Определение критериев подобия способом интегральных аналогов

Липецкий государственный технический университет

Кафедра Электрооборудования

 

 

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

по Моделированию в технике

Определение критериев подобия способом интегральных аналогов и на базе π-теоремы.

 

Студент Фролов С.Н.

Группы ЭО-14-2

Руководитель

Доцент Бойчевский В. И.

 

 

Липецк 2015 г.

Оглавление

Задание на РГЗ………………………………………………………………….....3

1 Определение критериев подобия способом интегральных аналогов…..4

1.1 В первой форме записи……………………………………………………….4

1.2 Во второй форме записи……………………………………………………...4

1.3 В третьей форме записи………………………………………………………5

1.4 В четвертой форме записи……………………………………………………6

1.5 В пятой форме записи………………………………………………………...6

2 Определение критериев подобия на базе π-теоремы……………………...7

2.1 Составление матрицы размерностей параметров процесса………………..7

2.2 Определение независимых параметров процесса и числа возможных форм записи критериев подобия………………………………………………………..8

2.3 Определение критериев подобия в трех формах записи………………….10

2.3.1 В первой форме записи……………………………………………………10

2.3.2 Во второй форме записи…………………………………………………..13

2.3.3 В третьей форме записи…………………………………………………...16

Заключение……………………………………………………………………….19

Список литературы………………………………………………………………21

Приложение ……………………………………………………………………...22

 

Задание на РГЗ

 

2 СОДЕРЖАНИЕ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ

 

Для процесса, описываемого дифференциально-интегральным уравнением, приведенным согласно варианта в таблице, определить критерии подобия:

2.1 Способом интегральных аналогов во всех возможных формах записи;

2.2 На базе π-теоремы в любых трех формах записи из всех возможных.

Таблица 1. Исходные данные к расчетно-графическому заданию.

№ Варианта	Дифференциально-интегральное уравнение энергетического процесса

 

 

Определение критериев подобия способом интегральных аналогов

Определим число критериев подобия и число форм их записи:

= n – 1 + a = 5 – 1 + 1 = 5

= n = 5

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

 

1.1 В первой форме записи

 

Найдем критерии подобия в первой форме записи. Для этого разделим все члены уравнения (1.1) на первый член, то есть на :

Далее зачеркиваем, а затем исключаем знаки дифференцирования и интегрирования и неоднородные функции. После вышеописанных преобразований уравнения (1.2) получаем выражение:

В соответствии с первой теоремой подобия имеем пять критериев подобия. При этом стоит отметить, что четыре из них являются основными и имеют пять форм записи, и один дополнительный критерий подобия, который всегда имеет единственную форму записи.

Запишем критерии подобия в первой форме:

 

1.2 Во второй форме записи

 

По аналогии проделаем те же вычисления, которые были приведены в пункте 1.1 для второй и последующих форм записи. Разделим все члены уравнения (1.1) на :

 

После математических преобразований выражения (1.3) и исключения из него всех знаков интегрирования и дифференцирования и неоднородных функций, получим:

Запишем найденные критерии подобия во второй форме:

 

 

1.3 В третьей форме записи

 

Проделаем аналогичные преобразования для нахождения третьей формы записи. Разделим все члены уравнения (1.1) на :

Преобразуя выражение (1.4) путем исключения из него всех знаков интегрирования и дифференцирования и неоднородных функций, получаем:

Запишем найденные критерии подобия в третьей форме:

 

 

1.4 В четвертой форме записи

 

Проведем аналогичные преобразования для нахождения четвертой формы записи. Для этого разделим все члены уравнения (1.1) на

 

Упростив выражение (1.5) и исключив из него все знаки интегрирования и дифференцирования и неоднородные функции, получаем:

Запишем найденные критерии подобия в четвертой форме записи:

 

 

1.5 В пятой форме записи

 

Проделаем аналогичные преобразования для нахождения пятой формы записи критериев подобия. Для этого разделим все члены уравнения (1.1) на :

 

После математических преобразований и исключения из выражения (1.6) знаков дифференцирования и интегрирования и неоднородных функций, получим следующее выражение:

 

Запишем найденные критерии подобия в пятой форме записи:

 

 

2 Определение критериев подобия на базе π-теоремы

2.1 Составление матрицы размерностей параметров процесса

Определим параметры, участвующие в данном процессе и их число, и представим процесс в виде следующего уравнения: (2.1)

Из уравнения (2.1) видно, что . Выразим все члены уравнения (2.1) в относительных единицах:

(2.2)

Запишем выражения единиц измерения для всех величин, участвующих в выражении (2.2):

Построим матрицу размерностей, составленную из показателей степени, входящих в формулы размерности системы (2.3):

	L	M	T	I
			-3	-1
			-1
				(2.4) 0
			-3	-2
			-2	-2
			-3	-2
			-3	-1

2.2 Определение независимых параметров процесса и числа возможных форм записи критериев подобия

 

Определим число независимых параметров из , , , , , , , и и установим их. Число независимых параметров (К) будет равно порядку первого не равного нулю определителя, составленного из указанных показателей степени(матрица (2.4)). Причем анализ определителей нужно начинать с определителей порядка основных единиц измерения, то есть в нашем случае с четвертого порядка.

Определим число возможных комбинаций определителей четвертого порядка:

Из следующих свойств определителей: 1) если в определителе имеются одинаковые строки, то такой определитель равен нулю; 2) если в определителе имеются пропорциональные строки, то такой определитель равен нулю; 3) если в определителе имеются нулевые строки, то такой определитель равен нулю; легко показать, что все определители четвертого порядка равны нулю. Следовательно, и число независимых параметров меньше четырех.

Анализируем определители третьего порядка. Определим число возможных комбинаций определителей третьего порядка:

Рассчитаем любой произвольный определитель третьего порядка:

Так как определитель третьего порядка оказался отличен от нуля, то число независимых параметров (К) равно трем, при этом в первой форме записи в качестве независимых параметров являются . Остальные параметры будут зависимы и будут выражаться через независимые. На основании расчетов приложения видно, что число форм записи критериев подобия на базе π-теоремы составляет двадцать шесть.

 

2.3 Определение критериев подобия в трех формах записи

 

2.3.1 В первой форме записи

 

Определим первую форму записи критериев подобия:

Найдем соотношения между независимыми и зависимыми параметрами, и они будут иметь следующий вид.

(2.5)

Следующая задача заключается в нахождении показателей .

;

;

;

;

;

;

;

;

;

После подстановки найденных значений в систему (2.5), получаем:

(2.6)

Учитывая, что связь между единицами измерения идентична связи между самим физическими величинами, мы можем записать следующее:

(2.7)

Так как , и независимые величины, то мы можем выбрать их произвольно. Выберем их таким образом:

, ,

Подставляя выбранные значения в выражение (2.2) вместо входящих в него параметров, получим

(2.8)

На основании первой теоремы подобия все отношения (отличные от единицы, входящие в выражение (2.8)) представляют собой критерии подобия в первой форме записи.

, , , , , .

2.3.2 Во второй форме записи

 

По аналогии с пунктом 2.3.1 определим вторую форму записи критериев подобия. Найдем определитель третьего порядка отличный от нуля и отличный от предыдущего хотя бы одной строкой.

В качестве независимых параметров во второй форме записи будут являться , и . Остальные параметры будут зависимы и будут выражаться через независимые. Найдем соотношения между зависимыми и независимыми параметрами, и они будут иметь следующий вид:

(2.9)

Следующая задача заключается в нахождении показателей , ,…, .

;

;

;

;

;

;

;

;

;

После подстановки найденных значений , ,…, в систему (2.9), получаем:

(2.10)

Учитывая, что связь между единицами измерения идентична связи между самим физическими величинами, мы можем записать следующее:

(2.11)

Так как , и независимые величины, то мы можем выбрать их произвольно. Выберем их таким образом:

, ,

Подставляя выбранные значения в выражение (2.2) вместо входящих в него параметров, получим:

(2.12)

На основании первой теоремы подобия все отношения (отличные от единицы, входящие в выражение (2.12)) представляют собой критерии подобия во второй форме записи.

, , , , , .

 

2.3.3 В третьей форме записи

 

По аналогии определим третью форму записи критериев подобия. Найдем определитель третьего порядка отличный от нуля и отличный от двух предыдущих хотя бы одной строкой.

 

В качестве независимых параметров в третьей форме записи будут являться , и . Остальные параметры будут зависимы и будут выражаться через независимые. Найдем соотношения между зависимыми и независимыми параметрами, и они будут иметь следующий вид:

(2.13)

Следующая задача заключается в нахождении показателе , ,…, .

;

;

;

;

;

;

;

;

;

После подстановки найденных значений , ,…, в систему (2.13), получаем:

(2.14)

Учитывая, что связь между единицами измерения идентична связи между самим физическими величинами, мы можем записать следующее:

(2.15)

Так как , и независимые величины, то мы можем выбрать их произвольно. Выберем их таким образом:

, , .

Подставляя выбранные значения в выражение (2.2) вместо входящих в него параметров, получим:

(2.16)

На основании первой теоремы подобия все отношения (отличные от единицы, входящие в выражение (2.16)) представляют собой критерии подобия в третьей форме записи.

, , , , ,

 

Заключение

 

Таблица № 2. Сводная таблица критериев подобия.

№ Формы записи	Методом интегральных аналогов	На базе π-теоремы
	, , , ,	, , , , ,
	, , , ,	, , , , ,
	, , , ,	, , , , ,
	, , , ,	……………………………..
	, , , ,	……………………………..

 

Анализируя проделанные вычисления не трудно заметить, что определение количества форм записи критериев подобия методом интегральных аналогов не всегда может содержать в себе все возможные формы записи, в отличие же от определения их на базе π-теоремы.

 

Список литературы

 

1. Веников, В.А. Теория подобия и моделирования [Текст]: (применительно к задачам элек­троэнергетики) / В. А. Веников, Г. В. Веников. - М.: Высшая школа, 1984. - 440 с.

2. Шпиганович, А. Н. Методические указания и контрольные задания к расчетно-графическому за-данию «Определение критериев подобия способом интегральных аналогов и на базе я-теоремы.» [Текст]: по дисциплине «Моделирование в технике» (для студентов направления подготовки 140400) / А. Н. Шпиганович, В. И. Бойчевский, Липецк: ЛГТУ, 2012. - 8 с.

3. Тетельбаум, И. М. Модели прямой аналогии [Текст] / И. М. Тетельбаум, Я. И. Тетельбаум. - М.: Наука, 1979- 384 с.

 

Приложение

 

 

0

Поделиться: