Построение матрицы исходного симплекса




Обновление 1_10_16

Последовательный симплексный метод для оптимизации сложных химико-технологических и биологических систем

Последовательный симплексный метод предназначен для оптимизации сложных химико-технологических и биотехнологических систем.

Слово «симплекс» (от латинского simplix - простой) обозначает простейшую пространственную фигуру в евклидовом пространстве.

В математике под q -мерным симплексом в q-мерном евклидовом пространстве понимают фигуру, образованную множеством (q+I) точек, не принадлежащих одновременно ни одному (q-I)- мерному подпространству данного пространства.

Так, например, на плоскости q=2 (двухмерное пространство) двумерный симплекс образуется тремя точками, не лежащими на одной прямой (одномерное подпространство двухмерного пространства), т.е. симплексом будет любой треугольник, как правильный, так и неправильный. Аналогично, в трехмерном пространстве симплекс образуют любые четыре точки, не лежащий в одной плоскости, т.е. геометрической фигурой симплекса будет треугольная пирамида.

Точки, образующие симплекс, называются вершинами.

Симплекс называется регулярным, если все расстояния между вершинами равны. Регулярными симплексами являются равносторонний треугольник, тетраэдр.

Построение матрицы исходного симплекса

Таблицу координат вершин симплекса принято называть матрицей симплексного планирования иди симплекс – планом. Эффективность симплексного планирования в значительной степени зависит от выбранного симплекс - плана.

В общем виде матрица вершин симплекса имеет вид:

 

 

 

где xij- элемент симплекс-плана; i – номер опыта, i= I, 2... (q+I); j – номер фактора, j = I, 2...q;

Таким, образом, число столбцов в матрице соответствует числу факторов, а число строк определяет число опытов в вершинах симплекса.

Различают центрированные и вписанные симплекс-планы.

Под центрированным симплекс-планом понимается матрица вершин правильного симплекса, центр тяжести которого совпадает с началом координат.

Вписанным симплекс-планом называют матрицу вершин правильного симплекса, вписанного в гиперкуб с координатами ±1.

Существуют различные способы построения симплекса в безразмерном пространстве. Рассмотрим наиболее удобный способ - построение почти целочисленной матрицы симплекс-плана.

Симплекс-планы на основе почти целочисленной матрицы

Это удобная для практического использования почти целочисленная матрица правильного симплекс – плана, которую можно построить для любого числа факторов -q:

,

 

где параметр δg вычисляется по формуле:

(1)

значение в зависимости от числа факторов приведены в таблице:

q            
-1,732 -1 -0,618 -0,379 -0,215 0,0938

 

Построим симплекс план для двух факторов:

 

-1,732 -1,732
-1  
  -1

 

Для удобства вершины симплекса отображают в виде латинских букв и обозначают факторы:

 

Обозначение вершины X1 X2
А -1,732 -1,732
В -1  
С   -1

 

 

Задание: На миллиметровке изобразите оси координат и отметьте вершины симплекса. Соедините вершины линиями. Должен получится правильный треугольник. Это и есть симплекс.

План на основе почти целочисленной матрицы не центрирован.

При q=3 он является вписанным.

Симплекс – план является стандартным и записан в кодированной (безразмерной) форме.

 

 

Алгоритм последовательного симплексного метода.

Последовательный симплексный метод (ПСМ) планирования эксперимента был предложен в 1962 году Спендлеем, Хецтом и Химеворзом для оптимизации сложных технологических объектов с применением управляющих машин.

Алгоритм ПСМ состоит в следующем. Выбрав параметр оптимизации, и определив факторы, влияющие на процесс, экспериментатор проводит опыт в точках, соответствующих вершинам исходного регулярного симплекса. После проведения экспериментов сравнивают между собой значения параметра оптимизации и выбирают вершину симплекса, результат эксперимента в которой оказался "наихудшим" (это может быть вершина, как с наименьшим, так и с наибольшим значением параметра оптимизации, если ищется соответственно максимум или минимум). Затем рассчитываются координаты новой вершины симплекса, которая является «зеркальным отражением» «наихудшей» вершины относительно противоположной грани симплекса. В новой вершине симплекса проводят эксперимент и сравнивают полученное значение отклика с откликом в «наихудшей» вершине. Если в новой вершине симплекса значение отклика больше чем значение отклика в наихудшей вершине, то «наихудшую» вершину симплекса отбрасывают. При этом симплекс перемещается в пространстве. Затем всю процедуру повторяют снова, сравнивая результаты эксперимента в вершинах симплекса между собой. Повторяя описанную выше процедуру шагового движения, можно приблизиться к оптимуму с точностью, определяемой размерами симплекса.

На рис. 2. показана схема движения симплекса в область оптимума. Поверхность отклика представлена в виде линий равного уровня. Траектория движения симплекса представляет зигзагообразную линию.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-11-22 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: