В начале 70-х Франциско Варела понял, что пошаговые последовательности клеточных автоматов идеальны для компьютерного моделирования и обеспечивают его мощным инструментом имитации автопоэзных сетей. И в 1974 году, совместно с Матураной и ученым-компьютерщиком Рикардо Урибе, Вареле удалось разработать требуемый компьютерный имитатор10. Их клеточный автомат состоит из решетки, в плоскости которой беспорядочно передвигаются «катализатор» и два типа элементов. Они взаимодействуют друг с другом таким образом, что в результате могут образоваться новые элементы обоих видов; одни могут исчезать, а другие связываются друг с другом, образуя цепи.
В компьютерных распечатках решетки «катализатор» помечается звездочкой (*). Элемент первого типа, присутствующий в больших количествах, называется «субстратом» и помечается кружком (о); элемент второго типа называется «звеном» и помечается кружком внутри квадрата ([0]). Существует три различных типа взаимодействий и преобразований: два субстрата могуn объединиться в присутствии катализатора, образуя звено; несколько звеньев могут «сцепиться», образуя цепь; любое звено, как свободное, так и входящее в цепь, может распасться снова на два субстрата. В результате некоторого количества преобразований цепь может замкнуться сама на себя.
Эти три типа взаимодействия символически изображаются так:
Точные математические предписания (так называемые «алгоритмы»), касающиеся того, когда и как происходят эти процессы, достаточно сложны. Они состоят из многочисленных правил передвижения различных элементов и их взаимодействий". Правила передвижения, например, включают следующие пункты:
• Субстратам разрешено перемещаться только в незанятые участки
(«дырки») решетки; в то же время катализаторам и звеньям разрешено вытеснять субстраты, перемещая их в соседние дырки. Катализатор, кроме того, может вытеснять свободные звенья.
• Катализатор и звенья могут также меняться местами с субстратами и, таким образом, свободно проходить сквозь их массивы.
• Субстраты — но не катализатор и не свободные звенья — могут пройти сквозь цепь и занять дырку, расположенную за ней (это имитирует полупроницаемые мембраны клеток).
• Звенья, связанные в цепь, не могут передвигаться никак.
В рамках этих правил фактическое движение элементов и многочисленные подробности их взаимодействия — создание, сцепление и распад — выбираются случайным образом12. Когда запущена имитация на компьютере, генерируется сеть взаимодействий, включающая множество ситуаций случайного выбора, а следовательно, порождающая в свою очередь самые различные последовательности. Авторам удалось показать, что некоторые из этих последовательностей приводят к устойчивым автопоэзным паттернам.
Пример такой последовательности взят из их статьи и воспроизведен, в виде семи стадий, на рис. 9-1. В начальном состоянии (стадия 1) одна позиция решетки занята катализатором, а все другие — субстратами. На стадии 2 уже создано несколько звеньев, и, соответственно, теперь в решетке есть несколько дырок. На стадии 3 создано еще больше звеньев и некоторые из них образовали цепи. На стадиях 4-6 производство звеньев и формирование цепей продолжается, и на стадии 7 мы видим, что цепь связанных звеньев замкнулась на себя, охватив катализатор, три звена и два субстрата. Таким образом, цепь сформировала оболочку, проницаемую для субстрата, но не для катализатора. Как только случается такая ситуация, замкнутая цепь может стабилизироваться и превратиться в границу автопоэзной сети. Так случилось и в этой конкретной последовательности. Последующие стадии имитации на компьютере показали, что время от времени некоторые звенья границы могут случайно распадаться, но рано или поздно они заменяются новыми звеньями, созданными внутри оболочки в присутствии катализатора.
Рис. 9-1. Компьютерная имитация автопоэзной сети
В ходе длительной имитации цепь и дальше служила оболочкой для катализатора, тогда как звенья продолжали распадаться и заменяться другими. Таким образом, мембраноподобная цепь превратилась в границу сети преобразований, принимая при этом участие в деятельности этой же сети. Другими словами, была смоделирована автопоэзная сеть.
Будет ли последовательность такой имитации генерировать автопоэзный паттерн или не будет, в значительной мере зависит от вероятности распада, т. е. от того, насколько часто распадаются звенья. Поскольку тонкое равновесие между распадом и «починкой» основано на случайном движении субстратов сквозь мембрану, случайном создании новых звеньев и случайном перемещении этих звеньев к месту починки, мембрана будет оставаться стабильной только в том случае, если все эти процессы с большой вероятностью завершаются раньше, чем происходит следующий распад. Авторы показали, что при очень маленькой вероятности распада жизнеспособные автопоэзные паттерны действительно могут быть получены13.
Двоичные сети
Клеточный автомат, разработанный Варелой и его коллегами, стал одним из первых примеров того, как можно моделировать самоорганизующиеся сети живых систем. За последние двадцать лет было изучено множество других имитаций; показано, что эти математические модели способны спонтанно генерировать сложные высокоупорядоченные паттерны, в которых проявляются некоторые важные принципы порядка, наблюдаемые в живых системах.
Эти исследования получили новый толчок, когда стало ясно, что недавно разработанные элементы теории динамических систем — аттракторы, фазовые портреты, схемы бифуркации и т. п. — могут быть использованы в качестве эффективных инструментов для анализа моделей математических сетей. Взяв на вооружение эти новые методы, ученые снова обратились к двоичным сетям, разработанным в 40-е годы, и обнаружили, что, хотя это не автопоэзные сети, их анализ приводит к удивительным открытиям в области сетевых паттернов живых систем. Значительную часть этой работы выполнил биолог-эволюционист Стюарт Кауффман совместно с коллегами в институте Санта-Фе, Нью-Мехико14.
Поскольку изучение сложных систем с помощью аттракторов и фазовых портретов во многом связано с развитием теории хаоса, перед Кауффманом и его коллегами встал естественный вопрос: какова роль хаоса в живых системах? Мы и теперь еще далеки от полного ответа на этот вопрос, однако работа Кауффмана привела к нескольким интереснейшим идеям. Чтобы понять их, нам придется более пристально рассмотреть двоичные сети.
Двоичная сеть состоит из узлов, или переключателей, каждый из которых может находиться в одном из двух состояний, обычно обозначаемых ВКЛ и ВЫКЛ. То есть эта сеть более ограничена в возможностях, чем клеточный автомат, клетки которого могут находиться больше чем в двух состояниях. С другой стороны, узлы двоичной сети не обязательно образуют регулярную решетку, но могут быть соединены между собой более сложными способами.
Двоичные сети называют также «булевыми сетями», по имени английского математика Джорджа Буля, который использовал двоичные («да-нет») операции в середине XIX века для разработки символической логики, известной теперь как булева алгебра. На рис. 9-2 показана простая двоичная, или булева, сеть с шестью переключателями, каждый из которых подключен к трем соседним, причем два переключателя находятся в состоянии ВКЛ (черный цвет), а четыре — ВЫКЛ (белый цвет).
Рис. 9-2. Простая двоичная сеть
Как и в случае клеточного автомата, паттерн переключателей ВКЛ-ВЫКЛ в двоичной сети меняется дискретным образом. Переключатели соединены между собой так, что состояние каждого переключателя определяется предыдущими состояниями соседних переключателей в соответствии с некоторыми «правилами переключения». Например, для сети, изображенной на рис. 9-2, мы можем выбрать следующее правило: переключатель перейдет в состояние ВКЛ на следующем шаге, если по меньшей мере двое из его соседей на этом шаге будут находиться в состоянии ВКЛ; во всех других случаях А остается в состоянии ВЫКЛ.
На рис. 9-3 показаны три последовательности, образовавшиеся по этому правилу. Мы видим, что последовательность А достигает стабильного паттерна, в котором все переключатели находятся в состоянии ВКЛ, через два шага; последовательность В после первого шага колеблется между двумя дополняющими друг друга паттернами; паттерн же С стабилен с самого начала, воспроизводя себя в каждом шаге. Чтобы проанализировать подобные последовательности математически, каждый паттерн, или состояние, сети определяют шестью двоичными (ВКЛ-ВЫКЛ) переменными, т. е. всего двенадцатью переменными. В результате каждого шага система переходит из определенного состояния в определенное последующее состояние, в полном соответствии с правилом переключения.
Рис. 9-3. Три последовательности состояний в двоичной сети
Как и в системах, описываемых дифференциальными уравнениями, каждое состояние изображается точкой в 12-мерном фазовом пространстве15. По мере того как, шаг за шагом, сеть переходит из одного состояния в другое, последовательность состояний вычерчивает траекторию в этом фазовом пространстве. Для классификации траекторий различных последовательностей применяется концепция аттракторов. Так, в нашем примере, последовательность А, которая движется к стабильному состоянию, связана с точечным аттрактором, тогда как колеблющееся состояние В соответствует периодическому аттрактору.
Кауффман и его коллеги использовали эти двоичные сети для моделирования чрезвычайно сложных систем — химических и биологических сетей с тысячами связанных между собой переменных; такие системы совершенно невозможно описать дифференциальными уравнениями16. Как и в нашем простом примере, последовательность состояний этих сложных систем изображается траекторией в фазовом пространстве. Поскольку число возможных состояний в любой двоичной сети конечно (хотя оно может быть чрезвычайно большим), система должна рано или поздно прийти в то состояние, которое уже встречалось. Когда это произойдет, то следующим шагом система перейдет в то же самое состояние, в которое она переходила и прежде, — поскольку ее поведение полностью детерминировано. Она последовательно повторит тот же цикл состояний. Подобные циклы состояний представляют собой периодические (или циклические) аттракторы двоичной сети. Любая двоичная сеть имеет по крайней мере один аттрактор, но может иметь и больше. Предоставленная самой себе, система в конечном счете закрепится при одном из своих аттракторов и будет в нем оставаться.
Периодические аттракторы, вокруг каждого из которых существует своя область притяжения, — наиболее важные математические характеристики двоичных сетей. Обширные исследования показали, что многие живые системы — включая генетические сети, иммунные системы, нейронные сети, системы органов и экосистемы — могут быть представлены в виде двоичной сети, обладающей несколькими альтернативными аттракторами17.
Различные циклы состояний в двоичной сети могут значительно различаться по длине. В некоторых сетях они бывают исключительно длинными, и длина эта возрастает по экспоненте с ростом числа переключателей. Кауффман определил аттракторы этих исключительно длинных циклов, насчитывающих миллиарды и миллиарды различных состояний, как «хаотические», поскольку их длина практически бесконечна.
Тщательный анализ аттракторов больших двоичных сетей подтвердил то, что кибернетики обнаружили еще в 40-е годы. Некоторые сети хаотичны, поскольку генерируют кажущиеся случайными последовательности и бесконечно длинные аттракторы; другие же генерируют совсем простые аттракторы, соответствующие паттернам высокого порядка.
Таким образом, изучение двоичных сетей дает еще одно представление о феномене самоорганизации. Сети, координирующие совместную деятельность тысяч элементов, могут проявлять высокоупорядоченную динамику.
У границы хаоса
Чтобы установить точную взаимосвязь между порядком и хаосом в этих моделях, Кауффман проверил множество сложных двоичных сетей и разнообразных правил переключения, включая сети, в которых число «входов», или звеньев, различно для разных переключателей. Он обнаружил, что поведение этих сложных паутин можно подытожить, учитывая два параметра: N — число переключателей в сети; К — среднее число входов на каждом переключателе. Для значений К больше 2, то есть в случае множественных взаимосвязей в сети, поведение последней хаотично, но по мере того, как К уменьшается и приближается к 2, устанавливается порядок. Порядок может возникнуть и при более высоких значениях К, если правила переключения «смещены» — например, если ВКЛ преобладает над ВЫКЛ.
Подробные исследования перехода от хаоса к порядку показали, что по мере того, как К приближается к 2, двоичные цепи развивают «замороженное ядро» элементов. Это те звенья, которые остаются в одной и той же позиции, ВКЛ или ВЫКЛ, пока система проходит весь цикл состояний. При еще большем приближении К к 2, замороженное ядро создает «стены постоянства», которые вырастают по всей системе, разделяя сеть на отдельные островки меняющихся элементов. Эти островки функционально изолированы. Изменения в поведении одного острова не могут быть переданы сквозь замороженное ядро на другие острова. Если значение К продолжает падать, острова тоже замерзают; периодический аттрактор превращается в точечный, и вся сеть достигает устойчивого, замороженного паттерна.
Таким образом, сложным двоичным цепям свойственны три общих режима поведения: упорядоченный режим с замороженными компонентами, хаотический режим без замороженных компонентов и пограничный режим между порядком и хаосом, где замороженные компоненты лишь начинают «таять». Центральная гипотеза Кауффмана заключается в том, что живые системы существуют в этой пограничной области, у края хаоса. Он поясняет, что глубоко в упорядоченном режиме островки деятельности были бы слишком маленькими и изолированными, чтобы сложное поведение могло распространяться по всей системе. Глубоко в хаотическом режиме, с другой стороны, система была бы слишком чувствительна к мельчайшим возмущениям, чтобы поддерживать свою организацию. Таким образом, роль естественного отбора может заключаться в том, чтобы поддерживать живые системы, организованные «на краю хаоса», — потому что здесь они лучше координируют сложное и гибкое поведение, лучше приспосабливаются и развиваются.
Чтобы проверить эту гипотезу, Кауффман применил свою модель к генетическим сетям в живых организмах, и ему удалось вывести из нее несколько удивительных и довольно точных предсказаний18. Великие достижения молекулярной биологии, часто именуемые «разгадкой генетического кода», побуждают нас воспринимать цепочки генов в ДНК как некий биохимический компьютер, выполняющий «генетическую программу». Тем не менее последние исследования с нарастающей убедительностью показывают, что этот путь мышления совершенно ошибочен. Фактически он так же неадекватен, как метафора мозга в виде компьютера, обрабатывающего информацию19. Полный набор генов в организме, так называемый «геном», формирует обширную взаимосвязанную сеть, с множеством петель обратной связи, в которой гены прямо и косвенно регулируют деятельность друг друга. По словам Франциско Варелы, «Геном — это не линейный массив независимых генов (проявляющихся как личные качества организма), но в высшей степени взаимно переплетенная сеть множества взаимных воздействий, передаваемых посредством репрессоров и дерепрессоров, экзонов и интроиов, скачущих генов и даже структурных протеинов»20.
Когда Стюарт Кауффман начал изучать эту сложную генетическую паутину, он заметил, что на каждый ген в сети напрямую воздействует лишь небольшое число других генов. Более того, уже в 60-е годы было известно, что деятельность генов, как и нейронов, может быть смоделирована на языке двоичных значений ВКЛ-ВЫКЛ. Поэтому, размышлял Кауффман, двоичные сети должны быть подходящими моделями для геномов. Так и оказалось.
Действительно, геном моделируется двоичной сетью «на краю хаоса», т. е. сетью с замороженным ядром и изолированными островами «живых», изменяющих свою позицию переключателей. Эта сеть обладает относительно небольшим количеством циклов состояний, представленных в фазовом пространстве отдельными периодическими аттракторами, каждый из которых имеет свою область притяжения. Такая система может подвергаться двум типам возмущений. «Минимальное» возмущение состоит в случайном кратковременном переходе двоичного элемента в противоположное состояние. Оказывается, что каждый цикл состояний модели замечательным образом устойчив к таким минимальным возмущениям. Изменения, вызванные возмущением, не выходят за пределы данного островка деятельности. Другими словами, модель проявляет способность к гомеостазу — свойство, присущее всем живым системам.
Другой тип возмущения представляет собой долговременное структурное изменение в сети — например, изменение в паттерне связей или в правилах переключения, — что соответствует мутации в генетической системе. Большинство таких структурных возмущений лишь слегка изменяют поведение сети «на краю хаоса». Некоторые из них, однако, могут сместить траекторию сети в другую сферу притяжения, что приведет к новому циклу состояний и в результате к новому повторяющемуся паттерну поведения. Кауффман видит в этом правдоподобную модель эволюционного приспособления:
Сети на границе между порядком и хаосом могут обладать гибкостью быстрой и удачной адаптации через накопление полезных вариантов. В такого рода уравновешенных системах большинство мутаций заканчиваются незначительными последствиями благодаря гомеостатической природе системы. Некоторые мутации, тем не менее, могут вызвать обширные каскады перемен. Поэтому уравновешенные системы, как правило, приспосабливаются к окружающей среде постепенно, однако в некоторых случаях, когда это необходимо, они изменяются быстро21.
Еще один ряд впечатляющих особенностей модели Кауффмана касается феномена дифференциации клеток в ходе развития живых организмов. Хорошо известно, что все типы клеток в организме, несмотря на их весьма различные формы и функции, содержат примерно одни и те же генетические инструкции. Считаясь с этим неопровержимым фактом, биологи, занимающиеся проблемами развития, пришли к выводу, что типы клеток различаются не потому, что содержат различные гены, но потому, что в них различны активные гены. Другими словами, структура генетической сети одинакова во всех клетках, однако паттерны генетической деятельности различаются; а поскольку различные паттерны генетической деятельности отвечают различным циклам состояний двоичной сети, Кауффман предположил, что разные типы клеток могут соответствовать разным циклам состояний и, соответственно, разным аттракторам.
Эта «аттракторная» модель дифференциации клеток приводит к нескольким интересным предсказаниям22. Каждая клетка человеческого тела содержит около 100 000 генов. В двоичной сети такого размера возможности различных паттернов выражения генов описываются астрономическими цифрами. Тем не менее число аттракторов в такой сети на пороге хаоса примерно равно квадратному корню из числа ее элементов. j Поэтому сеть из 100 000 генов должна выражать себя примерно в 317 ' типах клеток. Это число, выведенное из самых общих положений модели Кауффмана, замечательно приближается к 254 различным типам клеток, обнаруженных в человеческом организме.
Кауффман проверил свою аттракторную модель также по числу типов клеток у различных других биологических видов; оказалось, что и эти числа связаны с количеством генов. На рис. 9-4 показаны результаты для нескольких видов23. Очевидно, что количество типов клеток и количество аттракторов соответствующих двоичных цепей возрастает, более или менее параллельно, с увеличением числа генов.
Еще два предсказания аттракторной модели Кауффмана касаются стабильности типов клеток. Поскольку замороженное ядро двоичных сетей идентично для всех аттракторов, все клетки организма должны выражать почти один и тот же набор генов и должны различаться по выраженности в небольшом проценте генов. Оказывается, что это действительно так — у всех живых организмов.
Аттракторная модель предполагает также, что в процессе развития создаются новые типы клеток — через смещение системы из одной области притяжения в другую. Поскольку у каждой области притяжения есть лишь несколько соседних областей, видоизменение клетки любого типа должно совершаться как переход к немногим непосредственно соседним типам, от них — к следующим соседям и так далее, пока не будет создан полный набор типов клеток. Другими словами, видоизменение Клеток должно происходить в виде последовательно ветвящихся траекторий. Всем биологам известно, что в течение почти 600 миллионов лет дифференциация клеток в многоклеточных организмах происходила именно по этому паттерну.