Пример выполнения РГР №5




Исходные данные:

Гц; км; Ом/км; Ф/км;

Гн/км; См/км; В;

Ом.

Решение.

1. Рассчитать комплексы напряжения и тока в начале линии, записать их мгновенные значения, найти полную и активную мощности в начале и конце линии, а также КПД линии.

Угловая частота входного напряжения:

1/с.

Комплексное продольное сопротивление линии на единицу длины:

Ом/км;

Комплексная продольная проводимость линии на единицу длины:

Волновое сопротивление и коэффициент распространения линии:

Ом;

Коэффициенты затухания и фазы:

1/к м; 1/к м.

Фазовая скорость и длина волны:

км/с;

км.

Комплекс тока в конце линии:

А.

Гиперболические функции комплексного аргумента:

где Нп; рад.

Проверим результат в MathCad:

Комплексы напряжения и тока в начале линии:

Мгновенные значения напряжения и тока в начале линии:

.

Комплексные мощности в начале и конце линии:

КПД линии:

2. Выбрать такое сопротивление нагрузки, чтобы линия стала согласованной с нагрузкой. Подсчитать те же величины, что и в п.1, при заданном напряжении на зажимах приемника. Начальную фазу этого напряжения принять равной нулю. Построить зависимость действующего значения напряжения в начале линии в функции длины линии.

При согласованной нагрузке сопротивление приемника равно волновому сопротивлению линии:

Ом.

Ток в конце лини при согласованной нагрузке и напряжении в конце линии В:

А.

В этом случае отраженная волна отсутствует, и формулы для величин в начале линии упрощаются:

В;

А.

Построим в MathCad зависимость действующего значения напряжения в начале линии в функции длины линии:

2. Построить графики зависимостей модуля волнового сопротивления, коэффициента затухания и фазовой скорости от частоты. Подсчитать значение индуктивности линии на единицу длины, необходимую для получения линии без искажений. Построить графики зависимостей модуля волнового сопротивления, коэффициента затухания и фазовой скорости от частоты для линии без искажений.

Построения выполним в MathCad:

Для того, чтобы линия была неискажающей, ее первичные параметры должны удовлетворять условию

.

Отсюда получаем необходимое значение индуктивности на единицу длины:

Гн / км.

Теперь найдем добавочную индуктивность, которую нужно включить через каждый километр линии:

Гн / км.

3. Полагая, что линия стала линией без потерь, а нагрузка в конце линии стала активной и равной модулю комплексной нагрузки в п.1, определить комплексы напряжения и тока в начале линии, а также длину электромагнитной волны.

Исходные данные:

Гц; км; ; Ф/км;

Гн/км; ; В; Ом.

Волновое сопротивление и коэффициент фазы:

Ом;

Фазовая скорость и длина волны:

км/с;

км.

Комплекс тока в конце линии:

А.

Комплексы напряжения и тока в начале линии при

4. Для линии без потерь п.4 построить график распределения действующего значения напряжения вдоль линии в функции расстояния от начала линии.

Пусть сопротивление нагрузки больше волнового сопротивления. Тогда зависимость U(x) будет иметь иной вид:

 

РГР №6. Постоянные электрические и магнитные поля

Задача 1

Дан плоский конденсатор (рис. 6.1), расстояние между обкладками которого d. Относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика ε r. Между обкладками распределен объемный заряд, абсолютное значение объемной плотности которого r. В четных вариантах знак объемного заряда отрицательный, в нечетных - положительный. Левая обкладка заземлена, на правую подан потенциал 220 В. Требуется построить график распределения потенциала и напряженности поля в диэлектрике конденсатора в зависимости от координаты x при условиях, приведенных в таблице 6.1. Исходные данные выбираются по шифру. Шифр студента – это три последние цифры номера зачетной книжки.

Таблица 6.1.

Методические указания.

Обкладки конденсатора являются достаточно длинными плоскостями (рис. 1), а его электрическое поле – плоско-параллельным. Так как внутри диэлектрика имеется электрический заряд, то поле описывается уравнением Пуассона:

. (6.1)

Форма записи уравнений с помощью символического оператора Δ называется канонической. Для получения уравнений через пространственные производные необходимо для конкретной задачи выбрать систему пространственных координат. В данном случае для описания поля нужно использовать прямоугольную декартову систему координат. В этой системе уравнение Пуассона записывается в виде

. (6.2)

Рис. 6.1. Поле плоского конденсатора

Анализ поля показывает, что его потенциал зависит только от координаты x. Поэтому уравнение Пуассона в частных производных переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение:

. (6.3)

Дифференцируя уравнение дважды, получим:

. (6.4)

и

. (6.5)

Общее решение дифференциального уравнения содержит две постоянных интегрирования C1 и C2, которые определяются из граничных условий. Так как левая обкладка заземлена, то потенциал равен нулю при x = 0. Подстановка этого условия в (6.5) дает значение постоянной интегрирования C2 = 0. Потенциал правой обкладки равен напряжению источника, т.е. при x = d потенциал φ = U. Подстановка второго условия в (6.5) позволяет найти выражение для первой постоянной интегрирования:

. (6.6)

Итак, зависимость электрического потенциала в пространстве между обкладками конденсатора от расстояния до левой пластины представляется формулой:

. (6.7)

Напряженность электрического поля связана с изменением потенциала соотношением

или . (6.8)

Градиентом скалярной функции φ(x,y,z) называется вектор, имеющий в декартовой системе координат следующие составляющие:

. (6.9)

В данной задаче потенциал зависит только от координаты x, поэтому модуль напряженности равен скорости изменения потенциала вдоль этой координаты, взятой со знаком минус:

. (6.10)

Применение этой формулы к (6.7) приводит к зависимости

. (6.11)

Электрический потенциал на интервале 0 – d может равняться нулю. Для исследования гладкой функции (потенциал скачком измениться не может, поэтому является гладкой функцией пространственных координат) на экстремум нужно ее первую производную приравнять нулю. Но так как напряженность поля равна первой производной потенциала (знак в этом случае роли не играет), то для нахождения точки экстремума потенциала нужно приравнять нулю напряженность электрического поля:

.

Следовательно, абсцисса точки, в которой потенциал принимает минимальное или максимальное значение, определяется выражением:

.

Экстремальное значение потенциала:

.

Если xm > d, то потенциал внутри конденсатора экстремума не имеет.

Рассмотрим два примера, исследуя влияние знака заряда в диэлектрике конденсатора на законы распределения потенциала и напряженности. Единицы измерения всех исходных величин взяты в системе СИ, поэтому единицы не указываются.

Пример 1.

Исходные данные: ; ;

Решение. Подставим данные в выражения для потенциала и напряженности и найдем точку экстремума и экстремальное значение потенциала:

;

;

;

;

; .

Строим график потенциала и график напряженности

Первая производная потенциала на интервале до точки минимума отрицательна, поэтому напряженность положительна. Пользуясь графиком потенциала, можно провести ряд линий равного потенциала в диэлектрике конденсатора через равные значения приращения потенциала. Точка, в которой потенциал равен нулю:

Пример 2.

Исходные данные: ; ;

Решение. Подставим данные в выражения для потенциала и напряженности и найдем точку экстремума и экстремальное значение потенциала:

;

; ;

;

; .

 

 

 

При отсутствии объемного заряда в диэлектрике задача решается с помощью теоремы Лапласа (см. пример 3):

. (6.12)

Пример 3. Электрическое поле создается между двумя весьма длинными металлическими коаксиальными тонкостенными цилиндрами. Потенциал внешнего цилиндра φ2 = 600 В. Потенциал внутреннего цилиндра равен нулю: φ1 = 0. Радиусы цилиндров R1 = 4 см и R2 = 6 см. Относительная диэлектрическая проницаемость среды εr = 1. Найти выражение потенциала и напряженности электрического поля между цилиндрами.

Решение. В данной задаче нужно применить цилиндрическую систему координат, в которой

.

Поле между цилиндрами обладает осевой симметрией, эквипотенциальными поверхностями служат коаксиальные цилиндрические поверхности, поэтому потенциал точек поля является функцией только координаты r, а теорема Лапласа принимает вид:

.

Двойное интегрирование уравнения приводит к результату:

, и

Найдем постоянные интегрирования. При r = R 1 потенциал φ = 0, или

При r = R 1 потенциал φ = φ1, т.е.

Вычитая из второго уравнения первое, получим:

,

откуда

В и В.

Следовательно

Напряженность электрического поля определяется с помощью выражения

.

В цилиндрической системе координат, при осевой симметрии поля, получим:

.

Задача 2

Дана двухпроводная линия. Высота одного провода над землею h 1, другого h 2. Расстояние D между проекциями проводов на поверхности земли. Радиус сечения проводов R 0 =1 см. Длина линии l = 100 м.

Рис. 6.2. Двухпроводная линия с линейной плотностью зарядов τ1 и τ2

Требуется:

1. Определить емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли и сравнить полученный результат с данными расчета емкости, в котором земля не учитывается.

2. Определить потенциалы каждого из проводов, если напряжение между проводами U12 = 110 кВ.

3. Определить потенциал второго провода, если заряд на нем равен нулю, а потенциал первого провода j1 = 110 кВ.

4. Определить закон распределения индуцированного заряда по поверхности земли; напряжение между проводами U12 = 110 кВ.

Методические указания.

1. Для определения емкости двухпроводной линии с учетом влияния земли используется первая группа формул Максвелла, в которой потенциалы проводов выражены через их линейные плотности зарядов:

;

.

Коэффициенты при зарядах называются потенциальными коэффициентами и определяются для двух проводов по формулам:

; ;

.

Если провода расположены на одном уровне, то h 1 = h 2, поэтому

.

При расположении проводов друг под другом (D = 0) при h 1 > h 2 получаем формулу

.

При определении емкости заряды проводов считаются одинаковыми по величине и противоположными по знаку, т.е. и . Это условие приводит к уравнениям:

;

.

Вычитая из первого уравнения второе, получим разность потенциалов между проводами, т. е. напряжение между ними:

.

Отсюда получаем формулу для емкости на единицу длины:

.

Емкость линии длиной l: .

2. Для определения потенциалов каждого из проводов при заданном напряжении между проводами U12 нужно воспользоваться уравнениями первой группы, в которых линейную плотность заряда записать в виде . В результате получим выражения:

3. При выполнении 3-го пункта нужно учесть, что чтобы разрядить второй провод, его нужно было соединить с землей, а чтобы на нем появился потенциал, его нужно опять отсоединить от земли. В этом случае, при τ2 = 0, уравнения для потенциалов принимают вид

.

Совместное решение этих уравнений дает возможность найти потенциал второго провода при заданном потенциале первого по следующей формуле:

.

4. Определение закона распределения индуцированного заряда по поверхности земли при заданном напряжении между проводами.

Согласно условию на границе раздела проводящего тела (в данном случае земли) и диэлектрика (воздуха) модуль вектора электрического смещения численно равен поверхностной плотности индуцированного заряда на границе раздела:

.

Рассмотрим один провод над поверхностью земли вместе с его зеркальным изображением. В этом случае, согласно методу зеркальных изображение происходит полное отражение с переменой знака, а оба провода, реальный и фиктивный, находятся в воздухе (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Поле двух проводов, расположенных в воздухе

Модуль линейной плотности заряда на каждом проводе . На чертеже в точке с абсциссой x показаны векторы напряженности электрического поля от каждого провода и вектор напряженности результирующего поля. Напряженность поля от заряженного провода, расположенного в воздухе, определяется формулой:

.

Напряженность результирующего поля равна удвоенной нормальной составляющей напряженности от одного провода:

.

Поверхностная плотность заряда на поверхности земли:

.

Если над землей протянуты два провода, то зависимость поверхностной плотности заряда принимает вид:

Рис. 6.4. Поле двухпроводной линии в т. А на поверхности земли

; ;

.

Между проводами может находиться точка, в которой напряженность поля, а стало быть, поверхностная плотность заряда равна нулю. Это видно на графике, приведенном ниже, и построенном в MathCad.

Пример в MathCad

Задача 3

По длинному медному цилиндру в направлении оси z протекает постоянный ток I. Радиус цилиндра r 0 = 2 см. Рядом с проводом в плоскости z 0 y находится прямоугольная рамка длиной l = 100 см с числом витков w = 1000. Остальные данные приведены в таблице 6.2.

Требуется:

1. Рассчитать и построить графики зависимостей напряженности магнитного поля, магнитной индукции и векторного магнитного потенциала от радиальной координаты r.

2. Определить взаимную индуктивность рамки и провода двумя способами: с помощью поверхностного интеграла и с помощью линейного интеграла.

Рис. 6.5. Проводник с током и рамка

Таблица 6.2.

Параметры Варианты и исходные данные Цифры шифра
                   
R 1, см                     Последняя
R 2, см                     Предпоследняя
I, кА                     Третья от конца

 

Методические указания.

1. Магнитное поле существует как внутри, так и вне провода. Применение закона полного тока позволяет получить выражения для напряженности магнитного поля в следующем виде:

при ;

при .

Здесь – плотность тока.

Учитывая, что и для меди и воздуха, запишем формулы для магнитной индукции в двух областях:

при ;

при .

Здесь Гн/м – магнитная постоянная.

Выражения для магнитного потенциала получим с помощью соотношения

.

Выберем для задачи цилиндрическую систему координат и запишем в этой системе выражение для ротора векторной функции. При этом учтем, что векторный потенциал совпадает по направлению с плотностью тока в проводнике, т.е. вдоль оси z и зависит только от координаты r. В результате получим:

.

Следовательно

.

Векторный потенциал внутри провода:

.

Векторный потенциал вне провода:

.

Пусть векторный потенциал на поверхности равен нулю:

.

Тогда первая постоянная интегрирования становится равной:

.

Следовательно:

или

.

Потенциал является непрерывной функцией координаты r, поэтому на поверхности провода он скачком измениться не может. Это дает возможность записать следующее выражение при r = r 0:

.

Отсюда получаем:

;

.

2. Для определения взаимной индуктивности рамки и провода нужно найти поток, пронизывающий поверхность рамки, и его потокосцепление. Рассмотрим два способа нахождения потока.

Первый способ. На расстоянии r от оси провода выделяем на рамке полоску длиной l и бесконечной малой площадью ds = ldr. В пределах этой площадки можно считать поле однородным, поэтому элементарный поток сквозь площадку ds можно найти по формуле

.

Рис. 6.6. Магнитное поле проводника с током

Координата r изменяется от R 1 до R 2, поэтому магнитный поток через поверхность рамки определяется таким образом:

.

Используя формулу плотности тока , получим окончательно:

.

Второй способ. Введение магнитного векторного потенциала позволяет находить магнитный поток, пронизывающий некоторую площадку (поверхность) S как циркуляцию векторного потенциала по замкнутому контуру, на который опирается поверхность S:

.

Разобьем периметр рамки, т.е. путь интегрирования abcd, на четыре участка:

Рис. 6.7. Обход рамки по периметру

Тогда интеграл по замкнутому контуру можно представить в виде суммы четырех интегралов:

.

Под знаком каждого интеграла находится скалярное произведение векторов, равное произведению модулей на косинус угла между ними. На участках bc и da угол между векторами и равен нулю, поэтому второй и четвертый интегралы выпадают. На участке cd угол равен 1800, поэтому знак перед интегралом меняется на обратный:

.

Векторные потенциалы A 1 и A 3 – это потенциалы вне проводника при значениях r = R 1 и r = R 2 соответственно, т.е. величины постоянные. С учетом этого получим выражение для магнитного потока взаимной индукции рамки:

.

Потокосцепление взаимной индукции рамки:

.

Взаимная индуктивность M – это коэффициент пропорциональности между потокосцеплением взаимной индукции рамки и током в проводе, который создал внутри и вне провода магнитное поле:

.

Для определения векторного магнитного потенциала можно воспользоваться теоремой Пуассона в цилиндрической системе координат. Для определения постоянных интегрирования нужно использовать граничные условия в магнитном поле.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: