Цель работы
- изучение основ алгоритмизации инженерных задач;
- получение навыков в построении итерационных алгоритмов;
- изучение основных численных методов решения систем уравнений
- изучение основных способов решения систем уравнений в Mathcad.
Краткие теоретические сведения
Одним из способов решения уравнений и систем уравнений в Mathcad является так называемый solve block (блок решения). При этом способе уравнение или система уравнений записывается в обычной форме.
Блок решения используется для нахождения, как символьных решений, так и численных решений.
Последовательность действий при этом состоит в следующем:
- задаются начальные значения искомых переменных (если ищется численное решение);
- записывается ключевое слово Given;
- записываются уравнения;
- ключевое слово
Find(<переменная 1>,<переменная 2>,...,<переменная N>).
Если после слова Find ввести знак равенства (кнопка = на панели инструментов Calculator), то Mathcad выведет численное решение.
При символьном решении не вводятся начальные значения, а после ключевого слова Find вместо знака равенства следует ввести символьный знак равенства (при помощи комбинации клавиш [Ctr+.] или соответствующей пиктограммы панели Evaluation).
При решении систем линейных уравнений в Mathcad можно использовать различные методы. Выбор метода зависит от вида системы уравнений. В частности, можно записать систему в матричной форме и решать ее с использованием матричных операций.
Блок решения можно использовать и при решении нелинейных систем уравнений. Следует помнить о том, что при неудачном выборе начальных значений Mathcad может вывести сообщение об ошибке.
Пример 1.
Получим символьное решение системы уравнений
с помощью блока решений.
Значения переменных 
записываются в матрицу х, в которой один столбец и число строк равно числу неизвестных.
В данном случае нет необходимости задавать начальные значения неизвестных. Поэтому сразу записывается ключевое слово Given и система уравнений.
Для получения решения после ключевого слова Find вводится символьный знак равенства (при помощи комбинации клавиш [Ctr+. ] или соответствующей пиктограммы панели Evaluation).
В Mathcad это решение будет иметь вид
Пример 2.
Найти численное решение системы линейных уравнений, используя блок решений.
Для получения численного решения системы уравнений следует задать начальные значения неизвестных. Пусть это будут нулевые значения.
В Mathcad это решение будет иметь вид.
Пример3.
Решить систему уравнений
,
используя функцию lsolve. Функция lsolve позволяет получить решение системы 
линейных уравнений. В качестве параметров при обращении к функции необходимо указать матрицу системы и столбец свободных членов. Полученное решение сохраняется в заданном векторе.
В Mathcad это решение будет иметь вид.
Проверить полученное решение можно вычислив произведение:
Получили, что правые части уравнений системы равны левым.
Содержание задания
Задана система трех уравнений (см. приложение К).
Получить решение системы с использованием функций Mathcad.
Выполнить анализ полученных результатов (отметить точность, трудоемкость и т.д.).
Содержание отчета
- цель работы;
- задание;
- итерационная формула метода половинного деления и результаты выполнения четырех итераций;
итерационная формула метода Ньютона и результаты выполнения четырех итераций;
- выводы.
6.5. Контрольные вопросы
1. Какие существуют численные методы решении систем уравнений.
2. Дайте геометрическую интерпретацию метода итераций для решения систем уравнений.
3. Запишите итерационную формулу метода Зейделя.
4. Объясните, какими способами можно получить решение системы уравнений в Mathcad.