Б1. 16 Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов




Б1. 1. Множество. Подмножество. Равные множества. Пустое множество. Объединение, пересечение, разность, симметрическая разность множеств. Дизъюктные множества.

Б1. 2. Сравнение множеств. Мощность. Примеры.

Б1. 3. Взаимооднозначное соответствие между множествами.

Б1. 4. Множества меры нуль. Мера пустого множества.

Б1. 5. Свойства внешней меры.

 

 

Б1. 6. Измеримые множества

Б1. 7. Операции над измеримыми множествами

Б1. 8. Измеримые функции. Теоремы о функции, заданной на множестве меры нуль и равной константе.

Б1. 9. Арифметические операции над измеримыми функциями

 

Б1. 10. Эквивалентные функции

Определение 4. Функция f называется эквивалентной функции g (или асимптотически равной ей) при x x 0, если

(x) = 1. (9.26)

В этом случае пишут f ~ g, x x 0.

Замечание 1. Если x 0 X, то, как известно, из существования предела (x) следует, что

(x) = (x 0). Поэтому в случае (9.24) имеем (x 0) = 0, а в случае (9.26) - (x 0) =1. Если f =o (g), x x 0 и g (x) = 0, то функция f называется бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая g. В случае f =o (gn), x x 0, бесконечно малую f называют бесконечно малой порядка n относительно бесконечно малой g.

Замечание 2. Если в условиях определений 3 или 4 функция g не обращается в нуль на множестве x X U и x 0 X, то условие (9.24) можно записать в виде

[ f (x)/ g (x)] = 0, (9.27)

а условие (9.26) - в виде

[ f (x)/ g (x)] = 1. (9.28)

Замечание 3. Если x 0 X, и существует конечный предел

[ f (x)/ g (x)] = k, (9.29)

то функция f (x)/ g (x) ограничена на пересечении некоторой окрестности U (x 0) точки x 0 с множеством X т. е. существует такая постоянная c > 0, что для всех x X U выполняется неравенство | f (x)/ g (x)| < c, т. е. | f (x)| < c | g (x)|,

откуда следует, что при выполнении условия (9.29) имеет место соотношение

f (x) = O (g (x)), x x 0.

Теорема 1. Для того чтобы функции f (x) и g (x) были эквивалентны при x 0, необходимо и достаточно, чтобы

f (x) = g (x) + o (g (x)), x 0.  

Б1. 11. Эквивалентность непрерывных функций

 

Б1. 12. Определение свойства почти всюду

 

 

Б1. 13. Сходимость почти всюду

 

Б1. 14. Простые функции

 

Б1. 15. Интеграл Лебега простой функции

Мы введем понятие интеграла Лебега сначала для функций, названных выше простыми, т. е. для измеримых функций, принимающих конечное или счетное число значений.

Б1. 16 Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

Определение 1. Функциональная последовательность (31.1) называется равномерно сходящейся к функции f на множестве X, если для любого > 0 существует такой номер n 0, что для всех точек x X и всех номеров n > n 0 выполняется неравенство

| fn (x) - f (x)| < . (31.7)

Очевидно, что если последовательность (31.1) равномерно сходится на множестве X к функции f, то эта последовательность сходится к функции f на рассматриваемом множестве (определение сходимости последовательности функций на множестве). Если последовательность { fn } сходится на множестве X к функции f, то пишут fn f,

а если эта последовательность сходится равномерно к f на указанном множестве, то пишут fn f.

В символической записи определения сходящейся и равномерно сходящейся на множестве последовательности выглядят соответственно следующим образом:

fn f > 0 x X n 0 n > n 0: | fn (x) - f (x)| < .

fn f > 0 n 0 x X n > n 0: | fn (x) - f (x)| < .

Рис. 124

Таким образом, если последовательность { fn } только сходится к функции f на множестве X, то для каждой точки x X существует, вообще говоря, свой номер n 0 = n 0(, x), для которого при n > n 0 выполняется неравенство

| fn (x) - f (x)| < ,

и может оказаться, что для всех точек x X невозможно подобрать общий номер n 0, обладающий указанным свойством.
Равномерная же сходимость последовательности { fn } к функции f означает, что, какое бы число > 0 ни задать, можно подобрать такой номер n 0, что в любой точке значение функции будет отличаться от значения функции меньше, чем на (рис. 124).

Лемма 1. Для того чтобы последовательность { fn } равномерно сходилась на X к функции f, необходимо и достаточно, чтобы

| fn (x) - f (x)| = 0. (31.8)

Значение этой леммы состоит в том, что она сводит понятие равномерной сходимости поледовательности { fn } функций к понятию сходимости числовой последовательности

{ | fn (x) - f (x)|}

("числовой" в широком смысле этого слова: конечное число членов указанной последовательности может обратиться в + ). В силу этого обстоятельства условие (31.8) часто бывает удобно использовать для выяснения, сходится ли равномерно интересующая нас конкретная последовательность функций.
1. Пусть

fn f.

Зададим произвольно > 0. Тогда существует такой номер n 0, что для всех n > n 0 и всех x X выполняется неравенство | fn (x) - f (x)| < , а следовательно, для всех n > n 0 - неравенство

| fn (x) - f (x)| < .

Это и означает выполнение условия (31.8).
2. Пусть выполнено условие (31.8). Зададим произвольно > 0. Тогда в силу определения предела числовой последовательности существует такой номер n 0, что для всех n > n 0 выполняется неравенство

| fn (x) - f (x)| < ,

а следовательно, для всех n > n 0 и всех x X - неравенство

| fn (x) - f (x)| < .

Это означает, что

fn f.

Следствие. Если существует стремящаяся к нулю последовательность { n }:

n = 0.

такая, что для всех x X выполняется неравенство

| fn (x) - f (x)| < n, (31.9)

то последовательность { fn (x)} равномерно сходится к функции f (x) на множестве X.
Действительно, поскольку неравенство (31.9) выполняется для всех x X, то

| fn (x) - f (x)| < n,

а поэтому из условия n = 0 получаем, что

| fn (x) - f (x)| = 0.

Замечание 1. Очевидно, что из определения равномерной сходимости последовательности функций следует, что если какие-то последовательности равномерно сходятся на некотором множестве, то и любая их конечная линейная комбинация равномерно сходится на этом множестве.

Б1. 17 ЛЕБЕГА ИНТЕГРАЛ

Одноиз наиболее важных обобщений понятия интеграла. Пусть - пространство с неотрицательной полной счетно аддитивной мерой причем Простой ф у н к ц и е й наз. измеримая функция принимающая не более счетногомножества значений: Простаяфункция gназ. суммируемой, если ряд

сходится абсолютно; сумма этого ряда есть интеграл Лебега:

Функция суммируема на если существует равномерно сходящаяся намножестве полной меры к f последовательность простых суммируемых функций gn и предел

конечен. Число I есть интеграл Лебега:

Определение корректно: предел I существует и не зависит от выбора последовательности gn. Если то I - измеримая почти всюду конечная функция на X. Л. и. есть линейный неотрицательныйфункционал на обладающий следующими свойствами:

В случае, когда

интеграл Лебега

определяется как

при условии, что этот предел существует и конечен для любой последовательности Е п такой, что

В этом случае свойства 1), 2), 3) сохраняются, а свойство 4) нарушается. Опереходе к пределу под знаком Л. и. см. Лебега теорема. Если Аесть измеримое множество X, то Л. и.

определяется или, как указано выше, заменой Xна А, или как

где - характеристич. функция А;эти определения эквивалентны. Если для любого измеримого Если

измеримо для каждого п, для

Обратно, если при тех же условиях на А n для каждого и

то и верно предыдущее равенство ( -аддитивность Л. и.).

Функция множества

абсолютно непрерывна относительно если то F(А).есть неотрицательная абсолютно непрерывнаяотносительно мера. Обратное утверждение представляет Радона - Никодима теорему.

Для функций название "интеграл Лебега" применяется к соответствующему функционалу, если мера есть Лебега мера;при этом множество суммируемых функций обозначается просто L(Х).иинтеграл

Для других мер этот функционал наз. Лебега-Стилтьеса интегралом.

Если - неубывающая абсолютнонепрерывная функция, то

Если

-мо-

нотонна на

и существует точка

такая, что

(вторая теорема о среднем).

А. Лебег дал в 1902 (см. [1]) определение интеграла для и меры являющейся мерой Лебега. Онстроил простые функции, равномерно приближающие почти всюду на множестве конечной мерыЕизмеримую неотрицательную функцию и доказал существование общего предела(конечного или бесконечного) интегралов этих простых функций при стремлении их к f. Л. и. является базойдля различных обобщений понятия интеграла. Как отметил Н. Н. Лузин [2], свойство 2) - т. н. абсолютнаяинтегрируемость, выделяет Л. к. для из всевозможных обобщенных интегралов.

 

Б1. 18 Интеграл Лебега от ограниченной функции

 

Пусть действительная функция y = f (x) измерима и ограничена на ограниченном интервале [ a, b ] и A и B - соответственно ее нижняя и верхняя точные границы. Разобъем интервал [ A, B ], содержащий множество значений функции f (x) на [ a, b ], на n частей:

A = y 0 < y 1 < y 2 <... < yn = B,

и обозначим через Si множество точек x интервала [ a, b ], в которых . Составим две суммы (интегральные суммы Лебега):

и .

Обе интегральные суммы стремятся к одному и тому же пределу, не зависящему от выбора значений yi, если только наибольшая из разностей yi - yi -1 стремится к нулю. Число

есть определенный интеграл от функции f (x) по интервалу [ a, b ] в смысле Лебега (интеграл Лебега).

Это определение означает, что, каково бы ни было положительное число , можно указать такое число , что при любом разбиении интервала [ A, B ] на части такие, что , будут справедливы неравенства

и ,

а значит, и неравенство

где (интеграл Лебега можно определить и как предел суммы ).

 

 

Б1. 19 Интеграл Лебега

Пусть измерима на . ф-ции .

Опр. Ф-ция наз. интегрируемой на , если , а число наз.интегралом Лебега от ф-ции по множеству . Если ф-ция интегрируема, то интеграл всегда существует, т.к и

Свойства интеграла Лебега:

1. Если на , то

Поскольку , то и и

2. Если - интегрируема на , а - измерима на , на , то - интегрируема на .

3. Пусть и интегрируемы на . Тогда имеем и

4. Счетная аддитивность интеграла Лебега:

Пусть интегрируема на и , измеримые множества. Тогда , причем ряд абсолютно сходится.

5. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега:

Если интегрируема на , то

Заметим, что .

Ввиду аналогичного свойства для неотрицательных функций имеем, что

Для этого же

Выберем так, чтобы (отсутствие такого противоречит абсолютной непрерывности интеграла Лебега для неотрицательной функции), тогда, в виду нер-ва (*)

6. Если ф-ция п.в. на , то
Если , то (док-во этого факта от противного). Следовательно, имеем на основании свойства для неотрицательных функций.

Если ф-ции и равны п.в на , то , - неотрицательны.)
Если и просты на , то, очевидно, свойство выполнено. (ввиду того, что множество на которых у и различные значения, имеет меру 0, тогда и сумма, стоящая в определении интеграла Лебега от простой функции, будет одна и та же). - простую на . Полагая ее равной 0 на . Переходя к функции равной п.в., получили функцию . Ввиду того, что по предыдущему пункту , тогда т.в.г. у множеств из определения интеграла Лебега от неотрицательной функции для и будут равны.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: