Компактность метрического пространства

К метрическому пространству, естественно, можно применить топологическое определение компактности. Однако в случае метрических пространств удобно пользоваться другими опре- делениями (= критериями) компактности. Постепенно мы установим равносильность для мет- рических пространств всех приводимых нами определений (критериев) компактности.

Определение 2. Метрическое пространство X называется компактным, если любое его бесконечное подмножество имеет предельную точку.

Замечание. Метрическое пространство, состоящее из конечного числа точек, следует считать компактным: в нём нет бесконечных подмножеств, а стало быть, для всякого его бесконечного подмножества условие существования предельной точки выполнено. (Для несуществующего объекта верно всё что угодно.)

Определение 2а. Метрическое пространство X называется компактным, если любая по- следовательность его точек имеет предельную точку (= содержит сходящуюся подпоследова- тельность).

Предостережение. Обращаем внимание читателя на различия понятий предельной точки последовательности и множества. Так, предельная точка последовательности может не быть предельной точкой множества её значений. (Почему? Приведите примеры.)

Докажем равносильность этих определений.

Определение 2⇒ Определение 2а. Рассмотрим произвольную последовательность {x_n} ⊂ X. Покажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Если из неё можно извлечь стационарную подпоследовательность, утверждение тривиально. В противном случае можно утверждать, что множество значений последовательности бесконечно. По условию оно имеет предельную точку x ∈ X. Таким образом, в любой окрестности точки x найдётся элемент последовательности, отличный от x. Уменьшая размеры окрестностей, мы получим, что в любой окрестности таких элементов даже бесконечно много. Тем самым, x — предельная точка последовательности {x_n}.

Определение 2а ⇒ Определение 2. Пусть Y ⊂ X — бесконечное множество. Построим последовательность {xn} его элементов так, чтобы среди её членов не было равных. По условию она имеет предельную точку x. Легко видеть, что x является также предельной точкой множества X. В самом деле, по определению предельной точки последовательности в каждой окрестности точки x найдётся бесконечно много членов последовательности. Но в силу нашего выбора они суть различные точки множества X. Они не могут все совпадать с x. Тем самым, в любой окрестности точки x имеется хотя бы одна точка xn ∈ X, отличная от x.

Утверждение доказано.

Пример. Пользуясь определением 2а, нетрудно заметить, что бесконечномерное гильберто- во пространство l ² не является локально компактным. Достаточно доказать некомпактность единичной сферы с центром в нуле. Имеем для элементов стандартного базиса ||e_k − e_l|| = √ 2, а следовательно, из {e_n} нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Б1. 39.Теорема Арцела

Теорема (Арцела).

Пусть функции заданы f_n: K₁ → K₂ и

1) K₁, K₂ — компактные метрические пространства;

2) последовательность функций {f_n} является равностепенно непрерывной:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x’ ∈ K₁, ∀n ∈ N (ρ₁(x, x’)) δ ⇒ ρ₂(f_n(x), f_n(x’)) ε.

Тогда из последовательности {f_n} можно извлечь подпоследовательность, равномерно сходящуюся к некоторой функции f ∈ C(K₁, K₂).

Доказательство.

1. Построим (это возможно в силу компактности K₁) конечные 1-, 1/ 2 -, 1 /4 и т. д. сети. Упорядочив совокупность точек этих сетей в порядке перечисления и выбрасывая из последовательности повторяющиеся точки, получим счётное всюду плотное в K₁ множество X = {x₁, x₂, x₃,..., x_l,...}. Для каждого фиксированного l рассмотрим последовательности {f_n(x_l)}. В силу компактности множества значений K₂ с помощью «диагональной процедуры» можно выделить такую подпоследовательность {f_nk }, которая будет сходиться в каждой точке x_l ∈ X:

.(1)

Для сокращения записи будем далее обозначать полученную подпоследовательность функций {f_nk } одним индексом: f_k ≡ f_nk, не смешивая её с исходной последовательностью.

2. Докажем, что полученная функциональная подпоследовательность сходится поточечно при всех x ∈ K₁, а не только при x_l ∈ X, и, более того, сходимость равномерна на K₁. Пусть задано ε > 0. Пользуясь неравенством треугольника, запишем для произвольного x ∈ K₁:

. (2)

где x_l будет определено ниже. Пользуясь равностепенной непрерывностью исходной функциональной последовательности (а значит, и выбранной подпоследовательности), найдём такое δ > 0, что для всех k ∈ N и ρ₁(x’, x”) < δ будет выполнено ρ₂(f(x’), f(x”)) < ε /3. Найдём первое среди чисел 2 ^−j, j ∈ N, меньшее δ. Рассмотрим конечное множество X_j ⊂ X, состоящее из всех элементов выбранных ранее 1-, 1/ 2 -,..., 1/ 2 ^j - сетей в K₁. (Легко видеть, что тогда для каждого x ∈ X ближайший к нему элемент x_l ∈ X_j находится на расстоянии меньше δ.) В силу сходимости последовательности {f_k} во всех точках X_j (поскольку она по построению сходится всюду на X) существует такое N ∈ N (зависящее только от ε, но не от x!), что для любых k, m > N и для любого x_l ∈ X_j верно неравенство

ρ₂(f_k(x_l), f_m(x_l)) < ε/ 3.(3)

Поскольку ближайший к произвольному фиксированному элементу x ∈ K₁ элемент x_l ∈ X_j находится на расстоянии ближе δ, то с учётом выбора δ и два остальных слагаемых в (2) меньше ε /3, откуда мы получаем

ρ₂(f_k(x), f_m(x)) < ε. (4)

при всех x ∈ K₁ и всех k, m > N(ε). Тем самым установлена «равномерная фундаментальность» последовательности {f_k} на K₁. Из этого факта следует сходимость в каждой точке, а также равномерность этой сходимости: для доказательства последней достаточно перейти в (4) к пределу при m → ∞ (уже зная, что он существует поточечно). Итак, мы доказали, что из данной последовательности можно извлечь равномерно сходящуюся последовательность, предел которой — как равномерный предел непрерывных функций — сам представляет собой непрерывную функцию.

Теорема доказана.