Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.
Определение 1. Пусть X – линейное пространство над K, 
. Будем говорить, что 
является собственным числом линейного оператора A, если существует такой ненулевой вектор 
, что 
.
При этом вектор 
называют собственным вектором оператора A, соответствующим собственному числу l.
Пример 1. Собственным числом тождественного оператора является 1, так как 
для любого вектора .
Любой ненулевой вектор – собственный вектор оператора E, соответствующий собственному числу 
.
Лемма. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному и тому же собственному числу l линейного оператора A, также является собственным вектором, отвечающим l.
Доказательство. Пусть 
- собственные векторы оператора A, соответствующие собственному числу 
, т.е. 
для всех 
. Пусть, далее, 
- ненулевая линейная комбинация этих векторов. Покажем, что вектор также является собственным вектором, отвечающим l.
Действительно, 
.
Теорема 1. Критерий собственных чисел.
Пусть X – линейное пространство над K, . Для того чтобы было собственным числом оператора A, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического многочлена 
оператора A, т.е. 
,
или кратко: l – собственное число оператора 
Û .
Доказательство. Введём обозначения: 
- базис пространства X, 
X. По определению 1 утверждение “l – собственное число оператора A ” означает, что существует ненулевой вектор такой, что , или 
, где – базис 
. По теореме 2 §3 последнее равенство эквивалентно следующему: 
, или 
, где 
, 
, так как 
. Это означает, что l – собственное число матрицы 
, а по теореме 1 §5главы Y это возможно тогда и только тогда, когда 
, или .
Определение 2. Совокупность всех собственных чисел линейного оператора A (с учетом их кратностей как корней характеристического многочлена ) будем называть спектром оператора A и обозначать так: 
.
Пример 2. Пусть 
. Найдем спектр тождественного оператора E.
Пусть - базис X. Очевидно, 
, и
.
Следовательно, 
.
Пример 3. Пусть – базис линейного пространства X над K, , и 
. Найдем собственные числа и собственные векторы оператора .
По теореме 1, собственные числа оператора A есть корни характеристического многочлена 
, где . В примере 1 §5главы Y были найдены корни этого многочлена 
. Следовательно, 
, 
– собственные числа линейного оператора , и 
. В этом же примере были найдены собственные векторы 
и 
матрицы , отвечающие собственным числам и соответственно: 
, 
; 
, b и g не равны нулю одновременно. Следовательно, любой собственный вектор оператора A, соответствующий собственному числу имеет вид 
, где ; собственный вектор, соответствующий , имеет вид 
, где b и g не равны нулю одновременно.
Пример 4. Пусть X – линейное пространство над R, , – базис X, и 
. Тогда оператор A не имеет ни собственных чисел, ни собственных векторов, так как его характеристический многочлен 
, не имеет вещественных корней.
Теорема 2. Собственные векторы 
линейного оператора , отвечающие попарно различным собственным числам 
, ¼, 
соответственно (
, если 
), линейно независимы.
Доказательство проведем методом математической индукции по числу векторов 
.
I. База. При 
утверждение очевидно, так как собственный вектор ненулевой, а совокупность из одного ненулевого вектора линейно независима.
II. Индукционный переход. Докажем, что утверждение теоремы верно для векторов, если оно верно для совокупностей из 
вектора.
Пусть
(1)
Подействуем на обе части этого равенства оператором A:
, или 
.
Учитывая, что по условию для 
, получаем:
. (2)
Вычтем из равенства (2) равенство (1), умноженное на 
:
.
Следовательно, 
, так как совокупность 
линейно независима по индукционному предположению. Отсюда получаем: 
, так как 
для 
. Тогда из равенства (1) следует: 
, откуда 
, так как 
.
Итак, из равенства (1) следует: 
, что и означает линейную независимость векторов .
Задача. Пусть 
– линейно независимая совокупность собственных векторов линейного оператора , соответствующих собственному числу 
, 
, и пусть 
, если 
. Докажите, что совокупность векторов 
линейно независима.
§8. Операторы простой структуры.
Определение 1. Пусть , l – собственное число оператора , т.е. 
. Собственным подпространством линейного оператора , соответствующим собственному числу l, будем называть ядро оператора 
и обозначать его так: 
, т.е.
.
Размерность собственного подпространства будем называть геометрической кратностью собственного числа l и обозначать так: 
.
Замечание 1. По лемме 1 §4 главы YIII 3, собственное подпространство, действительно, является подпространством пространства X как ядро линейного оператора .
Замечание 2. Очевидно, отличается от множества всех собственных векторов оператора A, соответствующих собственному числу l, лишь нулевым вектором, поскольку включение 
эквивалентно равенству 
, или .
Задача. Докажите, что геометрическая кратность любого собственного числа l оператора не превосходит его алгебраической кратности.
Определение 2. Будем говорить, что оператор имеет простую структуру, если в пространстве существует базис из собственных векторов оператора .