Математическая модель – это упрощенный вариант действительности, используемый для изучения ее ключевых свойств. Чарльз Лейв и Джеймс Марч дают такое определение модели: “Модель – это упрощенная картина реального мира. Она обладает некоторыми, но не всеми свойствами реального мира. Она представляет собой множество взаимосвязанных предположений о мире. Как и любая картина, модель проще тех явлений, которые она по замыслу отображает или объясняет”.
За прошедшее столетие математика стала широко использоваться в социальных науках и ныне применяется фактически во всех разделах политологии – от вопросов заключения контрактов на использование городского гаража до проблемы предотвращения ядерной войны.
Математическую модель можно во многих отношениях уподобить масштабной модели самолета или макету здания. У модели самолета или макета здания нет многих черт их полномасштабных прототипов: они меньше размерами, многие детали в них выполнены весьма неточно, и многие элементы внутреннего устройства настоящего самолета или здания в модели отсутствуют. Но модель, тем не менее, очень полезна для исследователя тем, что она отражает фундаментальные свойства объекта-прототипа. Модель самолета может быть использована при испытаниях в аэродинамической трубе; картонный макет позволяет увидеть структуру здания во всех трех измерениях еще до его постройки. Модели социальных процессов выполняют похожую задачу, выявляя для изучения и экспериментирования ключевые признаки анализируемых процессов.
Первой из социальных наук в математическое моделирование оказалась сильно вовлеченной не политология, а, скорее, экономическая наука. В ней переход от словесных выражений к математическим был облегчен тем, что основной предмет ее интересов – деньги – уже изначально описывался с помощью чисел, и потому переход от счетоводства к математической экономической теории совершился почти без труда. Примерно тогда же и психология позаимствовала некоторые методы из биологии, которая в свою очередь переняла их у математической физики и химии. Таким образом, психология довольно рано стала пользоваться формальными методами для изучения особенностей поведения людей.
Политология шла по следам этих двух научных дисциплин, постепенно разворачиваясь в сторону количественных методик на протяжении 50 – 60-х годов. Это может показаться удивительным, но политические процессы действительно обладают рядом особенностей, поддающихся математической обработке. Многие политические решения содержат в себе значительный экономический компонент. Лучшим примером пересечения процессов принятия политических и экономических решений может служить теория игр. Небезынтересно, что две Нобелевские премии по экономике были присуждены ученым (Кеннету Эрроу и Герберту Саймону), внесшим крупный вклад в развитие политической науки. Деньги – не единственная интересующая политологов переменная, которая может описываться математически. Итоги голосования на выборах также приводятся в виде чисел. Военные приготовления обычно описываются в числовом выражении (число ракет, число танков и т.д.). В опросном исследовании политические мнения выражаются в виде процентных соотношений между различными группами респондентов.
Вообще использование статистики в политологии опирается на математический фундамент. Шаг от просто количественного исследования к математической модели в этой области очень невелик. Наконец, математическое моделирование не ограничивается операциями с количествами, оно может также иметь дело и с качественными характеристиками политического процесса. Некоторые политические процессы – такие, как принятие решений на выборах или распределение голосов избирателей, – могут быть определены полностью в математических терминах.
Математические модели помогают политологам с большей легкостью изучать особенности политических процессов. В нескольких уравнениях математической модели зачастую может быть заключен огромный объем информации. Во многих случаях возможна и компьютерная имитация политического процесса. Используя математические средства, политолог оказывается в состоянии взять на вооружение многие из методов, разработанных в логике, статистике, физике, экономике и других отраслях знаний, и применить их к изучению политического поведения. И наконец, математические модели ясны и эксплицитны по форме и не оставляют недоговоренностей в том, что касается предполагаемых связей между явлениями. На представленной схеме изображен процесс моделирования. Он последовательно проходит следующие этапы:
Первый шаг при построении модели – индуктивный: это отбор наблюдений, относящихся к тому процессу, который предстоит моделировать. Второй шаг заключается в переходе от определения проблемы к собственно построению неформальной модели. Неформальная модель – это набор таких инструментов, которые способны объяснить отобранные нами наблюдения. К примеру, если объектом моделирования является гонка вооружений, то неформальная модель могла бы выглядеть следующим образом: “Гонка вооружений происходит потому, что государства боятся вооружений, имеющихся у других государств; пределы ее ограничены стоимостью вооружений”. Это утверждение сообщает нам нечто о механизмах, движущих гонку вооружений, но для окончательного варианта модели оно недостаточно специфицировано.
Приобретя определенный опыт в моделировании, исследователь обычно переходит от неформальных моделей к поиску среди существующих формальных моделей такой, которая бы наиболее адекватно подходила к его наблюдениям. Формальная модель отличается от неформальной тем, что все допущения в ней сформулированы в математической форме.
Третий шаг – это перевод неформальной модели в математическую модель. Такой перевод включает в себя рассмотрение словесного описания неформальной модели и поиск подходящей математической структуры, способной отобразить те же самые идеи и процессы. Перевод неформальной модели на язык математики – это еще один элемент в моделировании, где важную роль играют личный опыт разработчика и его способность к взвешенным оценкам.
Следующий этап – этап математической обработки формальной модели – является решающим в математическом моделировании. Именно здесь применяется весь арсенал математических методов – логических, алгебраических, геометрических, дифференциальных, вероятностных, компьютерных – для формального вывода нетривиальных следствий из исходных допущений модели. Этот этап представляет собой дедуктивное ядро моделирования, заключающееся в поиске нетривиальных и непредвиденных выводов из правдоподобных допущений.
Полученные выводы проходят через еще один процесс перевода – с языка математики обратно на естественный язык. Этот заключительный перевод может оказаться едва ли не самым трудным этапом в процессе моделирования. К формальному сравнению и уточнению модели можно возвращаться много раз, прежде чем станет возможной эмпирическая проверка, которая выступает в качестве окончательного этапа моделирования, необходимого для установления степени обоснованности модели.
Существует множество причин, в силу которых политологи прибегают к использованию математических моделей. Данный метод имеет как недостатки и преимущества. Моделирование – это процесс упрощения и дедуктивного вывода. Упрощение влечет за собой потерю информации о событии. Дедуктивный вывод зачастую включает в себя сложную математическую обработку, которая затрудняет работу с моделью. Поэтому в отношении моделирования возникает резонный вопрос: а для чего нужны все эти сложности?
Первая причина, побуждающая нас к моделированию политических процессов, политического поведения, состоит в том, что модель помогает формализовать происходящие в обществе события. Большая часть того, что случается в области политики, как правило, не является совсем уж неожиданным. У нас в мозгу имеются своего рода ментальные модели функционирования политических систем.
В качестве примера ментальной модели можно привести следующий. Предположим, что на предстоящих президентских выборах один из кандидатов набирает 95% всех голосов. Очевидно, что это никак не противоречит ни конституции, ни устоявшимся избирательным процедурам. Однако мы будем склонны рассматривать такой факт как крайне маловероятный в силу целого ряда причин.
Во-первых, мы допускаем, что со стороны каждой партии наберется достаточное число избирателей, чтобы свести к минимуму возможность чисто случайного результата голосования. Во-вторых, мы исходим из того, что ни одна партия не станет выставлять столь непопулярного кандидата, чтобы он мог собрать лишь 5% голосов.
В-третьих, мы полагаем, что подсчет голосов производится без подтасовок. Можно было бы перечислять и далее, но суть в том, что относительно политической системы (например, США) у нас имеется целый ряд исходных допущений, в свете которых разбиение голосов на 5 и 95% представляется нам малоправдоподобным. Все подобные допущения упрощают действительность. Мы не знаем, каково точное число избирателей, да нам это и не надо – мы просто знаем, что оно очень велико. Мы не знаем, какие конкретно особенности кандидата делают его приемлемым для одних избирателей и неприемлемым для других, но мы исходим из того, что совсем уж непопулярные кандидаты не будут выдвинуты на голосование. Мало у кого есть личный опыт в деле подсчета голосов, достаточный для того, чтобы знать, честно ли проводятся выборы, но весь опыт прошлого дает основания считать, что фальсификации на выборах места не имеют. Поскольку эти допущения не столь уж часто приводят нас к неверным выводам, мы можем использовать эту модель политической системы для неформального прогнозирования будущего. В действительности те случаи, когда какой-либо кандидат получает 95% голосов, вызывают у населения сильное недоверие, иногда вплоть до требований о расследовании, так что наша модель отчасти определяет также поступки и отношения людей.
Другой причиной применения математического моделирования является необходимость эксплицитно описать механизмы, объясняющие наши неформальные прогнозы. Несмотря на то, что все индивиды знают, чего можно, а чего нельзя ожидать от данной политической системы, они зачастую не в состоянии определить точно, почему и что конкретно они от нее ожидают. Формальная модель как раз и помогает преодолеть чересчур свободные формулировки допущений неформальной модели и дать точный, а подчас и поддающийся проверке прогноз. Таким образом, модель бывает полезной только в том случае, если возможно продемонстрировать ее ошибочность.
Математическое моделирование социально-политического поведения насчитывает не более 20 лет от роду, и пока нет оснований считать, что оно уже достигло пределов своего развития. И, наконец, преимуществом математического моделирования является также то, что оно позволяет различным научным дисциплинам обмениваться своими исследовательскими средствами и приемами. Тому можно привести много примеров: в моделях, используемых в политологии, задействованы не только основные математические средства, но и масса методик, заимствованных из эконометрики, социологии и биологии. Опросное исследование – представляющее собой, по сути дела, сложную математическую модель распределения общественного мнения между различными группами населения – является широко распространенным методом, используемым в большинстве социальных наук.
Итак, математические модели имеют четыре потенциальных преимущества по сравнению с естественно-языковыми моделями. Во-первых, они упорядочивают те ментальные модели, которыми мы обычно пользуемся. Во-вторых, они лишены неточности и неоднозначности. В-третьих, математическая запись в отличие от естественно-языковых выражений позволяет оперировать на очень высоком уровне дедуктивной сложности. И, наконец, математические модели способствуют нахождению общих решений для проблем, кажущихся на первый взгляд разнородными. Модель обязательно должна проходить экспериментальную проверку.