Доверительный интервал для мат ожидания.

Доверительный интервал.

Случайный интервал , границы которого и зависят от результатов наблюдений x₁, x₂,..., x_n, который с заданной вероятность p содержит неизвестный параметр θ, называется доверительным интервалом для параметра θ, соответствующим доверительной вероятности p:

P =p,

где p – доверительная вероятность.

Заданной доверительной вероятности соответствует не единственный доверительный интервал. Интервалы меняются от выборки до выборки, а также зависят от метода его нахождения.

Чтобы судить о точности и надёжности оценки неизвестного параметра θ, рассматривают вероятность неравенства

;

P = p P =p.

Если вероятность p близка к 1, то оценка считается надёжной. Если , то оценка считается достаточно точной. Обычно значения δ и p зависят друг от друга.

И находят доверительный интервал из формулы:

P = .

 

Доверительный интервал для мат ожидания.

Доверительным называется интервал, в который с заданной вероятностью

(надежностью) γ попадают значения параметра Q. Вероятность γ выбирается

близкой к 1: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.

Доверительный интервал надежностью γ для математического ожидания

нормально распределенной случайной величины X:

Доверительный интервал надежностью γ для дисперсии нормально распределенной случайной величины X:

62. Пусть задана случайная выборка — последовательность объектов из множества . Предполагается, что на множестве существует некоторая неизвестная вероятностная мера .

Методика состоит в следующем.

Формулируется нулевая гипотеза о распределении вероятностей на множестве . Гипотеза формулируется исходя из требований прикладной задачи. Чаще всего рассматриваются две гипотезы — основная или нулевая и альтернативная . Иногда альтернатива не формулируется в явном виде; тогда предполагается, что означает «не ». Иногда рассматривается сразу несколько альтернатив.

Задаётся некоторая статистика (функция выборки) , для которой в условиях справедливости гипотезы выводится функция распределения и/или плотность распределения . Вопрос о том, какую статистику надо взять для проверки той или иной гипотезы, часто не имеет однозначного ответа. Вывод функции распределения при заданных и

Собственно статистический тест (статистический критерий) заключается в проверке условия:

если , то делается вывод «данные противоречат нулевой гипотезе при уровне значимости ». Гипотеза отвергается.

если , то делается вывод «данные не противоречат нулевой гипотезе при уровне значимости ». Гипотеза принимается.

Итак, статистический критерий определяется статистикой и критическим множеством которое зависит от уровня значимости.

63. Ошибка первого рода или «ложная тревога»— когда нулевая гипотеза отвергается, хотя на самом деле она верна. Вероятность ошибки первого рода:

Ошибка второго рода или «пропуск цели»— когда нулевая гипотеза принимается, хотя на самом деле она не верна. Вероятность ошибки второго рода:

Статистические критерии проверки гипотез разнообразны, но у них единая логическая схема построения критерия, которая укладывается в 5 шагов

1-й шаг. Выдвигается основная (или проверяемая) гипотеза Н₀. Гипотеза Н₁, которая противоречит основной Н₀, называется альтернативной, или конкурирующей.

2-й шаг. Задается уровень значимости критерия . Величину  называют уровнем значимости, размером критерия или ошибкой первого рода. Это вероятность отвергнуть основную гипотезу Н₀ при условии, что она верна.

3-й шаг. Задается некоторая функция результатов наблюдения – критическая статистика

_кр = (х₁, х₂,..., х_n).

Содержательный смысл критической статистики – мера расхождения имеющейся в распоряжении исследователя выборки с основной гипотезой Н₀.

4-й шаг. Из статистических таблиц распределения W( _кр) находятся квантили уровня  /2 и 1-/2 или процентные точки _{(1-/2)100%} и _{(/2)100%}, являющиеся соответственно нижней _кр.н и верхней _кр.в критическими точками (границами). Они делят всю область допустимых значений _кр на области:

 неправдоподобно малых (I);

 правдоподобных (II);

 неправдоподобно больших (III).

 

принятия гипотезы Н₀ имеет два ограничения – сверху и снизу.

5-й шаг. Определяется наблюденное (расчетное) значение критической статистики _расч подстановкой в _кр конкретных выборочных значений х₁, х₂,..., х_n или некоторых функций от них. Если окажется, что _расч принадлежит области правдоподобных значений, то гипотеза Н₀ верна, т.е. не противоречит выборочным данным. В противном случае Н₀ отвергается с ошибкой первого рода . Отвержение Н₀ означает, что _расч не подчиняется закону распределения W( _кр).

64. Пусть ξ нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием a и неизвестной дисперсией, представленная выборочными значениями

x ₁, x ₂, …, x_{n .}

Задача состоит в проверке гипотезы о том, что неизвестный параметр a равен заданному числу a ₀.

Сформулируем нулевую гипотезу H ₀ о том, что неизвестный параметр a равен заданному числу a ₀, т.е. H ₀: a=a ₀.

Альтернативную гипотезу H ₁ можно сформулировать тремя способами:

• H ₁: a≠a ₀;
• H ₁: a>a ₀;
• H ₁: a<a ₀.

По выборке вычислим значение критерия

, где , .

Критерий ϕ сконструирован так, что если гипотеза H ₀ верна, то случайная величина ϕ имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы n –1.

65. Пусть (x) ξ нормально распределенная случайная величина с неизвестной дисперсией D (x) = σ², представленная выборочными значениями

x ₁, x ₂, …, x_{n .}

Задача состоит в проверке гипотезы о том, что неизвестный параметр σ² равен заданному числу.

Пусть дана некоторая оценка неизвестной дисперсии , построенная по выборке

x ₁, x ₂, …, x_{n .}

Предположим, что истинное значение дисперсии равно .

Поскольку оценка — случайная величина, то выборочное значение , вряд ли будет совпадать с . В связи с этим возникает вопрос: при каком отклонении от и с какой степенью уверенности можно утверждать, что истинное значение дисперсии отлично от ? Ответом на этот вопрос может быть значение вероятности того, что величина , вычисленная в предположении, что , больше некоторого фиксированного числа.

Если эта вероятность мала, то мы являемся свидетелями маловероятного события, т.е. отличие эмпирического значения от гипотетического значения представляется значимым и гипотеза о том, что должна быть отвергнута.

Если же эта вероятность велика, то отклонение от , по-видимому, обусловлено естественной случайностью, и гипотеза может быть принята.

66. Пусть x и h независимые нормально распределенные случайные величины, представленные выборочными значениями соответственно

x₁, x₂, …, x_n и y₁, y ₂, …, y _m.

Задача состоит в проверке гипотезы о том, что равны неизвестные математические ожидания M x = a x и Mh = a h. Значения дисперсий Dx = σx² и Dh = σh² известны.

Например, на двух предприятиях производятся одинаковые товары и среднее значение некоторого параметра в контрольной партии с одного предприятия отличается от значения того же параметра, полученного при обследовании второго предприятия.

Возникает вопрос: эти различия статистически значимы или нет?

Различия обусловлены только случайными факторами, или различием в организации производства на предприятиях?

Итак, проверяем гипотезу против альтернативы .

Если гипотеза верна, то величина

подчинена стандартному нормальному распределению .

Здесь , и .

67. Условия применения F-критерия: обе выборки независимы и получены из нормально распределенных генеральных совокупностей с параметрами и .

Гипотеза H₀: = .

Альтернатива H₁: .

(Это двусторонняя гипотеза, поэтому следует применять двусторонний критерий. Если же предположить, что одна из генеральных совокупностей имеет| большую дисперсию (обозначим ее ), чем другая ( ), то можно сформулировать одностороннюю гипотезу H₁: > |, и тогда применяется односторонний F-критерий.)

Уровень значимости критерия задается .

Порядок применения F-критерия следующий:

1. Принимается предположение о нормальности распределения генеральных совокупностей, формулируется гипотеза и альтернатива, назначается уровень значимости , как указано выше.

2. Получают две независимые выборки из совокупностей X и Y объемом n_х и n_у соответственно.

3. Рассчитываются значения исправленных выборочных дисперсий и . Большую из дисперсий ( или ) обозначают , меньшую —

4. Вычисляется значение F-критерия по формуле:

5. Сравнивается вычисленное значение F_набл с критическим значением F_критич при заданном уровне значимости и числе степеней свободы ₁ = n₁–1 и ₂ =n₂–1.

(Критические значения F при уровнях значимости , равных 0,05, 0,01, 0,001 приведены в таблицах).

Отметим, что в обычно в таблице приведены критические значения одностороннего F-критерия. Поэтому если цель исследования доказать, что одна дисперсия больше другой (H₁: ), то критические значения берутся непосредственно из этой таблицы. Если же применяется двусторонний критерий (H₁: ), то критические значения, взятые из таблиц, соответствуют удвоенным уровням значимости: 0,01, 0,02 и 0,002.

6. Делается вывод: если вычисленное значение F_набл- больше или равно критическому F_критич, то дисперсии различаются значимо на заданном уровне значимости. К противном случае нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.

Следует отметить, что F-критерий очень чувствителен к отклонениям от нормальности распределения генеральной совокупности. Если предположение о нормальном распределении не может быть принято, то F-критерий применять не следует. В этом случае используются непараметрические методы.

F-критерий используется для малых и средних объемов выборки (n < 100). Для больших объемов выборки (n > 100) при проверке гипотезы о равенстве дисперсий удобнее применять U-критерий. В этом случае вычисляется величина

71. Соотношения между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями, так как при этом могут возникать неоправданно большие ошибки. В таких случаях используют нелинейную (по объясняющей переменной) регрессию. Наиболее

часто встречаются следующие виды уравнений нелинейной регрессии: полиномиальное у_х = bo + b1x +... + b_kx^k гиперболическое У_х= bo + b1x степенное y_x=b0*…*x_p^b^p