Основные понятия
Определение. Уравнение вида
F(x,y,y',y'',…,y(n)) = 0, (*)
связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С1,С2,…,Сn), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у', у'',…, у(n) уравнение (*) в тождество.
Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сn определенные числовые значения.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение вида y''+ρy'+qy=f(x), где ρ и q – вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:
y''+ρy'+qy=0, (1)
у которого правая часть f(x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.
Уравнение
K2+ρK+q=0 (2)
называется характеристическим уравнением данного уравнения (1).
Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К1 и К2.
Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D=ρ2–4q уравнения (2) следующим образом:
1. При D>0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К1≠К2), и общее решение имеет вид.
2. При D=0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К1=К2=К), и общее решение имеет вид:
3. Если D<0, то корни характеристического уравнения комплексные:, где – мнимая единица, и общее решение (К1=α+βi, К2=α–βi, β≠0), имеет вид y=eαx(C1 cosβx+C2 sinβx).
Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).
Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при, а решение отыскивается при.
От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
5) Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).
Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.
Определение числового ряда.
Сходимость ряда.
Бесконечным числовым рядом называется выражение u1+u2+...+un+..., (1)
содержащее неограниченное число членов, где
u1, u2, u3,..., un,...
- бесконечная числовая последовательность; un называется общим членом ряда.
Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда.
Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где,: [1].
В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда.
6)Признак Деломбера.
7)
8)
9,10) Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Особенно часто и эффективно степенные ряды используются для точного и приближенного решения дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными. Не вдаваясь в сложные теоретические обоснования, рассмотрим дифференциальное уравнение Бесселя
x2y" + xy' + (x2 - n2)y = 0,
где n - постоянная (необязательно целая), x - независимая переменная, а y = y(x) - искомая функция. Решения этого уравнения, называемые функциями Бесселя, нашли применение практически во всех областях современного естествознания.
Будем искать y в виде обобщенного степенного ряда
где p, ak - неизвестные постоянные, причем a0? 0. Дифференцируя этот ряд дважды под знаком суммы, подставим выражения функции y и ее производных y', y" в уравнение (7). Затем сделаем приведение подобных членов, и коэффициенты полученного ряда приравняем нулю. После этого получим бесконечную систему уравнений
a0(p2 - n2) = 0,
a1[(p + 1)2 - n2] = 0,
ak[(p + k)2 - n2] + ak - 2 = 0, k = 2, 3, 4, _,
откуда находим
p =? n, a1 = a3 = a5 = _ = 0,
В случае нецелого n функции y1(x) и y2(x), соответствующие значениям p = n и p = - n, являются линейно-независимыми и любое другое решение дифференциального уравнения (7) имеет вид y = c1y1(x) + + c2y2(x), где c1, c2 - постоянные. В случае целого n эти функции отличаются друг от друга только постоянным множителем, поэтому определяют лишь одно из двух линейно-независимых решений дифференциального уравнения.
12)
13)
14) 
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Дискретной случайной величиной называется такая переменная величина, которая может принимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.
21)
22)
23)
24)
25)
