ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ УЧЕБНИКА

Перейдем теперь к характеристике самого учебника «Математика. 1 класс» (авторы: Г. В. Дорофеев и Т. Н. Миракова).
Данный учебник — главная составная часть учебно-методического комплекта ¹ по математике для 1 класса четырехлетней начальной школы, которая адресована непосредственно ученику. Это учебник развивающего типа. Он содержит основной набор сведений по математике, необходимых для полноценного усвоения курса и развития интеллектуальных и творческих способностей личности шестилетнего ребенка.
По структуре, стилю изложения и методическим подходам учебник во многом отличается от ныне действующих учебников по математике для начальной школы.
Укажем наиболее существенные отличия.

1. В учебнике последовательно реализован теоретико-множественный подход к введению основных понятий: «число», «величина», «фигура». С этой целью уже в начале 1 класса, сразу после подготовительных уроков, вводятся понятия «множество», «элемент множества», устанавливается отношение равенства между множествами, рассматриваются задания на сравнение численностей множеств, действий с множествами: объединение непересекающихся множеств, дополнение множества и удаление из множества его части. Такая работа позволяет естественно подвести детей к осознанию понятия натурального числа, уяснению порядка чисел в натуральном ряду, пониманию смысла действий сложения и вычитания.

2. Предложен особый подход к изучению приемов сложения и вычитания в пределах 10. Суть предлагаемой методики состоит в том, что первоклассникам практически сразу предлагают решать примеры в несколько действий с помощью числового отрезка. При этом демонстрируется не просто результат, но и сам алгоритм вычислений. «Шагая» по числовому отрезку и передвигая фишки в соответствии с заданным маршрутом (это или стрелочное письмо, или набор граней двух игральных кубиков — красного и синего цветов), ребенок начинает предметно ощущать способ действия. А поэтому легко понимает, какой способ вычислений удобней (прибавить 5 раз по 1 или прибавить сначала 3, а потом 2), сколько «шагов» (единиц) между числами 8 и 10, можно ли из числа 3 вычесть 4 и т. д.
Вычисления с помощью числового отрезка способствуют усвоению состава числа, выработке навыков счета группами, осознанности вычислений. Использование игровых заданий с числовым отрезком позволяет уже на начальном этапе решать достаточно сложные примеры, глубже понять взаимосвязь действий сложения и вычитания, подготовить учащихся к открытию соответствующих способов вычислений, в том числе и с переходом через десяток, решать задачи на разностное сравнение и на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц.
Работа с числовым отрезком способствует не только развитию зрительного аппарата ребенка, пространственных и логических умений, но и, что особенно важно, обеспечивает закрепление в сознании малыша конкретного образа алгоритма действий, правила.
Тем самым в данном учебнике принята трехэтапная методика формирования вычислительных навыков: а) вычисления с помощью предметных множеств и числового отрезка (уровень восприятия); б) отвлеченные вычисления (уровень представлений); в) формулирование правила вычислений (уровень объяснений).
Благодаря такой «тройной» прокрутке материала обеспечивается формирование осознанных и прочных вычислительных навыков.
Иными словами, сначала дети учатся выполнять действия на уровне восприятия конкретных количеств, затем на уровне накопленных в их сознании представлений о количестве и, наконец, на уровне объяснения применяемого алгоритма вычислений.

3. Предложена целостная система работы с текстовой задачей, которая включает в себя пропедевтику ознакомления детей с понятием «задача» и ее составом, обучение моделированию отношений: «больше», «меньше», «больше на...», «меньше на...» и т. д., решение цепочек простых задач, решение задач по аналогии, сравнение взаимно обратных задач и их решений и др.
Само понятие «задача» вводится не сразу, а через длительный период подготовки. Сначала учащиеся учатся составлять рассказы по картинкам. Вначале это парные картинки с вполне очевидным сюжетом: «Что было сначала», «Что произошло (изменилось) и стало потом». Когда же дети научатся «видеть» действие и числовые данные, а также познакомятся со знаками «+», «–» и «=» и первыми цифрами, появляются новые группы тройных картинок, на которых указываются ключевые слова. Например: Было. Положили еще. Стало; или Было. Улетел. Осталось, а также записываются числовые данные и решение. Постепенно доля самостоятельности детей при выполнении этих заданий увеличивается, так как опорные слова, знаки действий и некоторые данные исключаются и ребенок должен сам восстановить пропуски.
Особенность этой методики состоит в том, что, еще не зная, что такое задача, ребенок ее моделирует (работает с краткой записью), ибо учится в своем рассказе выделять главные слова, соотнося их с нужными числовыми данными, отсекая избыточную информацию. В этот период рассматриваются, главным образом, задачные ситуации на нахождение суммы и остатка.
Отсроченный порядок введения термина «задача», ее основных элементов, а также усиленное внимание к процессу вычленения задачной ситуации из данного сюжета способствует преодолению формализма в знаниях учащихся, более глубокому пониманию внешней и внутренней структуры задачи, развитию понятийного, абстрактного мышления. Задача становится для ребенка не искусственным порождением, а упражнением, составленным по понятным ему законам и правилам.

4. Для развития пространственных представлений учащихся введены специальные задания-аппликации на составление картинок из фигур Приложения. Эти задания пронизывают весь курс, начиная с составления сюжетных картинок и до работы с геометрическим лото. Заметим, что попутно с чисто образовательными целями по ориентированию в пространстве задания-аппликации призваны решать и большие воспитательные задачи: эстетика вкуса, чувство цветовой гаммы, гармонии, понимание соразмерности и т. п. Создавая свои «картины» или узоры, ребенок отчетливо понимает, что, механически объединяя красивые детали, не всегда можно получить красивое целое. И наоборот: отдельные части из геометрического лото могут оказаться неказистыми на вид, зато узор, составленный из них, радует глаз и восхищает.

5. Решая проблему обучения и развития по книге первоклассника, еще не умеющего читать и писать, авторы используют метод наглядных иллюстраций. Учебник содержит много увлекательных сюжетных картинок и заданий, которые не просто передают интересные знания и развлекают, а ненавязчиво заставляют думать. Изложение в форме книги с картинками помогает первокласснику с увлечением изучать математику, развивая свои фантазию и умственные способности.
Вместе с тем на страницах учебника уже с первых уроков есть текст. Читающие первоклассники — это уже не редкость, а факт, который давно пора учитывать. Наша позиция в этом вопросе такова: читательский интерес первоклассника надо поддерживать и развивать на всех уроках, в том числе и при изучении математики. В этих целях в учебник включены специальные упражнения на развитие речевых умений учащихся: «Составь рассказ по картинке», «Расскажи, что изображено на рисунке», «Составь задачу», «Придумай вопрос», «Придумай рассказ» и т. д.
Разумеется, некоторые дети могут либо плохо читать, либо вообще не знают букв. Поэтому на первых страницах учебника тексты весьма тщательно подобраны, они краткие, обязательно сопровождаются и дополняются легко воспринимаемой и запоминающейся иллюстрацией. Наличие текста обусловлено также элементарным вниманием к взрослым (учителям, родителям и т. д.), которые обучают ребенка по этой книге, с тем, чтобы они могли оказать необходимую помощь маленькому читателю, разобраться в существе задания, а при необходимости и проверить знания ученика.

6. Учебник имеет большой формат и компактен по объему. Материал в учебнике распределен поурочно с чередованием видов деятельности внутри урока. Такая форма помогает учителю в тематическом и поурочном планировании, в организации разнообразной деятельности учащихся на уроке.
В первой части учебника на каждый урок отводится 2 страницы (или, как говорят, разворот книги). Это связано с наличием большого числа иллюстраций достаточно крупного размера, что обусловлено возрастными возможностями первоклассников. Далее каждый урок занимает, как правило, не более одной или полутора страниц. Окончание урока в учебнике отмечено специальным знаком — колокольчиком.

7. Учебник предназначен в основном для устной работы с элементами наглядно-практических действий: работа с предметными множествами, счетным материалом, моделирование и т. п. Вместе с тем первые разделы учебника написаны с использованием элементов тетради на печатной основе, включая различного рода раскрашивания и рисование. Это обусловлено не только заботой о развитии мелкой моторики руки первоклассника, подготовке к письму. Особенность познавательной деятельности 6—7-летних детей заключается в том, что они способны усваивать знания лишь в процессе наглядно-предметной деятельности, или, как говорят, «от рук к голове». Словесные или наглядные образы не будут восприняты ребенком в полной мере, если они не опредмечены моторной деятельностью его рук.
В этой связи учебник предусматривает введение специальных заданий на рисование, аппликацию, конструирование и раскрашивание. Работа с ними приобщает первоклассников к моделированию и схематизации действий, способствует развитию математической речи учащихся, формированию навыков считывания с наглядного образа или картинки математической информации.
Если в процессе преподавания фактический опыт используется, то опыт воображаемый явно недооценивается. Необходимо от фактического опыта и эксперимента вести учащихся к активному самостоятельному умственному эксперименту, являющемуся важным элементом творческого подхода к математическим проблемам. И этому нужно учить ребенка уже с первого класса.
В этом плане данный учебник нацелен на то, чтобы постоянно вырабатывать у учащихся устойчивое внимание, сосредоточенность, умение сочетать факты и сведения учебного текста с прослушиванием рассказа учителя и записями в тетради.

¹ Комплект учебно-методических пособий по математике для 1 класса начальной школы авторов Г. В. Дорофеева и Т. Н. Мираковой состоит из учебника «Математика. 1 класс» (в двух частях), пособий для учащихся «Рабочая тетрадь по математике для 1 класса, № 1, 2» и пособия для учителя «Методическое пособие к учебнику „Математика. 1 класс“».

МЕТОДИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ
К ОСНОВНЫМ РАЗДЕЛАМ УЧЕБНИКА

В учебнике выделены четыре основных раздела:
1. Сравнение и счет предметов.
2. Множества и действия над ними.
3. Числа от 1 до 10. Число 0.
• Нумерация.
• Сложение и вычитание.
4. Числа от 11 до 20.
• Нумерация.
• Сложение и вычитание.
Рассмотрим особенности содержания обучения в каждом разделе.

Раздел 1.
СРАВНЕНИЕ И СЧЕТ ПРЕДМЕТОВ

Для формирования у первоклассников позитивного отношения к предмету «математика» важное значение приобретают первые уроки. Вот почему в этой книге особое внимание уделяется началу изучения курса.
Естественно, что ни семья, ни детский сад не могут дать всем 6—7-летним детям одинаковой подготовки для успешного обучения в школе и усвоения начальных математических знаний. Неоднородность состава учащихся 1 класса по подготовленности к школе обуславливает необходимость проведения специальных подготовительных занятий.
Поэтому традиционно всякий учебник по математике для 1 класса начинается с так называемого дочислового периода. В нашем учебнике этот раздел называется «Сравнение и счет предметов».
При изучении этого материала перед учителем стоит целый ряд весьма важных задач, связанных с выявлением и уточнением уровня математических знаний и представлений учащихся о количественном и порядковом значении числа, умением распознавать на моделях и чертеже основные геометрические фигуры (круг, квадрат и треугольник), ознакомлением с отношениями «больше», «меньше», «столько же», уточнением пространственных и временных соотношений, закреплением умения вести счет в пределах 10 (как прямой, так и обратный).
Принципиальное отличие предлагаемой методики состоит в том, что обучение с ориентацией на жизненный опыт учащихся заключается не в прямой пролонгации «дошкольной математики», как это часто бывает в традиционных курсах. Учебник предусматривает не только уточнение имеющихся знаний, но и продвижение ребенка именно в том направлении общего развития, которое является недостаточным, но к чему он внутренне готов из опыта его личных взаимоотношений с окружающими и сотрудничества в детском коллективе.
Так, уже с первых уроков учащимся предлагаются новые сведения о форме и величине предметов, их сравнении и упорядочивании, о сравнении численностей множеств и способах их уравнивания, о разбиении множества на части и сравнении численностей множеств, о взаимном расположении точек и линий.
Особенно важным в этот период является развитие речи малыша, способности объяснять и рассуждать. Материал учебника для первых уроков призван решать и эту проблему: здесь и «чтение» стрелочного письма, и различного рода задания на моделирование и схематизацию пространственных отношений «между», «вне», «внутри» и т. д.
Надо сказать, что буквально с первых уроков идет подготовка к изучению величин: длина, масса и емкость. В процессе выполнения заданий на сравнение предметов по величине и измерение длин различными мерками у учащихся расширяются представления о числе. Они убеждаются, что числа получаются не только в результате пересчета элементов конечных предметных множеств, но и в результате измерения величин.
Известно, что счет возникает и применяется на сравнительно высоком уровне развития математических элементов мышления. Ему предшествует несколько ступеней усовершенствования логических суждений, связанных с рассмотрением конечных совокупностей предметов и приемами выделения этих совокупностей. В этой связи в первый раздел учебника включены упражнения на умение выделять свойства предметов (форма, размер, материал, назначение и т. д.), сравнивать и упорядочивать предметы по величине, группировать предметы по выделенному признаку, устанавливать соответствие между конкретными конечными группами предметов, сравнивать численности конечных множеств путем установления соответствия между их элементами.
Лишь в результате выполнения операций сравнения и сопоставления предметов и их совокупностей, упорядочивания и восстановления целостности множества и развития сопровождающей эту деятельность речи у ребенка вырабатывается среди прочих способность создавать абстракции, необходимые для счета.
В результате изучения этого материала дети должны знать, что вопрос «Сколько?» требует счета, а результат счета не зависит от порядка, в котором его выполняют.
Эту работу следует проводить так, чтобы ребенок мог самостоятельно наблюдать, сравнивать, выделять из окружающей обстановки такие предметы, по отношению к которым можно задать вопрос со словом «сколько».
В качестве счетного материала сначала лучше использовать однородные предметы, отличающиеся цветом или размерами, например разноцветные кружки, елочки разной высоты и т. п. Позже для счета можно уже использовать совокупности предметов разного вида, формы. Например, игрушки или персонажи из сказки «Теремок».
Очень полезны в этот период задания, при выполнении которых по выставленному на наборном полотне ряду игрушек или геометрических фигур (разного цвета, размера и формы) дети задают как можно больше вопросов со словом «сколько».
Например:
— Сколько синих фигур? Сколько красных?
— Сколько кругов? квадратов? треугольников?
— Сколько больших фигур? Сколько маленьких?

Счетный материал желательно располагать по-разному: в ряд (близко друг к другу или с большими промежутками между предметами), хаотично, вроссыпь, по кругу, крестом и т. д. Важно, чтобы дети поняли, что счет предметов можно начинать с любого из них, счет не зависит от порядка расположения предметов. И если последний предмет оказался, к примеру, седьмым, то всего — семь предметов.
С первых же уроков дочислового периода отрабатывается умение сравнивать группы предметов или, по-другому говоря, численности множеств. Работу в этом плане следует вести таким образом, чтобы дети самостоятельно с помощью практических действий на раздаточном материале могли устанавливать взаимно однозначное соответствие между элементами множеств. Например, учитель привлекает внимание детей к фланелеграфу, на котором в один ряд помещено 6 цветных изображений хоккеистов, а на некотором расстоянии от них — 7 клюшек. «Хватит ли хоккеистам клюшек? Как узнать?» — спрашивает он у детей. Вызванный к доске ученик ставит рядом с каждым хоккеистом клюшку. Выясняется, что одна клюшка лишняя.
— Каких изображений больше: хоккеистов или клюшек?
— Как сделать так, чтобы хоккеистов и клюшек стало поровну?
Дети предлагают два способа уравнивания групп предметов: убрать лишний предмет или добавить недостающий.
Особое внимание в этот период придается упражнениям на подготовку к письму цифр. Уже на первых уроках первоклассники знакомятся с точкой, точечной и клетчатой разлиновкой, учатся отмечать точки и рисовать простейшие узоры и орнаменты по заданному образцу. Учитель обращает внимание детей на точку пересечения каких-либо двух прямых линий в клетчатой разлиновке тетради, учит отмечать эти точки карандашом.
Первоклассники учатся отмечать и такие точки, через которые данные прямые не проходят, например центр клетки. Важно научить детей отмечать также середину стороны клетки и точки в углах клетки (нижнем левом, верхнем правом и т. п.).
Упражнения на копирование рисунков, выполненных на клетчатом фоне, предлагаются не столько с целью подготовки детей к письму и для развития мелкой моторики руки, но и для обучения детей действовать по образцу, выполнять «калькирование» изображения. Здесь активно работает все — и внимание, и ориентировка на плоскости, и планирование действий. Заметим, что умение действовать по образцу, правильно переписать задание, а также копировать изображение при усвоении математики играет весьма важную роль.
Первые подготовительные упражнения к письму цифр направлены на формирование умения видеть рабочую строку тетради в клетку (горизонтальный ряд клеток), отдельную клетку в строке, столбики (вертикальный ряд клеток), различать верхнюю, нижнюю, левую и правую стороны клетки, точки (центр клетки, середины сторон, вершины) и углы клетки.
Далее, во втором разделе, эта работа продолжается. Узоры для рисования усложняются, дети учатся рисовать по клеткам и точкам геометрические фигуры (квадраты, круги, треугольники и др.) и различного рода узоры из них.

Примерные конспекты уроков ¹
(Учебник. Часть 1)

УРОК 1 (первая четверть).
Какая бывает форма (с. 4—5)

Цели урока:
1) познакомить учащихся с учебником математики, задачами обучения;
2) выяснить значение слова «форма», тренировать умение различать предметы по форме, сформировать представление об основных видах геометрической формы: квадратная, треугольная, круглая;
3) упражнять в счете предметов, выяснить знание слов-числительных (количественных и порядковых) и их последовательности при счете.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.
Учитель:

Мы начинаем урок математики. На этих уроках вы будете учиться считать, решать примеры и задачи, чертить фигуры и играть в математические игры. Но чтобы хорошо учиться математике, нужно быть очень внимательными. Давайте потренируемся во внимании.
2. Устные упражнения. Счет от 1 до 10.
— Внимательно осмотрите учебный класс, в котором вы сидите. Скажите, сколько в классе окон.
— Сколько шкафов (дверей, комнатных растений)?
— Сколько парт в первом ряду, у окна? (Ряд показывает учитель.)
— Сколько девочек во втором ряду? (Ряд показывает учитель.)
— Сколько мальчиков в третьем ряду? (Ряд показывает учитель.)
3. Сравнение по форме.
— Сегодня праздник. Первый день занятий в школе. Ученики пришли в школу нарядные, в новой форме, с цветами. Почему наш класс сегодня такой красивый? (Много букетов цветов.)
Учитель показывает два гладиолуса одинаковых размеров, но разного цвета.
— Рассмотрите два цветка из букета. Чем они похожи? Чем различаются? (Форма одна, цвет разный.)
Далее учитель предлагает детям сравнить гладиолус и георгин того же цвета. (Цвет один, форма разная.)
Учитель выставляет на наборном полотне зеленые листья березы, клена и дуба.
— Что общего? (Цвет.) Чем различаются? (Формой.) Игра «День-ночь». (Дети закрывают глаза, учитель меняет местами два листочка. Дети открывают глаза и выясняют, что изменилось.)
4. Физкультминутка.

5. Знакомство с учебником.
С помощью учителя дети рассматривают обложку учебника, читают обращение к первоклассникам.
1) Выяснение значения слова «форма».
— Посмотрите на иллюстрации вверху левой страницы учебника. Скажите, кто на них нарисован. Как вы догадались? (Учащиеся в школьной форме, солдат в военной форме и т. д.)
Вывод: Люди одеты в разную форму в зависимости от того, чем они занимаются.
2) Знакомство с видами геометрической формы.
— Назовите фигуры, которые вы знаете.
Учитель демонстрирует геометрические фигуры, которые обычно уже знакомы детям: квадрат, круг, треугольник. Желательно, чтобы все они были одного цвета. Если ребята не знают каких-то фигур, то учитель называет их сам, приводит примеры предметов из окружающей обстановки, имеющих такую же форму.
— Какие предметы вокруг нас имеют квадратную форму? (Носовой платок, плитка паркета, клетка шахматной доски и т. д.)
— Найдите в классе предметы круглой формы, треугольной формы.
3) Сравнение предметов по форме.
— Рассмотрите картинку на левой странице учебника. Что на ней нарисовано? (Пряники.)
— Пряники какой формы кажутся вам самыми вкусными?
Желательно, чтобы, отвечая на последний вопрос, учащиеся проговаривали, например: в форме елочки, круглой формы, квадратной формы и т. д.
4) Игра «Узнай предмет по его тени».
— Я принесла игрушки. На странице справа, вверху, художник изобразил фотографии их тени. Отгадайте, какие это игрушки.
— Опишите тень, какая бывает у мяча, кубика, колпака волшебника. Используйте подсказку художника на рисунке посередине.
5) Закрепление представлений о форме предметов.
— Найдите на рисунке знакомые вам фигуры.
Заметим, что эти рисунки составлены не только из треугольников, квадратов или кругов. Здесь более развитые учащиеся могут выделить также и прямоугольники, сосчитать их. Однако требовать от всех первоклассников умения распознавать эту фигуру на чертеже на данном этапе не следует.
6. Физкультминутка.

7. Работа в тетради.
— Правила посадки при письме. Ориентировка в тетради (верх, низ, поля, край, середина, клетка).
— Выполнение упражнений учебника.
8. Итог урока.
— Что вам больше всего понравилось на уроке?
— Что показалось легким? трудным?
— Что расскажете о сегодняшнем уроке дома?
— А теперь задание на следующий урок. Попробуйте в предметах домашней обстановки найти «спрятавшиеся» в них геометрические фигуры (круг, квадрат, треугольник). Расскажите нам завтра об этом.
Замечание. Для отработки умения определять форму предмета на данном и последующем уроках полезно использовать специальные задания на осязание. С этой целью учитель может легко приготовить 5—6 пособий на угадывание формы по контуру фигуры. Каждое такое пособие представляет собой кусок картона размером 15 × 15 см с наклеенными на него зернышками пшена (горошинами, бисером или бусинами) в виде квадрата, круга, прямоугольника, треугольника или овала ². Важно, чтобы расстояние между зернышками было не больше 2—3 мм, а угадываемая фигура могла быть полностью накрыта ладошкой первоклассника.

Например, дети закрывают глаза, нащупывают зернышки и, обводя их пальцем, а при необходимости и ощупывая ладонью, определяют, какую форму они образуют.