Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии




Для решения задачи 1 и задачи 2 необходимо изучить следующую литературу: (1,4,5,6)

Глава 3, стр. 63 –74,

Глава 4, стр. 95 – 101

Глава 9, § 1– 13, стр. 222-251

Теперь рассмотрим применение изученных формул на примерах.

ЗАДАЧА 1.

В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А1 В1 С1 D1. Найдите:

а) длину ребра А1 В1;

б) косинус угла между векторами ;

в) уравнение ребра А1 В1;

г) уравнение грани А1 В1 С1;

д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1 В1 С1;

е) координаты векторов , , , и докажите, что они образуют линейно независимую систему;

ж) координаты вектора , где середины ребер А1 D1 и В1 С1, соответственно;

з) разложение вектора по базису если А1(- 2,2,2), В1(1, - 3,0), С1(6,2,4), D1(5,7, - 1).

Решение:

а) Найдем координаты вектора по формуле:

= XВ - XА ; YВ - YА ; ZВ - ZА , где (ХА , YА , ZА ) – координаты точки А1, (ХВ , YВ , ZВ ) – координаты точки В1.

Итак, = Тогда = .

Итак, длина отрезка (или длина вектора ) равна . Это и есть искомая длина ребра;

б) Координаты вектора = уже известны, осталось определить координаты вектора : = .

Угол между векторами и вычислим по формуле cos = ,

где скалярое произведение векторов и равно (, )= 3 ´ 8 + (- 5) ´ 0 + (- 2) ´2 =

= 24 + 0 - 4=20, = , = Итак, cos = = ;

в) Координаты точки А1(- 2,2,2) обозначим соответственно Х0 = - 2, У0 = 2, Z0=2, а координаты точки В1 (1, - 3,0) через Х1=1, У1 = - 3, Z1=0 и воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки: .

Следовательно, уравнение ребра А1В1 имеет вид или ;

г) Обозначим координаты векторов и через Х1=3, У1= - 5, 1= - 2 и Х2=8, У2= 0, 2=2, соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой:

Так как данный вектор перпендикулярен грани А1 В1 С1, то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х0, У0, 0) перпендикулярно вектору , которое имеет вид:

А .

Подставим координаты точки А10= - 2, У0=2, 0=2) и координаты перпендикулярного вектора А= - 10, В= - 22, С=40 в это уравнение:

– 10 (Х + 2) - 22 (У - 2) + 40 ( - 2) = 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены – 10 х – 22 у + 40z + (- 20 + 44 - 80)=0. Итак, уравнение грани А1 В1 С1 имеет вид: - 10х - 22у + 40 z - 56=0 или - 5х - 11у + 20 z - 28=0;

д) Вектор является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины D 1 на грань А1В1С1. Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку с заданным направляющим вектором: , где – координаты точки D1. Отсюда искомое уравнение: или ;

е) Координаты вектора = = .

Обозначим = , = , .

Чтобы доказать, что векторы образуют линейно независимую систему векторов необходимо убедиться, что определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов,

отличен от 0. Определитель третьего порядка равен

= - + =

=

Вычислим определитель:

=3 ( 5) +( 2) = 3 (0 ( 3) 5 2)+5 (8 ( 3) 7 2)

- 2 (8 5 7 0) =3 ( 10)+5 ( 24 14) 2 40= 30 190 80 = 300.

Так как данный определитель отличен от 0, то вектора образуют линейно независимую систему;

ж) Сначала найдем координаты точек М и N, соответственно. Координаты точки

М = = = N = = = .

Получаем вектор = ;

з) Обозначим через координаты вектора в базе .

Тогда = = .

Так как = + + ;

= + + = ,

то приравнивая соответствующие координаты, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(1)

Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера

(см. глава 10, стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(2)

Тогда = z , где:

 

Для системы (1) определитель:

=3 8 +7 =

= 3 ( 10) 8 (15 + 10) + 7 ( 10) = 30 200 70 = 300;

= 2 8 +7 =

=3 2 +7 =

=3

=3 8 +2 =

=

 

По формулам Крамера

Итак, разложение вектора по базису () имеет вид:

=

ЗАДАЧА 2.

Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) с помощью обратной матрицы

Решение:

а) метод Крамера состоит в решении системы линейных уравнений по формулам Крамера ,

где (подробности смотрите в пункте з) задачи 1.

Так как ; то

б) решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы:

Составим расширенную матрицу данной системы.

.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу:

.

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид:

= .

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 3 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

= .

Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1:

.

Умножим каждый элемент второй строки матрицы на 8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:

.

Данная матрица соответствует системе уравнений , решение которой совпадает с решением исходной системы. Начиная с последнего уравнения, несложно найти все неизвестные.

Действительно, так как и , то

Отсюда, Из имеем

Ответ: .

в) решение системы в этом случае равно = , где:

= – обратная матрица для матрицы = , – столбец свободных членов, определитель этой матрицы. (Общую запись системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными смотрите в задаче 1, пункт з, система 2).

Составим матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных данной системы:

А = .

Вычислим ее определитель = 4 4 6 = .

Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:

Тогда = = и = =

= = = = .

Отметим, что ответы, полученные при решениями разными методами, совпадают между собой.

Ответ:



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: