Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Уравнения с разделяющимися переменным.

Вопросы к экзамену по математике

Направление ГМУ

1. Матрицы. Действия с матрицами: сложение, умножение на число. Умножение матриц.

2. Определитель матрицы, его свойства и способы вычисления.

3. Обратная матрица. Способы ее вычисления.

4. Ранг матрицы, правила его нахождения.

5. Система линейных уравнений, определение числа ее решений.

6. Различные методы решения систем линейных уравнений (Крамера, Гаусса, матричный).

7. Уравнение прямой на плоскости (общее, с угловым коэффициентом, в отрезках).

8. Нахождение угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, нормальные векторы к прямым.

Основные понятия вектора. Линейные операции над векторами.

Скалярное произведение векторов. Его свойства и геометрический смысл.

Функция, область определения и область значений функции. Элементарные функции и их графики. Сложная функция.

Построение графиков функций с помощью преобразований. Сложение графиков.

13. Предел функции в точке и на бесконечности.

14. Односторонние пределы.

15. Непрерывность функции. Точки разрыва.

Производная: ее геометрический и экономический смысл.

Производная постоянной, суммы, произведения, частного, сложной функции.

Правило Лопиталя.

Монотонность функции: интервалы возрастания и убывания. Знак первой производной в этих интервалах.

Выпуклость графика функции одной переменной. Точки перегиба. Условия выпуклости и существования точки перегиба.

21. Асимптоты: вертикальные, наклонные, горизонтальные.

22. Функции двух переменных: область определения, линии уровня.

23. Частные производные и их физический смысл для функции двух переменных.

24. Экстремум функции двух переменных, необходимое условие его существования.

25. Метод наименьших квадратов.

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

Определенный интеграл: определение, основные свойства, геометрический смысл.

Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Уравнения с разделяющимися переменным.

29. Случайные события, виды событий: достоверное, невозможное случайное. Сумма и произведение событий, противоположное событие.

30. Классическое, геометрическое и статистическое определение вероятности.

31. Теорема сложения для зависимых и независимых событий. Вероятность противоположного события.

32. Условная вероятность. Теорема произведения. Зависимые и независимые события.

33. Формула полной вероятности и формула гипотез.

34. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли.

35. Закон распределения дискретной случайной величины, ее числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и мода).

36. Выборка. Построение вариационных рядов и их графическое изображение.

37. Выборочные числовые характеристики (среднее значение, мода, медиана, выборочная дисперсия, среднее линейное и квадратичное отклонения), их вычисление для дискретного и непрерывного ряда.

38. Понятие точечной оценки параметров распределения, ее свойства (состоятельность, несмещенность и эффективность). Точечная оценка вероятности и математического ожидания и дисперсии.

 

Литература

1. Баврин, И.И. Высшая математика: Учебник [Текст] / И.И. Баврин. 5-е изд. – М.: «Академия», 2010.

2. Красс, М.С. Математика для экономистов [Текст] / М.С. Крафсс. – СПб.: – «Питер», 2009

3. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов [Текст] / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М., 2008.

4. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов [Текст] / Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др.; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009.

 

Задачи для подготовки к экзамену

1. В группе 30 студентов, из них 20 учатся только на хорошо и отлично. Сколько способов существует выбрать 10 студентов так, чтобы среди них было 4 слабоуспевающих?

2. Участниками акционерного общества закрытого типа являются 5 человек. Из их среды нужно выбрать председателя правления, двух его заместителей и председателя ревизионной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

3. Дана матрица A и матрица строка B. Транспонируйте матрицу В и найдите произведение : , .

4. Найти значения матричного многочлена при , если Е – единичная матрица третьего порядка.

5. Найти отношение .

6. Решить матричные уравнения , где .

7. Решить уравнение .

8. Определить ранг матрицы .

9. Решить систему линейных уравнений тремя способами: 1) по правилу Крамера; 2) матричным методом; 3) методом Гаусса: .

10. Исследовать на совместность систему уравнений: .

11. Даны точки A(4,-2,4), B(4,4,-2), C(-2,4,2). Найти угол ABC.

12. Установить коллинеарны ли векторы . Найти скалярное произведение векторов a и b и косинус угла между ними.

13. Дана прямая на плоскости . Найти направляющий вектор прямой и нормальный вектор. Найти уравнение прямой, ортогональной к данной, проходящей через точку B(0;-5).

14. Определить тип кривой второго порядка . Найти ее полуоси и фокусы.

15. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной следующим образом:

	0.1	0.4	0.3	0.2

16. Найти дифференциал функции .

17. Найти наибольшее значение функции на отрезке [0; 3].

18. Вычислить предел .

19. Исследовать на монотонность функцию .

20. Найти область определения функции .