Единичные импульсы. В качестве математической модели единичного импульса при анализе аналоговых сигналов используют дельта-функцию.
Дельта-функция или функция Дирака. По определению, дельта-функция описывается следующими математическими выражениями (в совокупности):
d(t-t) = 0 при t ¹ t, 
d(t-t) dt = 1.
Функция d(t-t) не является дифференцируемой, и имеет размерность, обратную размерности ее аргумента, что непосредственно следует из безразмерности результата интегрирования. Значение дельта-функции равно нулю везде за исключением точки t, где она представляет собой бесконечно короткий импульс с бесконечно большой амплитудой, при этом площадь импульса равна 1.
Рис. 1. Дельта-функция Дирака
Дельта-функция является полезной математической абстракцией. На практике такие функции не могут быть реализованы с абсолютной точностью, так как невозможно реализовать значение, равное бесконечности, в точке t = t на аналоговой временной шкале, определенной по времени также с бесконечной точностью. Но во всех случаях, когда площадь импульса равна 1, длительность импульса достаточно мала, а за время его действия на входе какой-либо системы сигнал на ее выходе практически не изменяется (реакция системы на импульс во много раз больше длительности самого импульса), входной сигнал можно считать единичной импульсной функцией со свойствами дельта - функции.
Функция Кронекера. Для дискретных и цифровых систем в качестве единичного импульса используется дискретный интегральный аналог дельта-функции - функция единичного отсчета d(kDt-nDt), которая равна 1 в координатной точке k = n и нулю во всех остальных точках, при этом функция d(kDt-nDt) определена только для целых значений координат k и n.
Математические выражения d(t-t) и d(kDt-nDt) называют также импульсами Дирака и Кронекера. Однако, применяя такую терминологию, не следует забывать, что это не просто единичные импульсы в координатных точках t и nDt, а импульсные функции, определяющие как значения импульсов в определенных координатных точках, так и нулевые значения по всем остальным координатам, в пределе от -¥ до ¥.
Импульсный отклик линейной системы. Если на вход линейной системы в момент времени t = 0 подать единичный импульс (Дирака или Кронекера, в зависимости от типа системы), то на выходе мы получим реакцию системы на единичный входной сигнал. Эта реакция называется функцией импульсного отклика системы или импульсной характеристикой. Она однозначно определяется оператором преобразования h(..):
y(t) = T[d(t-0)] = h(t)
y(kDt) = T[d(kDt-0)] = h(kDt)
Импульсный отклик аналоговой системы на входную дельта-функцию также в определенной степени представляет собой математическую абстракцию идеального преобразования. С практической точки зрения под импульсным откликом можно понимать отображение реакции системы на импульсный входной сигнал произвольной формы с единичной площадью, если длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с временной (координатной) разрешающей способностью системы. Для цифровых систем импульсный отклик однозначно определяется реакцией системы на импульс Кронекера. Функцию импульсного отклика называют также весовой функцией системы.
Рис. 2. Импульсный отклик системы.
В линейных и инвариантных к сдвигу системах форма импульсного отклика не зависит от времени прихода входного сигнала и определяет только его положение на временной оси. Так, если входной импульс задержан (относительно 0) на время to, то соответствующий выходной сигнал будет определяться выражением:
y(t) = T[d(t-to)] = h(t-to).
В любой системе, работающей в реальном масштабе времени, сигнала на выходе системы не может быть, если нет сигнала на ее входе. Отсюда следует односторонность импульсного отклика физических систем:
h(t-t) = 0 при t<t.