Фрактальный подход к изучению масштабного фактора в горных породах




Прочность самых различных материалов и пород (каменная соль, уголь торф, металлы, полимеры, бетон, стекло и др.) зависит от размеров испытываемых образцов. Погрешности моделирования, возникающие при изменении размеров образцов, системы, принято называть масштабным фактором. При брикетировании диспергированных пород масштабный фактор проявляется на величинах прочности, пластичности, упругости брикетов, а также определяет давление прессования. Велико проявление масштабного фактора в процессах тепло- и массопереноса. Начало систематических исследований масштабного фактора относится к началу 30-х годов (работы Вейбулла). Однако первым обращением к проблеме масштабного фактора следует считать парадоксаль­ное изречение одного из семи легендарных мудрецов древности — Питтака из Мителены (о. Лесбос) о том, что «половина всегда больше целого», не перестававшее удивлять мыслителей вот уже тысячи лет.

При испытаниях прочности нитей (металл, стекло) было установлено снижение средней прочности при одновременном уменьшении разброса с уве­личением размера (диаметра) образца. Эта закономерность имеет фундамен­тальный характер. Существуют различные гипотезы, объясняющие масштаб­ный фактор статистическими, технологическими, энергетическими и др. при­чинами. Однако, как показывает практика, каждый раз объяснение относится лишь к частному случаю. Богатовым предложено масштабный фактор характе­ризовать формулой

М=В+С,

где В — детерминированная функция размеров тела (системы), называемая трендом, тенденцией, имеет вид степенной или показательной функции, ха­рактеризует нарушение подобия во взаимодействии тела (системы) с внешней средой. Оценка неслучайности В проводится сравнением средних значений параметров при различных размерах испытуемых образцов по критерию Стьюдента.

Второе слагаемое в формуле С — стохастическая величина, характеризует вероятностную сущность структурообразования горных пород, а также про­цессов переноса на молекулярном уровне. Эта величина считается некоррели­рованным случайным процессом с нулевым математическим ожиданием. Роль С в масштабном факторе возрастает с ростом неопределенности и неоднород­ности структуры системы. Оценка С — наиболее сложное дело. Оценка не­случайности С проводится сравнением дисперсий параметров по критерию Фишера.

В последние годы для описания структуры неупорядоченных сред и про текающих в них процессов все шире привлекается теория фракталов (Е. Фс дер). Ее активное развитие отмечается в последние 10 лет после того, как н большом числе физических, химических и биологических процессов и явле ний обнаружено, что фрактальная структура и дробная размерность служа! основными характеристиками системы. Фракталы — это вложенные в про странство самоподобные геометрические объекты. Возможности фрактальной геометрии только открываются, а понятие основной количественной оценки фракталов — фрактальной дробной размерности является, по существу, но­вым воззрением на оценку заполненности веществом пространства. Несо­мненно, что теория фракталов повлияет на наши представления о непрерыв­ности, понятиях скорости, скачков, запретов, а значит и на возможности мате­матики, появятся новые подходы к количественной оценке физико-химических процессов в неоднородных дисперсных системах.

В настоящее время исследованы фрактальные структуры торфяных сис­тем применительно к решению задач классификации видов торфа и анализа напряженно-деформированного состояния (Богатов Б., Кулак М.). Установле­но, что при переходе от низинного торфа к верховому фрактальная размер­ность в целом убывает, то есть структура становится более рыхлой, возрастает неоднородность структуры кластера. Особенность структуры торфяных агре­гатов такова, что в приповерхностных слоях плотность минимальна и может быть в несколько раз меньше плотности ядра агрегата. Прочность пропорцио­нальна плотности, однако их отношение непостоянно, и при изменении радиу­са от 0,1 до 1,0 (в относительных единицах) оно увеличивается на 11,4%. Это указывает на то, что прочность проявляется не только через плотность (нали­чие самого вещества), но и через структуру агрегатов. Расчеты показывают, что из-за неоднородности структуры прочность в пределах агрегата может изменяться на порядок.

Большие возможности фрактальный подход имеет при изучении мас­штабного фактора в процессах переноса тепла, массы и импульса.

Первоначально важным является определение кластера (сгущение, скопле­ние, концентрация) как субстанции молекулярного переноса массы, тепла и им­пульса. В качестве необходимого условия следует считать наличие в системе отклонений плотности, температуры от средних значений, т.е. обязательны флуктуации. Считается, что в объемах до 10"6 мм3 (линейный размер стороны 10 микрон) заметны флуктуации плотности жидкости (Бэтчелор). В системах, по­добных торфяным, тепловое броуновское движение совершают молекулы среды (воды, воздуха), части макромолекул, коллоидные частицы, ионы неорганиче­ской части. В системах с размерами частиц более 5 микрон броуновское движе­ние практически не проявляется. Хотя объем 10"6 мм3 мал, но он содержит 3-Ю10 молекул воздуха и еще больше молекул воды, но при этом флуктуации физиче­ских свойств заметны. Величина относительной флуктуации в системе из п не­зависимых частей обратно пропорциональна корню квадратному фг. Следова­тельно, ограничиваясь рассмотрением отдельных молекул при переносе уже в самых малых объемах должны были бы иметь равновесный процесс. Но в дей­ствительности этого не наблюдается. Процесс переноса в жидкостях связан с постоянной перестройкой групп (ассоциатов) молекул с высвобождением энер­гии молекулярного движения. Таким образом, в качестве кластеров торфяных систем, определяющих интенсивность переноса-массы, тепла и импульса при­нимают ассоциаты большого числа молекул, частицы («облака») электронного газа, составленного из совокупности свободных электронов или молекул, теп­ловое движение которых служит причиной акустических волн, участвующих в передаче тепла и количества движения в твердых телах и жидкостях.

 

Регрессионный анализ.

Подбор вида эмпирических формул. Расчет коэффициентов

Далеко не всегда удается аналитически, опираясь лишь на теоретическое исследование данного процесса, описать необходимую зависимость. В таких случаях основой количественного описания являются экспериментальные данные. Применяют два метода построения эмпирических формул. Один из них состоит в том, что подбирается алгебраический многочлен, принимающий в заданных точках установленные значения, а именно: по наблюдаемым двум точкам строится линейная функция (прямая), по трем — квадратичная (пара­бола) и т.п. Достоинство метода в том, что полученная формула в точности воспроизводит экспериментальные значения. Такого рода формулы называют­ся интерполяционными многочленами. Способы построения интерполяцион­ных многочленов (Лагранжа, Ньютона, Чебышева) освещены в курсе «Выс­шая математика». К недостаткам интерполяционных многочленов следует от­нести то, что при большом числе экспериментальных наблюдений многочлен получается высокой степени и нахождение коэффициентов требует громозд­ких вычислений, а в интервалах между значениями различия между опытной и расчетной зависимостями могут быть как угодно большими. Кроме того, каче­ство математической модели тем выше, чем меньше эмпирических коэффици­ентов она содержит.

Другой метод подбора имперических формул состоит в том, что подбира­ется наиболее простая формула того или иного вида, во многих случаях со­держащая всего два коэффициента, определяемых по экспериментальным данным.

Если при подборе вида формулы удается учесть теоретические представ­ления об изучаемом процессе, то это часто позволяет ограничиться миниму­мом экспериментальных данных и при этом возможна экстраполяция за пре­делами проведенных исследований.

В некоторых случаях при подборе вида формулы удается воспользоваться известными заранее соотношениями для скорости процесса (охлаждения, на-, гревания, фильтрации, диффузии и др.) или данными об угловом коэффициен­те касательной к искомой траектории. В табл. 1.1 приведены наиболее распро­страненные случаи скоростей изменения функций и виды их общих законо­мерностей.

В других случаях вид формул может быть получен при использовании механического (работа, давление и др.) или геометрического (объем, поверх­ность, дуга и др.) смысла определенного интеграла.

Уравнения в дифференциалах получают в результате составления соот­ношений между приращениями и переменными. Для этого процесс мысленно разбивают на элементарные акты, позволяющие допустить линейность соот­ношения между приращениями и переменными, независимость частей целого, применимость фундаментальных законов физики. При использовании матери­альных или тепловых балансов допускают для элементарного акта или объема независимость потоков субстанций за счет различных движущих сил.

Наиболее надежным и простым является определение коэффициентов а, Ъ линейной зависимости у = ах + b. Применяют один из способов: метод выбран­ных точек, метод средних и метод наименьших квадратов. По методу выбран­ных точек выбирают две точки 0, уо) и (*ь у{), отстоящие друг от друга и от концов исследуемого интервала. Коэффициенты а, Ъ находятся из уравнения

Коэффициенты а, b методом средних находятся из условия равенства ну­лю алгебраической суммы отклонений экспериментальных п точек от прямой:

Метод наименьших квадратов является более предпочтительным, так как он требует равенства нулю суммы квадратов отклонений. Параметры а, b находятся из системы

 

Во многих случаях нелинейные зависимости (степенные, показательные, логарифмические) могут быть приведены к линейному виду с помощью про­стейших алгебраических действий и замены переменных. Этот метод называ­ется выравниванием функций. Например, зависимость у = аеЬх после лога­рифмирования и замены 1п у = У приводится к линейному виду У = 1п а + bх.

Наиболее полное исследование зависимости требует применения корре­ляционного и регрессионного анализов. Две случайные величины являются корреляционно связанными, если математическое ожидание одной из них ме­няется в зависимости от изменения другой. Выборочный коэффициент линей­ной корреляции рассчитывается по формуле

где х, у — средние арифметические значения х;, у;.

о*, о> — среднеквадратические отклонения:

 

 

Коэффициент корреляции изменяется в пределах ге[—1;1]. Знак «ми­нус» — признак обратной связи. Недостаток коэффициента корреляции — его применимость лишь для оценки степени сопряженности величин, связанных линейной зависимостью. Метод выравнивания функций, о котором говори­лось выше, позволяет значительно расширить возможности использования ко­эффициента корреляции для оценки меры тесноты связей. Линейную связь обычно считают слабой, если |г|<0,5, сильной при |г|>0,7 и практически функциональной при |г| > 0,9.

В отличие от корреляционной, зависимость между случайной и неслучайной величинами называется регрессионной, а метод анализа этой зависимости — рег­рессионным анализом. Уравнение линейной регрессии ^ по х имеет вид

 


 

 

 

коэффициент линейной регрессии.

 

 

При подборе вида эмпирической формулы удобно пользоваться атласом графиков. Иногда оказывается, что опытная кривая похожа на несколько кри­вых, уравнения которых различны. Нередки случаи, когда та или иная форму­ла достаточно точно выражает зависимость между заданными численными значениями величин, но типичный график этой формулы не похож на экспе­риментальную кривую. Это может быть потому, что экспериментальная кри­вая и график формулы построены для различных интервалов изменения аргу­мента. Выбор масштаба координатных осей также может привести к искаже­нию формы кривой и визуальному отличию.

Чисто формально выбор вида формулы может осуществляться с помощью табл. 4.7.

Таблица 4.7

Таблица выбора вида эмпирической формулы

 

С помощью таблицы опытных данных выбираем две точки (хь у{) и п, уп), достаточно удаленные друг от друга и отстоящие от краев исследуемого интервала переменной х. Затем, рассчитав хе и уе по табл. 4.7, сравниваем для одного и того же хе значения уе и уэ (экспериментальное). В случае близости значения уе и у3 соответствующая формула считается подходящей (это следует проверить после нахождения параметров аяЬ. Лучшей будет та формула, при использовании которой дисперсия отклонений меньшая.

Пример.

Результаты испытаний на разрушение одноосным сжатием образцов ка­менной соли представлены ниже

28 ЗАДАЧИ И МЕТОДЫПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ГОРНОМ ДЕЛЕ

Прогнозирование событий, и в частности, последствий разработки полез­ных ископаемых, — чрезвычайно сложное дело из-за взаимосвязанности про­цессов в биосфере. Поэтому очень важен вопрос выбора метода прогнозиро­вания в каждом конкретном случае. Временные интервалы прогнозов могут изменяться в широких пределах — от часов до многих лет, в зависимости от содержания задачи. Одни зависят от цикличности воздействий в системе и должны быть достаточно велики, чтобы обеспечивалась возможность созна­тельного влияния на ожидаемые изменения в экосистеме. Если процесс цик-личен (например, сезонное производство), то прогноз составляется на период не меньший, чем продолжительность цикла. Если прогнозируемый процесс имеет тенденцию роста в течение длительного времени, то прогноз должен рассчитываться на такой промежуток времени, за который можно осущест­вить мероприятия по сохранению экологического равновесия окружающей среды, по наращиванию мощностей и приобретению необходимых материалов и оборудования.

Особенностью прогностических моделей служит невозможность прямой проверки соответствия модели и оригинала. В этом специфика и вместе с тем проблема моделирования будущего.

Более всего распространены в прогностических моделях графические изображения (так называемые «кривые роста») и математические описания. При отсутствии теоретических предпосылок о поведении объекта исследова­ний в будущем используют методы аналогий и математической обработкилтных данных, характеризующих прошлое и настоящее. Однако не следует ывать, что эмпирическая формула справедлива лишь для интервала опыт-х значений и экстраполяция связана с погрешностью тем большей, чем [ыде стремимся распространить зависимость за пределы проведенных ис-дований. С целью повышения достоверности прогноза следует предусмот-ъ его определение несколькими методами. Это дает хороший результат.

В основе составления и анализа прогноза лежат различные методы: ус-щение данных наблюдений в прошлом и настоящем с последующей экст-юляцией полученных зависимостей в будущее; корреляционный и регрес-)нный анализы; математическое программирование в задачах распределе-5 ресурсов; имитационное моделирование; теория игр и статистических иений; анализ случайных функций; экспертные оценки и аналогии в зада-; прогнозирования.

Следует отметить характерную ошибку в прогнозах, когда на основании;тоянной скорости роста в прошлом предполагают ту же скорость процесса >удущем. Такой подход в прогнозировании называется «наивным» в том ысле, что все происходившее в прошлом и сформировавшаяся тенденция в;тоящем будут иметь место и в будущем. В двух случаях «наивная экстра­кция» неприменима: при наличии естественного предела (истощение ре->сов и др.) и при изменении факторов, обусловливающих тенденцию в прошлом (темпы осушения, воздействие на окружающую среду и др.).Достаточно;то в прогнозах используется экспоненциальный рост, вызванный бурным шитием техники и технологии. Экстраполяция процесса в будущее в виде экспоненциальной функции (пропорциональность скорости роста текущему гчению функции) в ряде случаев дает заведомо неверный результат.

Одна из важнейших задач прогнозирования заключается в предсказании)рости, с которой новое решение, идея, технология и техника будут вытес-гь предыдущие, используемые для получения тех же функциональных ха-рактеристик. Анализ статистических наблюдений из самых различных областей естествознания, техники и технологии показал, что изменение эффектив­ен во времени характеризуется S-образными кривыми.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: