Расчеты напряженно - деформированного состояния балки

Исходные данные:

Вариант- 9

Материал балки	Е, МПа	q₁, МПа	q₂, МПа	h, м	l, м	m
сталь	2,1·10⁵	1,34·10^-2	0,67·10^-2	0,09	13,5	10⁵
бетон	2,9·10⁴	1,848·10^-3	3,696·10^-3

3.1. Расчет линейно-упругой задачи для стальной балки

При линейно - упругом деформировании ,

где ,

В этом случае

Функционал примет вид

Используем метод Ритца при аппроксимации в виде

Найдем производную от Э по W1 и приравняем к ее к нулю:

Получаем алгебраическое уравнение относительно неизвестного параметра , которое после преобразования примет вид

AW1-Bq=0,
где ,

Находим прогиб в балке по формуле:

Для Стали
A	B	I	E	q1	h	l	z
0,2525421	8,594366927	0,00006075		0,0134	0,09	13,5	0,045
				q2		6,75
				0,0067
Для q1
W1	0,456021085	м
χ1	0,024695461
σ 1	233,3721032	МПа	σ доп.		МПа

Для q2
W1	0,228010542	м
χ1	0,01234773
σ 2	116,6860516	Мпа

Согласно условия

Ни одно значение напряжения не превышает предельно допустимое значение, т.е. балка не разрушится под действие нагрузки.

На рис. 1 показана зависимость прогиба балки W от нагрузки q

Рис. 2 Зависимость прогиба балки по ее длине.

3.2. Расчет нелинейно-упругой задачи для стальной балки

Алгебраическое уравнение метода Ритца в этом случае примет вид

Где

Для решения уравнения можно применить метод итераций

A	B	D	E	q1	h	m	l	z
0,252542	8,594366927	0,1799718		0,0134	0,09		13,5	0,045
				q2			6,75
				0,0067
						x	W1 при q1	W1 при q2
W1,0			0,45602108	0,228011
W1,1	0,456021085	0,22801054	0,06758113	0,008448		0,5	0,076484074	0,027451
W1,2	0,523602216	0,23645818	0,03471875	0,000974			0,151933833	0,054531
W1,3	0,558320963	0,23743234	0,02172891	0,000117		1,5	0,225328947	0,080873
W1,4	0,580049871	0,23754927	0,01505186				0,295676873	0,106122
W1,5	0,595101729		0,0111105			2,5	0,362026277	0,129936
W1,6	0,606212229		0,0085702				0,423479897	0,151992
W1,7	0,61478243		0,00682901			3,5	0,479206677	0,171993
W1,8	0,621611437		0,00557966				0,528453009	0,189669
W1,9	0,627191096		0,00465083			4,5	0,570552921	0,204779
W1,10	0,631841922		0,00394038				0,604937084	0,21712
W1,11	0,635782303		0,00338417			5,5	0,63114051	0,226524
W1,12	0,639166476		0,00294016				0,648808843	0,232866
W1,13	0,642106637		0,00257981			6,5	0,65770315	0,236058
W1,14	0,644686444		0,00228316				0,65770315	0,236058
W1,15	0,646969608		0,00203593			7,5	0,648808843	0,232866
W1,16	0,649005541		0,00182763				0,63114051	0,226524
W1,17	0,650833174		0,00165044			8,5	0,604937084	0,21712
W1,18	0,652483616		0,00149842				0,570552921	0,204779
W1,19	0,653982032		0,00136697			9,5	0,528453009	0,189669
W1,20	0,655349006		0,00125254				0,479206677	0,171993
W1,21	0,656601546		0,00115228			10,5	0,423479897	0,151992
W1,22	0,657753828		0,00106394				0,362026277	0,129936
W1,23	0,658817765		0,00098568			11,5	0,295676873	0,106122
W1,24	0,659803448		0,00091603				0,225328947	0,080873
W1,25	0,660719478					12,5	0,151933833	0,054531
							0,076484074	0,027451
						13,5

W1	0,658818	м	W2	0,236458

σ 1	337,1548	Мпа	σ 2	121,0092

При данной нагрузке в рассматриваемой балке упругие деформации практически не возникают, по критерию Мизеса рассматриваемая нагрузка не превышает допустимую.

На рис. 3 Показаны значения прогиба балки по ее длине

На рис. 4 показана зависимость W1 от i

Рис. 4

3.3. Расчет линейно - упругой задачи для бетонной балки

Для Бетона
A	B	I	E	q1	h	l	z
0,034875	8,59436693	0,00006075		0,001848	0,09	13,5	0,045
				q2		6,75
				0,003696
Для q1
W1	0,45541087	м
X1	0,02466241
σ 1	32,1844512	МПа


Для q2
W₁	0,91082173	м
X1	0,04932483
σ 2	64,3689025	МПа
σ доп	5,74·10^-5	МПа
W₁ при σ_доп	0,01415	м

Проверим выполнение условия

Следователь допустимая нагрузка должна быть уменьшена до 5,74·10^-5МПа при этом W₁=0.01415м

На рис. 5 показана зависимость прогиба от нагрузки

3.4. Расчет задачи ползучести для бетонной балки

Получаем итерационную задачу по времени t

При к=1

При к=2

При к=3

R1	R2	R3	R4	R5	R6	R7	R8	R9	R10
0,028827	0,0277	0,026617	0,025577	0,024577	0,023616	0,022693	0,021806	0,020953	0,020134
	0,028827	0,0277	0,026617	0,025577	0,024577	0,023616	0,022693	0,021806	0,020953
		0,028827	0,0277	0,026617	0,025577	0,024577	0,023616	0,022693	0,021806
			0,028827	0,0277	0,026617	0,025577	0,024577	0,023616	0,022693
				0,028827	0,0277	0,026617	0,025577	0,024577	0,023616
					0,028827	0,0277	0,026617	0,025577	0,024577
W1(t0) при q1	W1(t0) при q2			0,028827	0,0277	0,026617	0,025577
0,455410866	0,910821732				0,028827	0,0277	0,026617
								0,028827	0,0277
									0,028827

Для q1
W1(t1)	W1(t2)	W1(t3)	W1(t4)	W1(t5)	W1(t6)	W1(t7)	W1(t8)	W1(t9)	W1(t10)
0,468539	0,481533	0,494393	0,507121	0,519718	0,532186	0,544526	0,556739	0,568827	0,580791

Для q2
W1(t1)	W1(t2)	W1(t3)	W1(t4)	W1(t5)	W1(t6)	W1(t7)	W1(t8)	W1(t9)	W1(t10)
0.937078	0,963065	0,988785	1,014241	1,039436	1,064372	1,089052	1,113479	1,137655	1,161583

Рис. 6 Показывает зависимость W1 от t

Рис. 6

Заключение

Одна из важнейших задач научно-технического прогресса в строительстве – совершенствование исследований прочности и деформативности строительных конструкций.

Различными методами можно исследовать напряженно - деформированное состояние строительных конструкций при учете различных свойств материала и таких факторов как физическая нелинейность, ползучесть материала, так как такие конструкции зачастую используются для покрытия большепролетных строительных сооружений.

Новые подходы к исследованию сложных строительных конструкций основаны на системном анализе, комплексном использовании методов математического и физического моделирования. Однако комплексное применение этих методов нуждается в дальнейшем углублении и совершенствовании. Применение настоящих методик расчета даст возможность выполнить прочностные исследования сложных строительных конструкций на единой методологической основе, что позволит снизить стоимость и трудоемкость исследований, повысить достоверность и научную ценность получаемых результатов.

Список используемой литературы

В. В. Карпов, А. Н. Панин ‘’Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций’’

Расчеты напряженно - деформированного состояния балки

Поиск по сайту