Дуальность элементов и их характеристик.
Два соотношения, обладающие свойством взаимного перехода друг в друга, называются дуальными. При этом взаимно заменяемые величины являются дуальными, а элементы, характеристики которых дуальны, - дуальными элементами.
Из таблицы 1 следует, что индуктивность и емкость, сопротивление и проводимость, а также источник напряжения и тока- дуальные элементы. Понятие дуальности является взаимным.
Следующие величины являются взаимными:
Схема замещения элементов.
Для целей анализа и расчёта реальные устройства заменяют их схемами замещения, состоящими из идеальных элементов. Такая замена всегда является приближенной. Для одного и того же реального устройства может быть разработано множество схем замещения в зависимости от условий его работы и степени приближения.
Пример: схемы замещения а) реального резистора, б) катушки, в) конденсатора.
Схемы замещения реальных источников:
где 
- внутреннее сопротивление источника напряжения, 
-внутренняя проводимость генератора тока.
Эти источники, как и соотношения (*) являются дуальными.
Понятие об электрической цепи. Топологический граф цепи.
Электрическая цепь со сосредоточенными параметрами составляется путём соединения между собой двухполюсных элементов: сопротивлений, индуктивностей, ёмкостей, источников.
Основные понятия, характеризующие геометрическую конфигурацию цепи: ветвь, узел, контур.
Узлы - это такие точки схемы, где соединяются не менее трёх двухполюсников, содержащих только последовательно соединённые элементы.
Ветви - двухполюсники, включенные между двумя узлами и составленные только из последовательно соединённых элементов.
Контуром называют любой замкнутый путь на схеме.
Идеальные источники напряжения включаются в ветви последовательно, а идеальные источники тока- параллельно.
Ветви с заранее известными токами и напряжениями можно исключить из цепи.
Если устройство имеет n внешних зажимов в своей электрической цепи, то оно называется n- полюсником.
а) двухполюсник, б) четырёхполюсник, в) шестиполюсник
Те полюса, к которым подключаются генераторы, питающие схему, называются входами многополюсника, и с которых снимается напряжение для использования в других элементах, называются выходными зажимами.
Топологическим графом цепи называют графическое представление её геометрической структуры. На графе сохраняются узлы схемы, ветви заменяются линиями, форма которых может быть произвольной. Генераторы Э.Д.С. исходной схемы, как и 
- элементы цепи заменяются короткозамкнутыми участками, а генераторы тока- разрывами.
Если на графе указаны направления токов, то его называют направленным, иначе- ненаправленным.
Пример планарного графа для схемы (*):
Пример непланарного графа:
Дерево графа- любая система из минимального числа ветвей графа, соединяющих все узлы без образования замкнутых контуров(циклов). Протекание токов по ветвям дерева исключается(разрывы). Для заданного графа можно построить ряд деревьев:
Ветви дерева изображенные сплошными линиями, а ветви связи- пунктирными.
Первая ветвь дерева соединяет два узла, а каждая последующая ветвь добавляет по одному узлу, поэтому:
Число связей:
где 
- общее число ветвей графа.
Законы Кирхгофа.
Законы Кирхгофа являются следствиями законов сохранения электрического заряда и энергии для цепей постоянного и квазистационарного тока.
Для мгновенных значений переменного тока они формируются аналогично их формулировке для цепей постоянного тока.
I-ый закон:
Сумма мгновенных значений токов узла равна нулю.
II-ой закон:
Сумма мгновенных значений напряжений на пассивных элементах контура равна сумме мгновенных значений Э.Д.С., действующих в контуре.
Зная сопротивление ветви, можно выразить напряжение на ней через сопротивление и ток ветви или наоборот, ток ветви через напряжение на ней.
При составлении системы уравнений по законам Кирхгофа для цепи в эту систему следует включать только линейно-независимые друг от друга уравнения.
Узлы(контуры), уравнения Кирхгофа для которых независимы друг от друга, называются независимыми.
Число независимых узлов равно числу ветвей дерева:
Если рассмотреть все узлы дерева в порядке последовательного возрастания числа сходящихся ветвей, то в каждый узел, кроме последнего, войдёт новая ветвь, не вошедшая в другие узлы. Последний узел будет давать зависимое уравнение.
Число независимых контуров равно числу ветвей связи.
Протекание тока по дереву исключено, так отсутствуют контуры. Но при соединении каждой ветви связи образуется один контур, по которому будет протекать ток ветви связи, называемый контурным током. Контуры, число которых равно числу ветвей связи, будут независимыми, так как каждый контур образуется собственной ветвью связи.
Пример:
- число узлов
- число ветвей дерева.
- число ветвей связи.
Система уравнений Кирхгофа:
Рассмотрим общие свойства решений уравнений цепи:
1) Если изменить в k раз действующие в цепи напряжения(токи), то реакция цепи токи(напряжения) тоже изменятся в k раз.
Это свойство позволяет при расчетах линейных цепей вводить любой удобный масштаб для напряжений или токов, а также- для сопротивлений цепи.
2) Если к цепи вместо напряжения(или тока) прикладывается его производная или интеграл, то реакция будет равна производной или интегралу от исходной реакции.
3) Принцип наложения: в линейных эл. цепях результативная реакция на действие напряжения(или тока), состоящего из суммы составляющих, равна сумме реакций на действие каждой составляющей.
Для анализа линейной цепи приложенный сигнал произвольной формы представляют в виде суммы более простых по форме сигналов. Для каждого из них находится реакция цепи. После этого реакции складываются.
Спектральный метод изучения линейных цепей основан на разложении Фурье исходного сигнала на гармонические составляющие.
В связи с этим конкретизируем записи уравнений законов Кирхгофа применительно к цепи гармонического тока на основе метода комплексных амплитуд.
Для этого учтем, что:
Подставим эти выражения в уравнения правил Кирхгофа:
Аналогично:
Суммирование комплексных амплитуд можно производить геометрически.
Теорема компенсации.
Рассмотрим контур сложной цепи.
Уравнение второго закона Кирхгофа для контура:
Его можно переписать:
Этому уравнению соответствует схема, в которой напряжение 
заменено источником Э.Д.С., которая равна 
и направлена навстречу току 
.
Источники, Э.Д.С. которых зависит от токов и напряжений в цепи, называются зависимыми. В отличии от них независимыми(автономными) называются генераторы Э.Д.С., Э.Д.С. которых не зависит от режима цепи.
Замена пассивного элемента на зависимый генератор не изменила режим работы цепи.
Уравнение (1) можно переписать:
Этому уравнению соответствует схема, где источник 
заменён пассивным элементом, напряжение на котором численно равно , но направлено навстречу Э.Д.С. . Эта замена тоже не сказывается на токах в ветвях.
На основании изложенного сформулируем теорему компенсации:
а) Токи ветвей контура не изменятся, если вместо любого из пассивных элементов включить Э.Д.С., равную напряжению на этом элементе и направленную навстречу току, проходящему через элемент.
б) Токи ветвей контура не изменятся, если любую Э.Д.С., входящую в состав контур, заменить напряжением, равным исключенной Э.Д.С. и направленным навстречу ей.
Пример:
Напряжение на емкости можно заменить на Э.Д.С.
, её комплексная амплитуда 
Э.Д.С. самоиндукции может быть заменена напряжением:
его комплекная амплитуда:
Метод контурных токов.
Метод контурных токов и метод узловых напряжений- модификации метода расчета цепей на основе законов Кирхгофа. Они позволяют упростить расчёты при большом числе ветвей.
Каждому из n независимых контуров приписывается так называемый контурный ток, который числится обтекающим контур в произвольно выбранном направлении. Целесообразно считать, что контурный ток равен току главной ветви данного контура.
Токи остальных ветвей контура могут быть выражены через контурные токи с помощью первого закона Кирхгофа.
Пусть имеем схему:
Для расчета выберем дерево схемы:
Примем направления контурных токов во всех контурах по часовой стрелке.
Контурный ток считается равным току главной ветви, если одинаково с ним направлен и равен со знаком минус, если направлен противоположно.
Для схемы:
Если найти три контурных тока, то остальные можно найти с помощью 1-го закона Кирхгофа для узлов А и В:
Собственное сопротивление независимого контура полагается равным сумме сопротивлений, входящих в контур. Собственные сопротивления независимых контуров схемы:
Общими сопротивлениями называют сопротивления элементов, входящих в состав каждого из двух смежных контуров.
В схеме два общих сопротивления:
Уравнение 2-го закона Кирхгофа для контура 11:
для контура 22:
для контура 33:
Или:
Для определения трех контурных токов надо решить систему трех контурных уравнений.
По законам Кирхгофа, система состояла бы из пяти уравнений.
Сформулируем общее правило составления контурных уравнений.
При обходе всех контуров в направлении, совпадающем с направлением контурного тока, в левой части уравнения для данного контура суммируются: падение напряжения, создаваемое контурным током на собственном сопротивлении со знаком «плюс» и падения напряжения, создаваемые контурными токами на общих сопротивлениях(они берутся со знаком «плюс», если контурные токи в этих сопротивлениях направлены в одну сторону и со знаком «минус», если в противоположные стороны). В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма действующих в контуре Э.Д.С.(контурная Э.Д.С.).
В общем случае:
где 
- контурные Э.Д.С.