Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется символическим методом. Сущность символического метода состоит в том, чтобы, используя комплексные числа, перейти от составления и решения интегро-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений к составлению и решению алгебраических уравнений для функций оператора комплексной плоскости.

В курсе ТОЭ используются следующие формы записи комплексного числа:

алгебраическая _m = A¢_m + jA¢¢_m;

показательная _m= A_me^jy;

тригонометрическая _m = A_m cos y + jA_m sin y.

Здесь A¢_m=A_mcosy = Re[ _m] - действительная часть комплексного числа _m ; A¢¢_m = A_msin y = Im [ _m] - мнимая часть комплексного числа; A_m= - модуль комплексного числа; y=arctg - аргумент комплексного числа; j = = е ^jp/2 - мнимая единица или оператор поворота на угол p/2 = 90⁰ (умножение на j cводится к повороту вектора против часовой стрелки на угол 90⁰, а умножение на -j = e^-jp/2- к повороту вектора на угол 90⁰ по часовой стрелке).

Комплексное число изображается в системе координат (+1; + j) следующим образом (рис. 14):

рис. 14

Действия над комплексными числами.

а). С использованием алгебраической формы записи комплексного числа:

сложение: + = (a₁ + jb₁) + (a₂ + jb₂) = (a₁ + a₂) + j(b₁+ b₂) = ;

умножение: × = (a₁ + jb₁)×(a₂ + jb₂)=(a₁a₂ - b₁b₂) + j(a₁b₂ + a₂b₁) = ;

деление: ,

где число - комплексно-сопряженное числу (отличаются знаком мнимой части). Произведение комплексно - сопряженных чисел - действительное число, равное квадрату их модуля: × = B²

б). С использованием показательной формы комплексного числа: в этом случае удобнее производить операции умножения, деления, возведения в степень, чем в случае использования алгебраической формы.

Умножение: × = Ae^jja × Be^jjb = ABe^{j(ja + jb)} ;

деление: Ae^jja / Be^jjb e^{j(ja - jb)} ;

возведение в степень: ()ⁿ = (Ae^jja)ⁿ = Aⁿe^{jja × n} = Aⁿ×cosj_a×n +

+ jAⁿ×sinj_a×n;

извлечение квадратного корня: = = ×e^jja/2 .

Различные формы записи комплексного числа объединяются между собой при помощи ф о р м у л ы Э й л е р а:

e ^{+ jj} = cosj + jsinj

Мгновенное значение синусоидальной функции есть мнимая часть изображающей ее комплексной амплитуды, умноженной на e^+jwt :

a (t) = Im [ _me^jwt] = Im[A_me^{j(wt + j)}] = A_msin(wt + j).

3.6 Комплексные выражения синусоидальной функции времени, ее производной и интеграла см. в табл. 1.

Таблица 1.

Временная и комплексная записи	Функция	Производная функции	Интеграл от функции
Запись во временной области	a =Am sin(wt + y)	wAmcos(wt + y)	cos(wt+ y)
Комплексная функция времени	Amej×(wt + y)	wAmej×(wt + y + p / 2)	×Amej×(wt +y - p /2)
Комплексная амплитуда	m = A m ejy	jw m	m
Комплексное действующее значение	= A m ejy	jw

Например, для тока i, падения напряжения на активном сопротивлении u_R, индуктивности u_L и емкости u_C соответствующие комплексные амплитуды запишем так:

i = I_m sin(wt + y) ® _m = I_me^jy;

u_R = iR = RI_m sin (wt + y) ® _Rm = R _m ;

u_L = L wLI_m cos(wt + y) ® _Lm = jwL _m

u_C = I_m cos(wt + y) ® _Cm = - j _m

Здесь стрелка ® означает знак соответствия.