Утверждено редакционно – издательским советом

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ЗАДАЧИ РАСТЯЖЕНИЯ И СЖАТИЯ СТЕРЖНЕЙ

Методические указания для практических занятий и выполнению расчетно-графических заданий по дисциплинам «Сопротивление материалов», «Техническая механика», «Прикладная механика» для студентов всех инженерных

специальностей и направлений очной и заочной форм обучения

Тюмень

ТюмГНГУ

Утверждено редакционно – издательским советом

Тюменского государственного нефтегазового университета

Составители: Пономарёва Т.М., к.т.н., доцент.

«Тюменский государственный нефтегазовый университет» 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………..3

1. Понятие статической неопределимости, методика решения задач………3

2. Примеры статически неопределимых задач……………………………….5

3.Литература…………………………………………………………………..15

ВВЕДЕНИЕ

Практические занятия и контрольные работы являются неотъемлемой частью курса сопротивления материалов – инженерной науки о прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкции.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций: ОК- 10 использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического и компьютерного моделирования в теоретических и расчетно-экспериментальных исследованиях.

В результате практических работ студент должен:

знать напряженно-деформированное состояние типовых элементов конструкций при различных видах деформаций для статически определимых и неопределимых систем;

уметь рассчитать стержневые системы на прочность и жесткость, освоить экспериментальные методы исследования;

демонстрировать способность и готовность в случае необходимости рассчитать на прочность и жесткость стержневые системы и поставить эксперимент по проверке полученных результатов.

Наибольшую сложность в расчетах у студентов вызывают задачи на тему статически неопределимые системы. Данная тема рассматривается в первой части курса и необходима при решении расчетно-графических заданий (раздел 1).

1. ПОНЯТИЕ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ И МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задачи сопротивления материалов, в которых уравнений статики недостаточно для определения усилий в стержнях, называются статически неопределимыми.

По сравнению со статически определимыми системами, в статически неопределимых системах имеются дополнительные связи, которые называются лишними.

Термин “лишние связи” является условным. Эти связи являются лишними с точки зрения расчетных предпосылок. В действительности эти связи создают дополнительные резервы для конструкций, как в плане обеспечения её жесткости, так и прочности.

На рис. 1, а изображен кронштейн, состоящий из двух стержней, шарнирно скрепленных между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертикальное усилие Р, а система является плоской (т.е. все элементы конструкции и вектор внешних сил лежат в одной плоскости), получается, что усилия в стержнях легко определяются из условий равновесия узла А, т.е.

å x = 0, å y = 0. (1, б)

Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему линейных уравнений относительно неизвестных усилий N ₁ и N ₂в которой количество уравнений равно количеству неизвестных:

-N ₁ - N ₂sin a = 0; -N ₂cos a - Р = 0.

Рис. 1

Если конструкцию кронштейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 1, б), то усилия в стержнях N ₁, N ₂ и N ₃прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия (1, 6) имеются уже три неизвестных усилия в стержнях. В таких случаях говорят, что система один раз статически неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) уравнений равновесия, связывающих эти усилия, называется степенью статической неопределимости рассматриваемой системы.

В общем случае под n -раз статически неопределимой системой понимается система, в которой число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число независимых и значащих уравнений равновесия на n единиц.

Методика решения задач:

— Брус, равновесие которого рассматривается, освободить от связей и заменить действие связей их реакциями; определить степень статической неопределимости как разность между количеством неизвестных и числом уравнений статики.

— Составить уравнение равновесия; в него войдут количество неизвестных реакций связей, без которых невозможно определить продольные силы, возникающие в брусе или стержне.

— Рассмотреть картину перемещений (удлинения или укорочения) системы и на основе ее рассмотрения с физической точки зрения составить уравнение перемещений, в которое войдут те же неизвестные реакции, что и в уравнение статики. Причем перемещения (удлинения или укорочения) участков бруса (стержня) определяем согласно закону Гука: где

- относительное удлинение или укорочение бруса (стержня),

N – продольное усилие возникающее в брусе (стержне) от воздействия внешних нагрузок,

- длина бруса (стержня),

Е – модуль упругости материала,

A – площадь поперечного сечения бруса (стержня).

— Уравнение статики и уравнение перемещений (удлинение или укорочение) решить совместно и определить искомые реакции связей.

— Определить внутренние силовые факторы (продольные силы) в частях деформируемого бруса (стержня) или же (если в задаче требуется определить допускаемую нагрузку) выразить продольные силы через искомую нагрузку.

— Произвести заданный в условии задачи расчет.

2. ПРИМЕРЫСТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ЗАДАЧ

Пример 1.

Условие задачи

Для стального бруса (рис. 1,а) раскрыть статическую неопределимость и определить из условия прочности допускаемое значение силы F, если ; [s]=160 мПа; a=2м; b=4м c=1м; А_I=А_II=А_III=А=5см². При требуемом значении силы построить эпюру продольных сил N и нормальных напряжений s.

Решение

Дано: [s]=160 мПа; ; a=2м; b=4м c=1м; А_I=А_II=А_III=А=5см².

F, N, s -?

I. Задача один раз статически неопределима, так как уравнение статики можно составить лишь одно åZ=0, а неизвестных два – R_O и R_B (рис.1,а).

II. Уравнение статики:

åZ = 0; åZ = - R_O- R_B + 2F + 3F = 0; R_O = - R_B+ 5F;

III. Задача один раз статически неопределима, так как уравнение статики можно составить лишь одно åZ=0, а неизвестных два – R_O и R_B (рис.1,а)

IV. Задача один раз статически неопределима, так как уравнение статики можно составить лишь одно åZ=0, а неизвестных два – R_O и R_B (рис.1,а).

V. Уравнение статики:

åZ = 0; åZ = - R_O- R_B + 2F + 3F = 0; R_O = - R_B+ 5F;

III. Уравнение перемещений (удлинения или укорочения) (рис.1,б)

D l _B=0; D l _B=

IV. Из уравнения перемещения (удлинения или укорочения) и уравнения статики получаем: ; .

V. Определяем продольные силы по участкам бруса, выражая их значение через F используя правило знаков (растяжение- «+», сжатие- «-»):

;

VI. Так как площадь поперечных сечений бруса постоянна по всей его длине, то опасными будут сечения с наибольшим значением продольной силы. Следовательно, .

Далее, исходя из условия прочности , получаем . Тогда: .

Строим эпюру продольных сил N, принимая F=25,4 кН (рис.1,в), и эпюру нормальных напряжений s (рис.1,г)

;

Ответ: F=25,4 кН

Пример 2.

Условие задачи

Определить площадь поперечных сечений стальных стержней, удерживающих абсолютно жесткую балку (рис.2,а), если [s]=160 мПа; l =a=1м; F=100кН. Площадь A поперечных сечений стержней одинакова.

Решение

Рис.2 Заданная схема, расчетная схема, перемещения к примеру № 2

I. Задача один раз статически неопределима, так как неизвестных четыре: R_z, R_y, N₁, N₂ (рис.2,б), а уравнений статики три.

II. Уравнение статики: åМ_O = 0; åМ_O = ;

III. Картина перемещений изображена на рис.2,в, по которой находится, из подобия DOBB₁ и DOСС₁, зависимость между относительным удлинением и укорочением стержней D l ₁ и D l ₂(которые совпадают с перемещениями балки d₁ и d₂) и длинами OB и OC:

, где .

IV. Из зависимости между D l ₁, D l ₂и OB, OC находим:

,

откуда имеем: N₁ = 0,4N₂; используя эту зависимость решаем уравнение статики:

;

; .

V. Продольные силы в стержнях 1и 2 численно равны силам N₁и N₂:

.

.

VI. Определяем площадь поперечных сечений стержней, исходя из условия прочности:

;

;

VII. Определяем размеры поперечных сечений стержней, исходя из их геометрической формы.

Квадрат: ;

.

Круг: ;

.

Прямоугольник: ; ;

;

;

Два неравнобоких уголка: ;

;

Из сортамента прокатной стали

ГОСТ 8510-72 принимаем номер профиля 4/2,5; ; ; ; .

Пример 3.

Условие задачи

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров (рис.7). Подобрать, указанный в таблице профиль поперечного сечения этих стержней при заданном допускаемом напряжении.

Дано: F = 400 кН; a = 2,4 м; b = 1,5 м; c = 2,6 м; σ_adm =100 МПа.

Профиль поперечного сечения имеет форму квадрата.

Рис.7

Решение

1. Определение усилий в стержнях.

Для определения величин усилий в стержнях применим метод сечений. Сделав сечение по всем стержням и приложив в местах сечений усилия N₁ и N₂, возникающие в стержнях, рассмотрим равновесие оставшейся части, нагруженной продольными усилиями в тягах N₁ и N₂, реакциями опоры А (X_A и Y_A) и силой F (рис.8).

Рис.8.

Составим уравнения равновесия статики для оставшейся части, учитывая, что длина стержня 1

а получим:

1) ∑F_X = 0, - X_A + N₁ · cos α = 0; (1)

2) ∑F_Y = 0, Y_A – F – N₁ · sin α + N₂ = 0; (2)

3) ∑M_A = 0, - F · a – N₁ · sin α · (a+b) + N₂ · (a+b+c) = 0. (3)

Из уравнений равновесия видно, что система статически неопределима, т.к. три уравнения равновесия содержат в своем составе четыре неизвестных. Поэтому для решения задачи необходимо составить дополнительное уравнение совместных деформаций, раскрывающее статическую неопределимость системы.

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим деформированное состояние системы, имея в виду, что брус абсолютно жесткий и поэтому после деформации стержней останется прямолинейным (рис.9).