бесконечно малой величины равен нулю (lim ɑ = 0; ɑ - б.м.)

8.разность между переменной и ее пределом есть величина бесконечно малая, т.е. придел lim x =a; а - ɑ = х

9.Величина, обратная бесконечно большой есть бесконечно малая, т.е. если х – б.б., то - б.м. величина

х→∞; → 0

❸❼ Придел постоянной величины равен самой постоянной

∙∙Придел алгебраической суммы конечного числа переменных величин, имеющих пиделы, равен алгебраической сумме этих переменных (Lim(u+v-G) = lim u + lim v + lim G)

∙∙ Придел от произведения конечного числа переменных, имеющих приделы, равен произведению приделов этих переменных

Lim (u*v) = limu * limv

Следствие 1

Придел произведения постоянной величины на переменную имеющую придел, равен произведению этой постоянной на предел переменной

Lim(av) = a lim v

Следствие 2

Придел целой положительной степени переменной, имеющий придел, равен этой же степени придела это переменной

=

Следствие 3

Придел корня целой положительной степени из переменной, имеющей придел, равен корню той же степени из придела этой переменной

Lim =

Следствие 4

Придел частного двух переменных имеющих приделы, равен частному приделов делимого и делителя, если придел делителя не равен нулю

Lim() = ; lim v≠ 0

❸❽ Основные замечательные пределы

1.

2.

 

 

❸❺. Понятие функции и способы задания функции

Пусть даны Х и У – два непустых множества. Соответствие f, которое каждому элементу х ͼ Х ставит в соответствие у ͼ У наз. функцией у = f (x)

Говорят еще, что функция f отображает множество Х на множество У

Способы задания функции:

1) аналитический способ

Функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, т.к. к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию

2)графический способ

Задается графиком функции

Преимуществом графического способа является его наглядность, недостатком – его неточность

3)табличный способ

Функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функции, полученных опытным путем или в результате наблюдений

 

❹❷3.НЕЯВНАЯ ФУНКЦИЯ

Пусть задана функция у=у(х), обладающая производной в точке х. задана неявно уравнением F(х;у)=0, тогда проізводную у’(х) этой функции можно найти продифференцировав это уравнение и разрешая затем полученное уравнение относительно у’.

Функция F(х;у)=0, заданная уравнением, содержащим переменные х и у, называется неявной функцией от х.

Производная от у по х при неявном способе задания функции находится по правилу:

1. Находим производную от функции F(х;у)=0, рассматриваемую как функцию от х

2. Решив полученное уравнение относительную y’ будем иметь выражения производной от неявной функции

Используется для нахождения производной показательно-степенной функции u(x)v(x) , а также используется для других громоздких выражений, допускающих логарифмирование (произведение, частное извлечение корня)

Логарифмической производной y=f(x) называется производная от логарифма этой функции (ln y)’=

Y=cos xx

(ln y)’=(ln cos xx )

 

❹❸ ПРИЗНАКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а,в), то функция возрастает, а если производная функции отрицательна для х в интервале (а,в), то функция у убывает.

Значение аргумента, при котором функция имеет наибольшую величину, называется точка максимума, а значение аргумента, при котором функция имеет наименьшую величину, называется точкой минимума.

Если функция непрерывна на отрезке [а;в] имеет единственный экстремум, то в случае максимума это будет ее наибольшее значение, а в случае минимума – наименьшим.

ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ

1)Найти стационарные точки

2)Найти значение функции в стационарных точках и на концах отрезка. Наибольшее и наименьшее значение из этих чисел будет соответствовать наибольшим и наименьшим значениям функции на этом отрезке.

❹❹ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

y=f(x) называется произведение производной этой функции f’(x) на произвольное преращение аргумента dyf’(x) Dх. Дифференциал аргумента равен преращению

dx=D x

dy=f’(x)dx

Для нахождения дифференциала первого порядка y=f(x) нужно ее производную умножить на дифференциал аргумента.

Правило Лопиталя «Раскрытие неопределенности вида »:

Пусть функции f(x) и g(x) они непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки хо и обращаются в 0 в этой точке, тогда справедлив предел, который будет равен пределу lim =lim

Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности :

Пусть заданы функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестностях точки хо и в этой точке предел функции lim f(x)=lim g(x)=∞, тогда существует предел =

❹❻ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

y=f(x) называется произведение производной этой функции f’(x) на произвольное преращение аргумента dyf’(x) Dх. Дифференциал аргумента равен преращению

dx=D x

dy=f’(x)dx

Для нахождения дифференциала первого порядка y=f(x) нужно ее производную умножить на дифференциал аргумента.

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА В ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Преращение х у функции y=f(x) в точке х можно представить в виде Dу= f’(x)Dх+αDх, где α→0

Dу= dy+ αDх, отбрасывая бесконечно малую величину αDх более высокого порядка, чем DХ, получаем приближенное равенство Dу» dy.

Причем это равенство тем точнее, чем меньше DХ. Это равенство позволяет с большей точностью вычислить приближенно преращение любой дифференцируемой функции (вычисление абсолютной и относительной погрешности).

❹❾ Таблица неопределенных интегралов f(x)=u

∫u2du= +c

∫1du=u+c

du=ln(u)+c α≠-1

1. ∫a4du= +c

2. ∫e4du=e4+c

3. То же самое при нахождении производных

III. Некоторые способы непосредственного интегрирования

Непосредственное интегрирование производится путем применения соответствующего его табличного интеграла. Здесь могут использоваться следующие случаи:

1. Данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу

2. Данный интеграл после применения свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам

3. Данный интеграл после элементарных преобразований на подынтегральной функцией и применение свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

 

❺⓿ Замена переменно – метод постановки

Пусть требуется найти f[v(x)v’(x)]dx, где подынтегральная функция непрерывна.

Применяем подстановку v(x)=u и получим

∫f[v(x)v’(x)dx=∫f(u)du

Частичный случай

dx=ln(u)+c

 

❺❶ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И СПОСОБЫЕГО ВЫЧИСЛЕНИЯ

Если первообразная F(x)+c, первообразная функции f(x), то преращение F(b)-F(a) первообразная функций при изменении аргумента х от х=а до х=в называется определенным интегралом и обозначается символом

, где а – нижний предел определенного интеграла, в – верхний предел определенного интеграла

Функция f(x) предполагается непрерывной в интервале изменения аргумента х от а до в. Вычисление определенного интеграла выполняется следующим образом:

1. Находим неопределенный интеграл ∫f(x)dx=F(x)+c

2. Значение интеграла F(x)+c при х=в F(в)

3. F(x)+c, при х=а F(а)

4. F(в)- F(а)

Свойства определенного интеграла:

1. При постановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

3. Определенный интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов

❺❷ Нахождение площадей криволинейных фигур:

Определенный интеграл широко применяют при вычислении различных геометрических и физических величин. Площадь всякой плоской фигуры рассматривается в прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, принадлежащих к основным.

Путь, пройденный телом при равномерном движении за время t вычисляется по формуле S=vt, где v – скорость (постоянная величина).

При неравномерном движении скорость v – величина переменная, зависит от t (v= )

Путь, пройденный телом при неравномерном движении за времяt2-t1 вычисляется по формуле S=

❺❸Уравнение относительно некоторой искомой функции, если оно содержит хотя бы 1 производную этой функции.

Символически дифференцированное уравнение записывается так F(x,y,y’)=0; F(x,y,y’’)=0; F(x,y,y’…yn)=0

Дифференцирование уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференцированного уравнения называется порядок высшей его производной или дифференциала, входящего в данное уравнение.

Степенью дифференциального уравнения называется степень высшей в нем производной или дифференциала.

Решением или интегралом дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением или интегралом дифференцированного уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых производных постоянных, каков порядок уравнения.

Дифференцированное уравнение первого порядка содержит одно производное постоянное.

Частным решением дифференцированного уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значение произвольных постоянных находится при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференцированного уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференцированного уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Обыкновенным дифференцированным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференцированное уравнение с разделяющимися переменными называется уравнение вида =f(x)g(y)

Решение уравнения с разделяющимися переменными выполняется следующим образом:

*Выполнить разделение переменных =dxf(x)

*Проинтегрировать обе части уравнения =∫dxf(x)

*Найти частные решения уравнений и проверить их решения.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: