Один из не очень точных, но зато наименее трудоемких методов нахождения оценок для параметров распределения – метод разделяющих разбиений – подробно описан в ряде источников. Рассмотрим технику его применения на числовом примере. Требуется найти оценки параметров распределения Вейбулла с порогом чувствительности (трехпараметрическое распределение Вейбулла). Интегральная функция распределения для этого закона выражается формулой [3]:
, (1.3.8)
где х – радиальный износ гильзы, мм/100;
а – масштабный параметр;
b – параметр формы;
с – параметр смещения.
Таблица 1.2.1
Радиальный износ шатунной шейки коленчатого вала, мм/100
| Номер интервала | Верхняя граница | То же, смещенная | Накопленная опытная вероятность |
| i | х | х – с | Р накопл |
| 0,28125 | |||
| 0,5 | |||
| 0,78125 | |||
| 0,875 | |||
Параметр смещения с принимаем равным началу поля рассеяния, то есть, нижней границе первого интервала статистического ряда:
с = 12 мм/100.
Далее выполняем следующие шаги:
Шаг 1. Выбираем произвольно два интервала i 1 и i 2 статистического ряда. Интервалы желательно выбирать ближе к началу и концу статистического ряда, причем, i 1 < i 2. Выберем i 1 = 2 и i 2 = 5. Из соответствующих строк третьего столбца таблицы выписываем значения х 1 = 4 и х 2 = 10.
Шаг 2. Из соответствующих строк четвертого столбца таблицы выписываем значения накопленных опытных вероятностей Р 1 = 0,5 и Р 2 = 1.
Шаг 3. Находим параметр b по формуле [3]:
. (1.3.9)
Подставляя выбранные нами значения х 1, х 2, Р 1 и Р 2, получаем:
b =0,4
Шаг 4. Находим параметр а:
. (1.3.10)
После подстановки значений х 1 и Р 1 получаем:
a=1,16
Искомые оценки параметров распределения ЗРВ составляют:
а = 2,9;
b = 0,4;
с = 12.
Для облегчения вычисления значений логарифмов и двойных логарифмов входящей в формулы (1.3.9) и (1.3.10) дроби 
[3] приведены их значения при изменении Р в диапазоне 0,01–0,99.
Графический метод
У подавляющего большинства законов распределения график интегральной функции представляет собой кривую. Основная идея графических методов состоит в том, чтобы «выпрямить» эту кривую, то есть, подобрать для осей координат такие переменные масштабы, которые превратили бы график функции распределения в прямую линию.
В случае экспоненциального распределения это достигается созданием логарифмической шкалы на оси ординат. Для распределения Вейбулла логарифмическими шкалами снабжают и ось ординат, и ость абсцисс.
Если график снабдить соответствующими линиями сетки для обеих осей, то это позволяет легко наносить на график экспериментальные точки. Через эти точки на глаз проводится прямая, которая проходила бы как можно ближе ко всем точкам. Эта прямая и будет графиком интегральной функции в принятой системе координат.
Для нахождения параметров функции в этом случае легко применить простые приближенные методы обработки эмпирических зависимостей, такие, как метод выбранных точек, метод натянутых нитей и др. [6].
В практике обработки опытных данных при изучении случайных величин широко используется построенная по описанному принципу вероятностная бумага. Опишем технику использования вероятностной бумаги для оценки параметров распределения Вейбулла. Пусть требуется с использованием вероятностной бумаги найти оценки параметров ранее рассмотренного распределения Вейбулла для износа [3].
Вероятностная бумага для распределения Вейбулла (рис. 1.3.3) представляет собой логарифмическую сетку. Для расширения диапазона варьирования случайной величины х подразумевается, что по оси абсцисс откладывается ее масштабированное значение, то есть произведение х ·10 j, где j – целое число (порядок масштабного множителя). В рассматриваемом примере величина х изменяется в пределах 2–12 (третий столбец табл. 1.3.3), поэтому j целесообразно принять равным нулю. Если бы износ замерялся не в сотых долях миллиметра, а в миллиметрах, то величина х варьировала бы в диапазоне 0,02–0,12. В этом случае j следовало бы принять равным 2. Аналогично, если бы х варьировала в диапазоне 20–120 единиц, то j следовало бы принять равным –1.
Рис. 1.3.3. Вероятностная бумага распределения Вейбулла [3]
Таким образом, при j = 0 шкала оси абсцисс позволяет поместить величину в интервале 0,1–100, при j = 1 – в интервале 1–1000, при j = =2 – в интервале 10–10000 и т. д. Величина j может принимать и отрицательные значения. Например, при j = –1 диапазон шкалы оси абсцисс составит 0,01–10, при j = –2 – 0,001–1 и т. д.
Помимо сетки, вероятностная бумага для распределения Вейбулла снабжена двумя вспомогательными линиями и вспомогательной шкалой m, расположенной вертикально в правой части листа.
Первая вспомогательная линия (на рисунке обозначена буквой Н) является вертикалью с абсциссой, равной 1. Вторая вспомогательная линия – горизонталь с ординатой 0,632.
На этой линии отмечена точка А с абсциссой 2,718 (основание натуральных логарифмов). Эта линия определяет также нулевое значение шкалы m. Для нахождения параметров распределения следует отложить на сетке все экспериментальные точки статистического ряда, используя в качестве абсциссы третий столбец таблицы, а в качестве ординаты – четвертый (накопленные опытные вероятности). Через отложенные точки на глаз проводится прямая, проходящая на минимальном расстоянии от всех точек. Эта прямая представляет собой график интегральной функции распределения.
Для нахождения параметра b из точки А проводится прямая, параллельная функции распределения. Из точки В пересечения этой прямой со вспомогательной прямой Н проводится горизонталь до пересечения со шкалой m и по этой горизонтали со шкалы m считывается значение параметра b. В данном случае оно равно ≈ 1,73.
Точка С пересечения функции распределения со вспомогательной прямой Н используется для определения параметра а. Для этого из точки С проводят до шкалы m горизонталь и считывают на шкале m вспомогательную величину m 0. В нашем примере она получилась равной ≈ 2,93.
Параметр а находится по формуле [3]:
, (1.3.11)
где m 0 – вспомогательная величина, считанная по шкале m;
b – параметр формы обрабатываемого распределения Вейбулла;
j – порядок масштабного множителя.
Подставляя в эту формулу значения из нашего примера m 0 = 2,08, b = 1,4 и j = 0, получаем
= 1,96
Таким образом, найденные с использованием вероятностной бумаги параметры распределения составляют:
а = 1,96;
b = 1,4;
с = 12.
Как видим, совпадение с результатами применения метода разделяющих разбиений весьма хорошее. Однако, следует иметь в виду, что точность метода разделяющих разбиений существенно ниже, поскольку он из всей совокупности опытных данных использует всего лишь две экспериментальных точки. Поэтому использование вероятностной бумаги всегда предпочтительнее, хотя несколько более трудоемко.
3.ПРОВЕРКА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО КРИТЕРИЮ СОГЛАСИЯ «ХИ-КВАДРАТ» ПИРСОНА
Критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона вычисляется по формуле [3]:
, (1.4.1)
где wi – опытная частота;
– теоретическая частота;
i – номер интервала статистического ряда.
Суммирование производится по всем n интервалам. В первый столбец записываются номера интервалов, во второй переносятся из статистического ряда их верхние границы.
По ним вычисляются и записываются в третий столбец значения центрированного нормированного аргумента u для входа в таблицу интегральной функции ЗНР.
В следующий, четвертый столбец заносятся найденные по таблице значения интегральной функции для верхних границ интервалов.
В пятый столбец расчетной таблицы записываются значения теоретической вероятности р * попадания случайной величины (в нашем примере – износа гильзы) в текущий интервал. Эта вероятность вычисляется как разность функции распределения по концам интервала, то есть как разность этой функции между текущим и предшествующим интервалами. Для первого интервала в этом столбце повторяется значение из четвертого столбца.
В шестой столбец переносятся из статистического ряда опытные частоты. Далее вычисляются и записываются в седьмой столбец теоретические частоты как произведение объема выборки N на теоретическую вероятность 
.В восьмой столбец записываются квадраты разности опытных и теоретических частот.
В последний, девятый столбец расчетной таблицы записывается отношение квадрата разности частот к теоретической частоте. Сумма этого столбца и представляет собой искомый критерий «хи-квадрат».
Проследим на числовых примерах заполнение этой таблицы. Для первого интервала (первая строка таблицы) верхняя граница равна 14. Табличный аргумент для нее составит:
= 
= 
=-0,7929
В шестой столбец переносим из статистического ряда опытную частоту w 1 = 9. Далее находим и записываем в седьмой столбец теоретическую частоту w *:
= 0,2148·32 = 6,8736
В восьмой столбец записываем квадрат разности опытной и теоретической частот:
= 4,5215.
В последний, девятый столбец записываем отношение квадрата разности частот к теоретической частоте:
≈ 0,6578.
По такой же методике выполняем расчет критерия «хи-квадрат» для ЗРВ износа шатунной шейки коленчатого вала. Отличие заключается лишь в том, что величина u для распределения Вейбулла вычисляется по формуле (1.4.2), в то время как для ЗНР использовалась формула (1.4.3) [3]:
, (1.4.2)
где u – табличный аргумент;
х – приведенное значение аргумента (значение случайной величины, для которой отыскивается вероятность или плотность).
, (1.4.3)
где с – параметр смещения ЗРВ;
а – масштабный параметр ЗРВ.
Другое существенное отличие заключается в следующем. Таблицы 1 и 2 (приложение 1) для ЗНР являются таблицами с одним входом, то есть они могут быть записаны в два столбца: столбец аргумента и столбец функции. В столбце аргумента находим нужное значение и в этой же строке считываем в столбце функции результат.
Таблицы 3 и 4 (приложение 1) для ЗРВ являются таблицами с двумя входами: кроме значения аргумента u (первый вход таблицы) необходимо также задавать значение параметра b (второй вход). Поэтому результат считывается из таблицы на пересечении строки с заданным значением u и столбца с заданным значением b. Естественно, если в точности заданных значений в таблице не содержится, приходится интерполировать по одному или по обоим входам таблицы. В этом случае следует использовать формулу (1.4.4) [3]
, (1.4.4)
где х 1 и х 2 – ближайшие к заданному аргументу х табличные значения;
у 1 и у 2 – соответствующие табличные значения функции y.
Таблица 1.3.1
Расчет критерия «хи-квадрат» для ЗНР износа шатунной шейки коленчатого вала
| Номер интервала | Верхняя граница интервала | Табличный аргумент | Интегральная функция | Теоретическая вероятность р * | Опытная частота | Теоретическая частота | Квадрат разности частот | Отношение |
| i | 
| 
| 
| 
| wi | 
| 
| 
|
| –0,7929 | 0,2148 | 0,2148 | 6,8736 | 4,5215 | 0,6578 | |||
| –0,0466 | 0,4840 | 0,2692 | 8,6144 | 2,6062 | 0,3025 | |||
| 0,6996 | 0,7549 | 0,2709 | 8,6688 | 0,1096 | 0,0126 | |||
| 1,4458 | 0,9251 | 0,1702 | 5,4464 | 5,9848 | 1,0988 | |||
| 2,1921 | 0,9857 | 0,0606 | 1,9392 | 4,2468 | 2,1899 | |||
| 2,9384 | 0,9983 | 0,0126 | 0,4032 | 0,0264 | 0,0654 | |||
| Сумма: | 4,3270 |
Итак, параметры ЗРВ для рассматриваемого примера (гильзы) составляют:
а = 4,5952; b = 1,6; с = 12.
Таблица 1.3.2
Расчет критерия «хи-квадрат» для ЗРВ износа шатунной шейки коленчатого вала
| Номер интервала | Верхняя граница интервала | Табличный аргумент | Интегральная функция | Теоретическая вероятность р * | Опытная частота | Теоретическая частота | Квадрат разности частот | Отношение |
| i |
| 
|
|
| wi |
|
|
|
| 0,4347 | 0,206 | 0,206 | 6,592 | 5,7984 | 0,8796 | |||
| 0,8695 | 0,570 | 0,364 | 11,648 | 21,6039 | 1,8547 | |||
| 1,3043 | 0,782 | 0,212 | 6,784 | 4,9106 | 0,7238 | |||
| 1,7391 | 0,903 | 0,121 | 3,872 | 0,7603 | 0,1963 | |||
| 2,1739 | 0,962 | 0,059 | 1,888 | 4,4605 | 2,3625 | |||
| 2,6086 | 0,990 | 0,028 | 0,896 | 0,8028 | 0,8959 | |||
| Сумма: | 6,9128 |
Теперь можно сопоставить согласие опытных данных с ЗНР и с ЗРВ. Для этого находят число степеней свободы для каждого из рассматриваемых распределений по формуле [3]:
k = n – s – 1, (1.4.7)
где k – число степеней свободы;
n – число интервалов статистического ряда;
s – число параметров закона распределения.
В нашем примере n = 6. Число параметров s для ЗНР равно 2 (
и σ), для ЗРВ – 3 (a, b и c). Поэтому число степеней свободы равно:
для ЗНР – 6 – 2 – 1 = 3;
для ЗРВ – 6 – 3 – 1 = 2.
Чтобы отдать предпочтение какому-либо из сравниваемых законов, следует для каждого из них по табл. 1.4.7 найти уровень значимости Р с учетом числа степеней свободы. Более подходящим признается тот, у которого уровень значимости выше.
Определяем уровень значимости для ЗНР=0,230 +
для ЗРВ=0,035
4.ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
И ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Цель работы:освоить методику построения графиков дифференциальной и интегральной функций распределения.
Последовательность построения функции распределения
Для построения графика плотности распределения f (x) ЗНР необходимо либо выбрать из таблицы 1 (приложение 1), либо рассчитать по формуле [3]
плотность распределения для ряда последовательных значений величины износа. Обычно в качестве таких значений принимают середины интервалов статистического ряда. Для более точного построения можно взять в каждом интервале кроме середины еще несколько равноотстоящих точек.
Расчеты целесообразно проводить в табличной форме (табл. 1.4.1). В столбцы 1, 2 и 6 этой расчетной таблицы переносим значения из статистического ряда (табл. 1.1.3). В столбец 3 записываем значения табличного аргумента, рассчитанные по формуле (1.4.2). В столбец 4 записываем найденное в таблице 1 (приложение 1) значение плотности, делим его на σ и результат записываем в столбец 5. Далее строим график, откладывая (в выбранном масштабе) по оси абсцисс данные второго столбца, а по оси ординат – данные пятого столбца [3].
Для визуальной оценки степени совпадения теоретической плотности распределения с опытными данными на этот же график наносим опытные плотности (столбец 7), полученные делением опытных вероятностей на величину интервала А. На графике они отобразятся в виде горизонтальных линий, каждая из которых занимает весь свой интервал.
Таблица 1.4.1
Расчет плотности распределения износа шатунной шейки коленчатого вала
| Номер интервала | Середина интервала | Табличный аргумент | Плотность вероятности стандартного распределения (табл. 1 приложения 1) | Плотность вероятности исследуемого параметра | Опытная вероятность | Опытная плотность вероятности |
| i | 
| 
| f (u) | 
| pi | 
|
| -1,1647 | 0,204 | 0,0760 | 0,28125 | 0,1875 | ||
| -0,4193 | 0,367 | 0,1367 | 0,21875 | 0,1458 | ||
| -0,3261 | 0,379 | 0,1412 | 0,28125 | 0,1875 | ||
| 1,0715 | 0,225 | 0,0838 | 0,09375 | 0,0625 | ||
| 1,8169 | 0,078 | 0,0290 | 0,125 | 0,0833 | ||
| 2,5624 | 0,015 | 0,0055 |
Для визуальной оценки степени совпадения теоретической плотности распределения с опытными данными на этот же график наносим опытные плотности (столбец 7), полученные делением опытных вероятностей на величину интервала А. На графике они отобразятся в виде горизонтальных линий, каждая из которых занимает весь свой интервал.
Рис. 1.5.1. Теоретическая и опытная плотность распределения износа
поршневого пальца
Для построения графика интегральной функции распределения составляем расчетную табл. 1.4.2. Содержимое столбцов 1, 2 и 5 (номер интервала, верхняя граница, накопленная опытная вероятность) переносим из статистического ряда (табл. 1.1.3). В столбец 3 записываем вычисленные по формуле (1.4.2) значения табличного аргумента u, в столбец 4 – найденные по таблице 2 (приложение 1) значения вероятностей. Откладывая их в масштабе на координатной плоскости и соединяя плавной кривой, получаем график интегральной функции. Для визуальной оценки степени совпадения теоретических значений вероятности с опытными данными на этот же график наносим в том же масштабе накопленные опытные вероятности (столбец 5) в виде отдельных точек.
Таблица 1.4.2
Расчет значений интегральной функции распределения износа шатунной шейки коленчатого вала
| Номер интервала | Верхняя граница интервала | Табличный аргумент | Теоретическая вероятность (таблица 2 приложения 1) | Накопленная опытная вероятность |
| i | 
| 
| F (h) = F (u) | 
|
| –07920 | 0,2148 | 0,28125 | ||
| –0,0465 | 0,4840 | 0,5 | ||
| 0,6988 | 0,7549 | 0,78125 | ||
| 1,4442 | 0,9251 | 0,875 | ||
| 2,1897 | 0,9854 | |||
| 2,9351 | 0,9983 |