Унитарные и ортогональные операторы.




Определение 1. Пусть X – унитарное (евклидово) пространство. Оператор называют унитарным (ортогональным), если .

Замечание 1. Из определения унитарного (ортогонального) оператора следует, что он обратим и что .

Пример 1. Тождественный оператор, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, является унитарным (ортогональным), так как .

Пример 2. Оператор A из примера 2 §1 является ортогональным, если l = 1, так как .

Теорема 1. Пусть X – унитарное (евклидово) пространство. Для того чтобы оператор был унитарным (ортогональным), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1. Оператор A “сохраняет” скалярное произведение, т.е. для любых , ÎX.

2. Любой ортонормированный базис пространства X оператор A отображает в ортонормированный базис.

3. Оператор A “сохраняет” норму любого вектора ÎX, т.е. .

4. Матрица оператора A в любом ортонормированном базисе пространства X является унитарной (ортогональной).

Доказательство. 1.Необходимость. Пусть A – унитарный (ортогональный) оператор. Тогда по определению 1 справедливо равенство . Следовательно, для любых векторов , ÎX имеем:

.

Достаточность. Пусть для любых векторов , ÎX справедливо равенство . Тогда , т.е. для любых векторов , ÎX.

Следовательно, по лемме 1 , и A – унитарный (ортогональный) оператор. Здесь мы воспользовались ещё определением сопряженного оператора.

2.Необходимость. Пусть – ортонормированный базис пространства X и .

Если A – унитарный (ортогональный) оператор, то по доказанному в пункте 1 имеем: для всех . Следовательно, – ортонормированный базис.

Достаточность. Пусть теперь – ортонормированный базис пространства X, т.е. для всех . Тогда для любых векторов , ÎX имеем:

.Следовательно, выполнены условия 1-го критерия, и оператор A – унитарный (ортогональный).

.

3. Необходимость. Если A – унитарный (ортогональный) оператор, то по доказанному в пункте 1 имеем: , т.е. для любого ÎX.

Достаточность. Пусть теперь для любого ÎX. Покажем, что для любых , ÎX. Из свойств скалярного произведения получаем:

, т.е.

(1) = для любых векторов , ÎX..

Применив равенство (1) к вектору , получим:

(2)

Поскольку , , , то из равенств (1) и (2) получаем:

.

Применив равенство (1) к вектору , получим:

, т.е.

= (3)

и аналогично (4)

Учитывая, что , " ÎX, из равенств (3) и (4) получаем: = . Итак,

для любых , ÎX.

Следовательно, для любых , ÎX, т.е. A – унитарный (ортогональный) оператор

в силу 1-го критерия.

4. Пусть – ортонормированный базис пространства X.

A – унитарный (ортогональный) оператор Û

Û Û Û

Û Û Û

Û – унитарная (ортогональная, если X – евклидово пространство). Теорема 1 полностью доказана.

 

Без доказательства приведём следующее утверждение.

Теорема 2. Для любого ортогонального оператора A, действующего в евклидовом пространстве X найдется ортонормированный базис , в котором матрица имеет вид

.

Таким образом, геометрический смысл действия ортогонального оператора состоит в следующем. Пространство X раскладывается в ортогональную сумму одномерных и двумерных подпространств, на которых этот оператор действует так: на каждом одномерном подпространстве действие оператора состоит в умножении на 1 или на –1, а на каждом двумерном – в повороте на некоторый угол.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: