ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ
ФОРМУЛ КОМБИНАТОРИКИ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Высшая математика»
Составители: Егорова Ю.Б.
Мамонов И.М.
Корниенко Л.И.
Никулина Т.А.
МОСКВА 2006
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделения факультета №14 специальностей 150601, 160301, 230102. Указания выделяют основные понятия темы, определяют последовательность изучения материала. Большое количество рассмотренных примеров помогает в практическом освоении темы. Методические указания служат методической основой для практических занятий и выполнения индивидуальных заданий.
ФОРМУЛЫКОМБИНАТОРИКИ
Комбинаторный анализ (комбинаторика) - раздел математики, который изучает способы составления комбинаций из элементов (объектов, предметов, цифр и т.п.).
1.1. Пусть дано одно исходное множество, состоящее из k различных элементов. Выберем из него другое множество, содержащее r элементов, или, как говорят, сделаем выборку объемом r. Сколькими способами это можно сделать? Сколько таких выборок можно составить?
Обозначим через N - число различных выборок объемом r из исходного множества, содержащего k элементов. Возможны два варианта составления выборки:
1.1.1. Элементы в выборке могут повторяться (среди элементов выборки могут быть одинаковые);
1.1.2.Элементы в выборке не могут повторяться (состав выборок разный).
Рассмотрим более подробно эти случаи.
Элементы выборки могут повторяться
В этом случае один и тот же элемент исходного множества может входить в выборку до r раз. Выбирая первый элемент, можно выбрать любой из k имеющихся. При выборе второго также можно выбрать k элементов и так далее.
Например, пусть дано множество из трех цифр 1, 2, 3. Сколько можно составить комбинаций из двух цифр? Другими словами, сколько можно составить двухзначных чисел? Таких комбинаций всего будет девять: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33. Первой мы можем выбрать любую из трех цифр. Второй - также любую из трех цифр. Тогда N= 3×3=32=9.
Теорема 1. Если элементы выборки могут повторяться, то общее число различных выборок равно числу размещений с повторениями Nkr из k элементов по r:
N= 
= kr. (1)
ПРИМЕР 1.1. Сколько различных комбинаций из трех букв можно составить из 33 букв алфавита?
РЕШЕНИЕ. Исходное множество состоит из 33 букв, выборка - из 3 букв. Элементы выборки могут повторяться, поэтому:
N= 
= 333=35937.
ПРИМЕР 1.2. Сколько существует различных семизначных номеров?
РЕШЕНИЕ. Исходное множество состоит из 10 цифр, выборка - из 7 цифр. Элементы выборки могут повторяться, поэтому:
N= 
= 107.
ПРИМЕР 1.3. Игральный кубик бросают два раза. На выпавших гранях две цифры образуют двузначное число. Сколько различных двузначных чисел можно получить?
РЕШЕНИЕ. Исходное множество состоит из 6 цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6 очков}, выборка - из 2 цифр. Элементы выборки могут повторяться, поэтому:
N= 
= 62=36.
ПРИМЕР 1.4. Монету подбрасывают 10 раз. Сколько существует различных комбинаций выпадения орла и решки?
РЕШЕНИЕ. Исходное множество состоит из 2 элементов {орел, решка}, выборка - из 10 элементов. Элементы выборки могут повторяться, поэтому:
N= 
= 210=1024.
ПРИМЕР 1.5. Батарея из 6 орудий ведет огонь по 10 самолетам. Сколько существует вариантов стрельбы, если предположить, что огонь ведется несогласованно?
РЕШЕНИЕ. Исходное множество состоит из 10 самолетов, выборка - из 6 самолетов. Элементы выборки могут повторяться, так как предполагаем, что орудия могут выбрать одинаковые самолеты, поэтому:
N= 
= 106.