Основанием позиционной системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое натуральное число р ≥2. Система счисления с основанием р называется р-ичной. Так, если р = 2, то - двоичной, если р = 8 - восьмеричной, если р = 10 - десятичной.
Для записи чисел в системе с основанием р необходимо р символов. Принято использовать знаки десятичной системы счисления: 0, 1,2,...,р - 1. Например, числа в троичной системе счисления записывают при помощи символов 0, 1, 2, а в пятеричной - при помощи символов 0, 1, 2, 3, 4.
Определение. Записью натурального числа х в системе счисления с основанием р называется его представление в виде: х =аnрn + an-1pn-1 +... + а1р + а0 (1), где коэффициенты аn, аn-1, а1 и а0 принимают значения 0,1, 2,...,р-1 и аn≠0.
Теорема. Пусть р≥2— заданное натуральное число. Тогда любое натуральное число х представимо, и притом единственным образом в виде (1).
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о существовании и единственности записи числа в десятичной системе счисления.
Вместо представления в виде (1) число х записывают кратко: х= 
р. Например, если р = 3, то число х=2·33 + 0·32+ 1·3 + 2 можно записать в виде 20123, причем читать его следует так: «Два, ноль, один, два в троичной системе счисления».
Задача. Сосчитать число клеток в фигуре, изображенной на рисунке 124, в троичной и пятеричной системах счисления.
Рис. 124
Решение. В троичной системе счисления для записи чисел используются цифры 0, 1 и 2, а любое число представляется в виде аn·3n + аn-1·3n-1 +.. + а1·3 + а0, где аn, аn-1,,..., а1, а0 принимают значения 0,1, 2 и аn≠0.Однозначные числа в этой системе- 0, 1, 2, а число 3- основание системы счисления - записывается как 10.
При счете клеток в данной фигуре мы получим числа, запись и название которых в троичной системе счисления таковы: 1 (один); 2 (два); 10 (один, ноль); 11 (один, один); 12 (один, два); 20 (два, ноль); 21 (два, один); 22 (два, два); 100 (один, ноль, ноль).
Таким образом, число клеток в фигуре на рисунке 124 в троичной системе счисления запишется как 1003.
В пятеричной системе счисления для записи чисел используются цифры 0,1, 2,3,4, а любое число представляется в виде аn·5n + аn-1·5n-1 +.. + а1·5 + а0, где аn, аn-1,,..., а1, а0 принимают значения 0, 1,2, 3,4 и аn≠0.
Однозначные числа в этой системе - 0,1,2,3,4, а число 5 -основание системы счисления - записывается как 10.
При счете в пятеричной системе клеток фигуры на рисунке 124 мы получим числа: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14. Таким образом, число этих клеток в пятеричной системе счисления запишется как 145.
Сравнение чисел в системе счисления с основанием р(р≠10) выполняется так же, как и в десятичной системе. Так, 21013<21023, поскольку при одинаковом числе разрядов и совпадении трех цифр старших разрядов число единиц в первом числе меньше числа единиц во втором.
Арифметические действия над числами в позиционных системах счисления с основанием р(р≠10) выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Надо лишь иметь для системы с основанием р соответствующие таблицы сложения и умножения однозначных чисел.
Составим, например, таблицу сложения однозначных чисел в троичной системе счисления. Однозначные числа в ней - это 0,1,2. Число 3 записывается 10. Число 4 имеет вид 113, так как 4= 1·3+ 1 = ll3.
Полностью таблицу сложения однозначных чисел в троичной системе счисления можно представить в таком виде:
Используя эту таблицу, можно складывать любые числа в троичной системе счисления, причем многозначные числа можно складывать столбиком по правилам, аналогичным правилам сложения чисел в десятичной системе счисления. Например, 12213 + 1223 = 21203, так как
Таблицей сложения однозначных чисел в троичной системе счисления можно пользоваться, выполняя вычитание: 21103-2123=11213.
Таблица умножения однозначных чисел в троичной системе счисления имеет вид:
На основе этой таблицы и таблицы сложения выполняют умножение многозначных чисел по правилам, аналогичным правилам умножения чисел в десятичной системе счисления. Найдем, например, произведение 1223·223:
Таким образом, 1223·223 = 120013.
Таблицей умножения можно пользоваться, выполняя деление чисел в троичной системе счисления, в частности, деление чисел уголком. Разделим, например, число 100113 на 123:
Значит, 100113:123=1223.
Одно и то же натуральное число может быть записано в любой системе счисления с основанием р ≥2. Так, число клеток в фигуре на рисунке 124 в десятичной системе счисления записывается знаком 9, в троичной - 100, в пятеричной - 14.
Чтобы из одной записи получить другую, достаточно научиться переходить от записи в заданной системе к записи в десятичной, и наоборот.
Пусть дана запись числа х в системе счисления с основанием р, т.е. х = аn·рn + аn-1·рn-1 +.. + а1·р + а0 . Найдем запись этого числа в десятичной системе счисления. Так как в записи числа х числа аn, аn-1,,..., а1, а0 и р представлены в десятичной системе счисления, то выполнив над ними действия по правилам, принятым в ней, получим десятичную запись числа х. Найдем, например, десятичную запись числа 4578. Для этого представим данное число в виде суммы вида: 4·82 + 5·8 + 7. Значение этого выражения в десятичной системе счисления равно 303. Следовательно, 4578 = 30310.
Пусть теперь число х записано в десятичной системе. Найдем его запись в системе счисления с основанием р.
Число х = аn·рn + аn-1·рn-1 +.. + а1·р + а0 можно записать в виде х = р · (аn·рn + аn-1·рn-1 +.. + а1·р) + а0. Так как 0 ≤а <р, то из последней записи числа х видно, что а0 - остаток, получаемый при делении числах нар, а х = аn·рn-1 + аn-1·рn-2 +... + а1 - неполное частное. Точно так же можно найти, что а1- остаток, получаемый при делении этого неполного частного на р. Таким образом, запись числа х в р-ичной системе находят так: число х делят (в десятичной системе) на р; остаток, полученный при делении, даст последнюю цифру а0 в р-ичной записи числа х; неполное частное снова делим на р, новый остаток даст предпоследнюю цифру р -ичной записи числа х; продолжая деление, найдем все цифры р -ичной записи числа х.
Запишем число 2436 в восьмеричной системе счисления. Разделим 2436 на 8: 2436 = 304 · 8 + 4. При делении числа 304 на 8 получим: 304 = 38 · 8 + 0 и тогда 2436 = (38 · 8 + 0) · 8 + 4 или 2436 = 38 · 82 + 0 · 8 + 4. Делим на 8 число 38: 38 = 4 · 8 + 6 и тогда 2436 = 46048. Описанный процесс можно представить и в таком виде:
