ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Программа и контрольные задания
Для студентов инженерно-экономических специальностей
заочной и вечерней форм обучения
СЕМЕСТР 3
Красноярск 2005
Указания по выполнению контрольных работ
Студент должен выполнять один тот же вариант всех контрольных работ. Чтобы определить свой вариант, нужно разделить на 25 число, полученное отсечением двух цифр от номера студенческого билета (шифра), обозначающих год поступления в университет. Остаток от деления и есть номер вашего варианта. Если остаток равен нулю, то номер вашего варианта равен 25. Например, если шифр студента равен 23602, тогда остаток от деления 236 на 25 будет равен 11 и, следовательно, решать нужно вариант №11; если шифр студента равен 57501, тогда остаток от деления 575 на 25 будет равен 0 и, следовательно, решать нужно вариант №25.
При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:
1. В начале работы разборчиво написать свою фамилию, инициалы, шифр, номер и вариант контрольной работы и дату отсылки ее в университет.
2. Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради (или на белой бумаге формата А 4), авторучкой или распечатанной на принтере с полями не менее 3 см для замечаний рецензента.
3. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в контрольных работах. В начале каждого решения записывать условие задачи (без сокращений).
4. Решения задач и объяснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без сокращения слов. Обязательно, если требуется, выполнять чертежи с пояснениями и нарисованными аккуратно.
Контрольные работы, выполненные с нарушением изложенных правил или не своего варианта, не засчитываются и возвращаются без проверки.
Получив прорецензированную работу, студент обязан исправить в ней отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, ее необходимо в короткий срок либо выполнить заново (целиком), либо решить заново задачи, указанные рецензентом. Исправленную работу следует посылать в университет вместе с незачтенной. Зачтенные контрольные работы предъявляются преподавателю при защите перед зачетом или экзаменом.
Программа курса «Высшая математика»
РАЗДЕЛ 1. Дифференциальные уравнения
1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Частное и общее решение (интеграл) дифференциального уравнения. Теорема Коши. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения первого порядка, сводящиеся к однородным.
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод подстановки (метод Бернулли). Метод вариации постоянной (метод Лагранжа).
5. Дифференциальные уравнения первого порядка, сводящиеся к линейным. Уравнение Бернулли.
6. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, сводящиеся к уравнениям в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
7. Какое решение ДУ-I называется особым? Как оно может быть связано с общим решением. Огибающая семейства интегральных кривых. Почему огибающая семейства интегральных кривых ДУ-I всегда является решением, притом особым? Может ли дифференциальное уравнение y' = f (x,y) иметь решения, которые не являются ни частными, ни особыми?
8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Особенности решений дифференциальных уравнений высших порядков по-сравнению с первым. Задача Коши и краевая задача.
9. Уравнения, допускающие понижение порядка. Уравнения вида 
. Уравнения вида 
.
10. Однородные линейные дифференциальные уравнения. Свойства решений таких уравнений. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
11. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
12. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Свойства решений таких уравнений. Структура общего решения неоднородных уравнений.
13. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов.
14. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных (метод Лагранжа).
РАЗДЕЛ 2. Ряды
2.1 Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.
2.2 Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости.
2.3 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
2.4 Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
2.5 Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование.
2.6 Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Приложение рядов.
2.7 Ряды Фурье. Периодические величины и гармонический анализ. Ортогональность системы тригонометрических функций. Сходимость ряда Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье с произвольным периодом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Высшая математика для экономистов. Учебник для вузов /Под ред. Н.Ш. Кремера.–М: ЮНИТИ–М.,1998.
2. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т.: Учеб. пособие. Мн: ТетраСистемс, 1998.
3. Шипачев В.С. Высшая математика. М: Высш. шк., 2003.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражениях и задачах. Ч.1,2. М: Высш. шк., 2003.
5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2-х т. М: Айрис-пресс, 2002.
6. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. СПб.: Лань, 2001.
7. Красс М.С., Чупринов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Дело, 2001.
8. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М.:ЮНИТИ–М, 1999.
9. Общий курс высшей математики. Учебник /Под ред. В.И. Ермакова.–М: ИНФРА–М,1999.
10. Солодовников А.С., Байбацев В.А. Математика в экономике. В 2-х ч. М.: Финансы и статистика,2000.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
СЕМЕСТР 3
Вариант 1
1. Найти общее решение уравнения:
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
2. Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
а) 
| б)  .
|
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
а) 
| б)  .
|
4. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
| y (0) = 1, y¢ (0) = –1. |
5. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
а)  ,
| б) 
| в) 
| |
г) 
| д) 
| ||
6. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:
.
7. Разложите данную функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
8. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cos x, sin x, e x, ln(1+ x), (1+ x) m, arctg x:
а)  ,
| б)  .
|
Вариант 2
1. Найти общее решение уравнения:
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
2. Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
а) 
| б)  .
|
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
а) 
| б)  .
|
4. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
| y (0) = 3, y¢ (0) = –5. |
5. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
а)  ,
| б) 
| в) 
| |
г) 
| д) 
| ||
6. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:
.
7. Разложите данную функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
8. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cos x, sin x, e x, ln(1+ x), (1+ x) m, arctg x:
а)  ,
| б)  .
|
Вариант 3
1. Найти общее решение уравнения:
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
2. Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
а) 
| б)  .
|
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
а) 
| б)  .
|
4. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
| y (0) = 1, y¢ (0) = 1. |
5. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
а)  ,
| б) 
| в) 
| |
г) 
| д)
| ||
6. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:
.
7. Разложите данную функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
8. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cos x, sin x, e x, ln(1+ x), (1+ x) m, arctg x:
а)  ,
| б)  .
|
Вариант 4
1. Найти общее решение уравнения:
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
2. Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
а) 
| б)  .
|
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
а) 
| б)  .
|
4. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
| y (p) = 1, y¢ (p) = 1. |
5. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
а)  ,
| б) 
| в) 
| |
г) 
| д) 
| ||
6. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:
.
7. Разложите данную функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
8. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cos x, sin x, e x, ln(1+ x), (1+ x) m, arctg x:
а)  ,
| б)  .
|
Вариант 5
1. Найти общее решение уравнения:
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
2. Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
а) 
| б)  .
|
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
а) 
| б)  .
|
4. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
| y (0) = 3, y¢ (0) = 9. |
5. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
а)  ,
| б) 
| в) 
| |
г) 
| д) 
| ||
6. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:
.
7. Разложите данную функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
8. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cos x, sin x, e x, ln(1+ x), (1+ x) m, arctg x:
а)  ,
| б)  .
|
Вариант 6
1. Найти общее решение уравнения:
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
2. Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
а) 
| б)  .
|
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
а) 
| б)  .
|
4. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
| y (0) = 0, y¢ (0) = 1. |
5. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
а)  ,
| б) 
| в) 
| |
г)  ,
| д) 
| ||
6. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:
.
7. Разложите данную функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
8. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cos x, sin x, e x, ln(1+ x), (1+ x) m, arctg x:
а)  ,
| б)  .
|
Вариант 7
1. Найти общее решение уравнения:
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
2. Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
а) 
| б)  .
|
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
а) 
| б)  .
|
4. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
| y (p/2) = 4, y¢ (p/2) = 1. |
1. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
а)  ,
| б) 
| в) 
| |
г) 
| д) 
| ||
2. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:
.
3. Разложите данную функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
4. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cos x, sin x, e x, ln(1+ x), (1+ x) m, arctg x:
а)  ,
| б)  .
|
Вариант 8
1. Найти общее решение уравнения:
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
2. Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
а) 
| б)  .
|
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
а) 
| б)  .
|
4. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
| y (0) = 0, y¢ (0) = 1. |
5. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
а)  ,
| б) 
| в) 
| |
г) 
| д) 
| ||
6. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:
.
7. Разложите данную функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
8. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cos x, sin x, e x, ln(1+ x), (1+ x) m, arctg x:
а)  ,
| б)  .
|
Вариант 9
1. Найти общее решение уравнения:
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
2. Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
а) 
| б)  .
|
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
а) 
| б)  .
|
4. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
| y (0) = 6, y¢ (0) = 3. |
5. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
а)  ,
| б) 
| в) 
| |
г) 
| д) 
| ||
6. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:
.
7. Разложите данную функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
8. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cos x, sin x, e x, ln(1+ x), (1+ x) m, arctg x:
а)  ,
| б)  .
|
Вариант 10
1. Найти общее решение уравнения:
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
2. Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
| а)
| б) .
|
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
а) 
| б)  .
|
4. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
| y (0) = 1, y¢ (0) = –9. |
5. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
а)  ,
| б) 
| в) 
| |
г) 
| д) 
| ||
3. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:
.
4. Разложите данную функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
5. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cos x, sin x, e x, ln(1+ x), (1+ x) m, arctg x:
а)  ,
| б)  .
|
Вариант 11
1. Найти общее решение уравнения:
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
2. Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
а) 
| б)  .
|
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
а) 
| б)  .
|
4. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
| y (0) = 0, y¢ (0) = 0. |
5. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
а)  ,
| б) 
| в)
| |
г) 
| д) 
| ||
6. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:
.
7. Разложите данную функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
8. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cos x, sin x, e x, ln(1+ x), (1+ x) m, arctg x:
а)  ,
| б)  .
|
Вариант 12
1. Найти общее решение уравнения:
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
2. Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
а) 
| б)  .
|
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
а) 
| б)  .
|
4. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
| y (0) = 0, y¢ (0) = 3/4. |
5. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
а)  ,
| б) 
| в) 
| |
г) 
| д) 
| ||
6. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:
.
7. Разложите данную функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
8. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cos x, sin x, e x, ln(1+ x), (1+ x) m, arctg x:
а)  ,
| б)  .
|
Вариант 13
1. Найти общее решение уравнения:
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
2. Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
а) 
| б)  .
|
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
а) 
| б)  .
|
4. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
| y (0) = –1, y¢ (0) = 1. |
5. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):
а)  ,
| б) 
| в) 
| |
г) 
| д) 
| ||
6. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:
.
7. Разложите данную функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 (выпишете первых три ненулевых члена ряда):
.
8. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cos x, sin x, e x, ln(1+ x), (1+ x) m, arctg x:
а)  ,
| б)  .
|
Вариант 14
1. Найти общее решение уравнения:
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
2. Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
а) 
| б) .
|
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
а) 
| б)  .
|
4. Найти частное решение линейного диффере