ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

 

Кафедра «Математика и моделирование»

ПРИЛОЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ И ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Методические указания и задания

К выполнению расчетно-графической работы

По дисциплине «Математика»

Для студентов автомеханического факультета

 

Одобрено

Редакционно-издательским советом

СГТУ имени Гагарина Ю.А.

 

 

Саратов 2014

ВВЕДЕНИЕ

Современная подготовка бакалавра и специалиста требует от него не только знания специальных дисциплин, но и умения формулировать воз­никающие задачи в математической форме. Задачи, включенные в данные методические указания, касаются двух больших разделов математического анализа: применение теории определенных интегралов к решению геометрических и физических задач, а также исследование экстремальных задач функции многих переменных.

Целью методических указаний является оказание практической помощи студентам при выполнении расчетно-графической работы (РГР) по данным разделам математики.

Расчетно-графическая работа является одной из форм самостоятельной работы студентов, способствующей активизации учебного процесса, улучшению познавательной деятельности студентов, выработке у них способности самостоятельно решать сложные проблемы.

Расчетно-графическая работасодержит шесть заданий. Необходимый теоретический материал изучается студентами в курсе лекций по дисциплине «Математика», поэтому в методических указаниях приводится ограниченное число теоретических сведений по каждому разделу. В конце методических указаний разбирается также решение ряда типовых примеров и приводится список основной литературы, которая имеется в научной библиотеке университета и окажется полезной при выполнении РГР.

ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ И ЗАЩИТЕ

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Выполнение расчетно-графической работы производится в соответствии с учебным планом специальности по графику, установленному кафедрой. Номер варианта указывает студенту преподаватель.

Прежде чем приступить к решению задач, студент должен изучить теоретический материал по указанной литературе.

После этого студент должен в письменной форме в отдельной тетради с титульным листом представить решения задач соответствующего варианта. Перед решением записывается полностью условие задачи. В процессе решения приводятся необходимые формулы и литература. Решение должно быть подробным и аккуратно оформленным.

Контроль выполнения расчетно-графической работы произво­дится в два этапа:

1) предварительная проверка преподавателем решения заданий;

2) защита расчетно-графической работы перед группой.

Во время защиты студент должен уметь отвечать на теорети­ческие вопросы, пояснять решения заданий работы.

Студенты, не предъявившие расчетно-графическую работу на предварительную проверку, к защите не допускаются.

ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Задание 1.

При выполнении задания необходимо предварительно построить в соответствующей системе координат кривые или фигуры, ограниченные указанными линиями.

 

1.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ; .

1.2. Вычислить длину дуги кривой , заключенной внутри окружности .

1.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой ; .

1.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ; .

1.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой .

1.6. Вычислить длину дуги кривой , отсеченной прямой .

1.7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ; .

1.8. Вычислить длину дуги кривой при .

1.9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды и прямой при .

1.10. Вычислить длину дуги кривой , отсеченной прямой .

1.11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» .

1.12. Вычислить длину кривой , находящейся внутри окружности .

1.13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями . .

1.14. Вычислить длину дуги кардиоиды .

1.15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом , .

1.16. Вычислить длину дуги кривой от до .

1.17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли .

1.18. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды при .

1.19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ; .

1.20. Вычислить площадь фигуры, ограниченной «восьмилепестковой розой» .

1.21. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и .

1.22. Вычислить длину дуги от вершины параболы до точки с абсциссой .

1.23. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли .

1.24. Вычислить длину дуги кривой от до .

1.25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ; ; .

1.26. Вычислить площадь фигуры, ограниченной локоном Аньези и прямой .

1.27. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ; .

1.28. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одним лепестком «четырехлепестковой розы» .

1.29. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ; .

1.30. Вычислить площадь фигуры, ограниченной «двухлепестковой розой» .

Задание 2.

При выполнении задания необходимо предварительно построить в соответствующей системе координат тело вращения. При вычислении объема тела по известным площадям поперечных сечений для построения тела использовать метод сечений. Площадь эллипса принять равной .

2.1. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями ; .

2.2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , .

2.3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями ; .

2.4. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом и плоскостью .

2.5. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями ; ; .

2.6. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды .

2.7. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

2.8. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями ; .

2.9. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , .

2.10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями ; ; .

2.11. Вычислить объем тела, ограниченного параболическим цилиндром , плоскостями , , , .

2.12. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной эллипсом .

2.13. Вычислить объем шарового слоя, вырезанного из шара плоскостями и .

2.14. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями ; ; ; .

2.15. Вычислить объем тела, ограниченного однополостным гиперболоидом , и плоскостями , .

2.16. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг полярной оси кардиоиды .

2.17. Вычислить объем тела, ограниченного параболическим цилиндром , плоскостями , , .

2.18. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями ; , .

2.19. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной астроидой ; .

2.20. Вычислить объем тела, ограниченного конической поверхностью и плоскостью .

2.21. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линией .

2.22. Вычислить объем тела, полученного вращением кривой вокруг полярной оси.

2.23. Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом и плоскостью .

2.24. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями ; ; .

2.25. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями ; .

2.26. Цилиндр, основанием которого служит эллипс , пересечен наклонной плоскостью, проходящей через малую ось эллипса. Высота полученного «цилиндрического клина» равна 5. Построить тело и вычислить его объем.

2.27. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линией .

2.28. Вычислить объем шарового сегмента высотой 2, отсеченного от шара, ограниченного сферической поверхностью .

2.29. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями ; .

2.30. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями ; .

Задание 3.

При выполнении задания необходимо предварительно изобразить в системе координат заданный резервуар или сооружение. Принять удельный вес бензина , удельные веса материалов , , , число . Результат округлить до целого числа.

 

3.1. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой правильную четырехугольную пирамиду, обращенную вершиной вниз, со стороной основания 2 м и высотой 5 м.

3.2. Вычислить работу , затрачиваемую на преодоление силы тяжести при построении сооружения из материала с удельным весом , представляющего собой правильную четырехугольную усеченную пирамиду, сторона верхнего основания которой равна 2 м, нижнего – 4 м, высота - 2 м.

3.3. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из котла, имеющего форму сферического сегмента, высота которого м и радиус 1 м.

3.4. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 1 м, нижнего – 2 м, высота – 3 м.

3.5. Вычислить работу , затрачиваемую на преодоление силы тяжести при построении сооружения из материала с удельным весом , представляющего собой правильную шестиугольную пирамиду со стороной основания 1 м и высотой 2 м.

3.6. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой желоб, перпендикулярное сечение которого является параболой, длина желоба 5 м, ширина – 4 м, глубина - 4 м.

3.7. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой железнодорожную цилиндрическую цистерну, радиус основания которой 1 м, длина 5 м.

3.8. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой правильную треугольную пирамиду, обращенную вершиной вниз, с основанием 2 м, высотой – 5 м.

3.9. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой полуцилиндрический желоб, радиус основания которого 1 м, длина – 5 м.

3.10. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой конус, обращенный вершиной вниз, радиус основания которого 3 м, высота 5 м.

3.11. Вычислить работу , затрачиваемую на преодоление силы тяжести при построении сооружения из материала с удельным весом , представляющего собой правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 2 м и высотой 4 м.

3.12. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензи-на из резервуара, представляющего собой железнодорожную цистерну в виде эллиптического цилиндра с полуосями основания 2 м и 3 м и высотой 5 м.

3.13. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой параболоид вращения, радиус основания которого 2 м, глубина – 4 м.

3.14. Вычислить работу , затрачиваемую на преодоление силы тяжести при построении сооружения из материала с удельным весом , представляющего собой правильную шестиугольную усеченную пирамиду, сторона верхнего основания которой равна 1 м, нижнего – 2 м, высота - 2 м.

3.15. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой половину эллипсоида вращения, радиус основания которого 1 м, глубина – 2 м.

3.16. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой четырехугольную усеченную пирамиду, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего – 4 м, высота – 1 м.

3.17. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой правильную шестиугольную пирамиду, обращенную вершиной вниз, со стороной основания 1 м и высотой 2 м.

3.18. Вычислить работу , затрачиваемую на преодоление силы тяжести при построении сооружения из материала с удельным весом , представляющего собой конус, радиус основания которого 2 м, высота 3 м.

3.19. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой цилиндрическую вертикальную цистерну с радиусом основания 1м и высотой 3м.

3.20. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой правильную усеченную шестиугольную пирамиду, у которой сторона верхнего основания равна 1 м, нижнего – 2 м, высота – 2 м.

3.21. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой желоб, в перпендикулярном сечении которого лежит полуокружность радиусом 1 м, длина желоба 10 м.

3.22. Вычислить работу , затрачиваемую на преодоление силы тяжести при построении сооружения из материала с удельным весом , представляющего собой правильную треугольную пирамиду со стороной основания 3 м и высотой 6 м.

3.23. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой полусферу радиусом 2 м.

3.24. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой нижнюю часть эллипти-ческого конуса с полуосями 3 м и 4 м, высота 6 м.

3.25. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой правильную треугольную пирамиду, обращенную вершиной вниз, сторона основания которой 4 м, высота 6 м.

3.26. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 3 м, нижнего – 1 м, высота – 3 м.

3.27. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой правильную четырехугольную усеченную пирамиду, у которой сторона верхнего основания 8 м, нижнего – 4 м, высота – 2 м.

3.28. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой правильную треугольную усеченную пирамиду со стороной верхнего основания 2 м, нижнего основания 3 м и высотой 6 м.

3.29. Вычислить работу , которую необходимо затратить на выкачивание бензина из резервуара, представляющего собой правильную усеченную шестиугольную пирамиду, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего – 1 м, высота – 2 м.

3.30. Вычислить работу , затрачиваемую на преодоление силы тяжести при построении сооружения из материала с удельным весом , представляющего собой усеченный конус, радиус верхнего основания которого равен 1 м, нижнего – 2 м, высота – 2 м.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

 

Задание 4.

Исследовать на экстремум следующие функции:

4.1 .	4.2 .
4.3 .	4.4 .
4.5 .	4.6 .
4.7 .	4.8 .
4.9 .	4.10 .
4.11 .	4.12 .
4.13 .	4.14 .
4.15 .	4.16 .
4.17 .	4.18 .
4.19 .	4.20 .
4.21 .	4.22 .
4.23 .	4.24 .
4.25 .	4.26 .
4.27 .	4.28 .
4.29 .	4.30 .

 

Задание 5.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , ограниченной заданными линиями:

5.1 .
5.2 .
5.3 .
5.4 .
5.5 .
5.6 .
5.7 .
5.8 .
5.9 .
5.10 .
5.11 .
5.12 .
5.13 .
5.14 .
5.15 .
5.16 .
5.17 .
5.18 .
5.19 .
5.20 .
5.21 .
5.22 .
5.23 .
5.24 .
5.25 .
5.26 .
5.27 .
5.28 .
5.29 .
5.30 .

 

Задание 6.

 

Найти условные экстремумы функций методом множителей Лагранжа:

6.1 при ограничении .

6.2 при ограничении .

6.3 при ограничении .

6.4 при ограничении .

6.5 при ограничении .

6.6 при ограничении .

6.7 при ограничении .

6.8 при ограничении .

6.9 при ограничении .

6.10 при ограничении .

6.11 при ограничении .

6.12 при ограничении .

6.13 при ограничении .

6.14 при ограничении .

6.15 при ограничении .

6.16 при ограничении .

6.17 при ограничении .

6.18 при ограничении .

6.19 при ограничении .

6.20 при ограничении .

6.21 при ограничении .

6.22 при ограничении .

6.23 при ограничении .

6.24 при ограничении .

6.25 при ограничении .

6.26 при ограничении .

6.27 при ограничении .

6.28 при ограничении .

6.29 при ограничении .

6.30 при ограничении .

 

 

Решения типовых задач

Площади плоских фигур

 

Вычисление площадей плоских фигур основано на геометрическом смысле определенного интеграла.

1.1 Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справасоответственно прямыми и , снизу – отрезком оси (см. рис. 1),

Рис. 1

вычисляется по формуле

.

(1)

Если при , то

.

(2)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , причем , прямыми и (см. рис. 2),

Рис. 2

вычисляется по формуле

.

(3)

Если криволинейная трапеция ограничена кривой , прямыми и и отрезком оси , тогда площадь этой трапеции вычисляется по формуле

.

(4)

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений

Отсюда находим .

Рис. 3

Искомую площадь (см. рис. 3) находим по формуле (3):

. 3

1.2. Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями , , прямыми и и отрезком оси , то ее площадь вычисляется по формуле

,

(5)

где и определяются