Тема «Функции»
План:
Понятие функции. Способы задания функций
Основные свойства функций.
Обратная функция. Сложная функция.
4.Основные элементарные функции и их графики (конспект).
Понятие функции. Способы задания функций
Одним из основных математических понятий является понятие функции.
Определение 1: Пусть даны два непустых множества Х и У. Если каждому элементу х множества Х (х Î Х) ставится в соответствие один и только один элемент у множества У, то говорят, что на множестве Х задана функция y = f (x).
Соответствия f 1 и f 2 являются функциями, а f 3 и f 4 – нет. В случае 3 не каждому элементу х Î Х соответствует элемент y Î Y. В случае 4 не соблюдается условие однозначности.
Определение 2: Если элементами множеств Х и У являются действительные числа, то функцию f называют числовой функцией.
Переменная х называется при этом независимой переменной или аргументом, у – зависимой переменной, а буква f обозначает функциональную зависимость у от х.
Множество Х называется областью определения функции (обозначается D (y)), а множество У – областью значений функции (Е (у)).
Определение 3: Графиком функции y = f (x) называется множество точек (х; у) плоскости Оху, для каждой из которых х является значением аргумента, а у – соответствующим значением функции.
Чтобы задать функцию y = f (x), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у. Существует несколько способов задания функции.
1. Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул.
Например, 1) у 2 – 4 х = 0;
2) 
Аналитический способ задания является наиболее совершенным.
2. Графический способ: функция задается своим графиком.
Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – неточность.
3. Табличный способ: функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции f (x).
На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функции, полученных опытным путем или в результате наблюдения.
4. Словесный способ: функция описывается правилом ее составления.
Например, функция Дирихле: f (x)= 1, если х – рационально; f (x)= 0, если х – иррационально.
Основные свойства функций.
1. Четность и нечетность
Функция y = f (x) называется четной, если для любых значений х из области определения f (– x)= f (x) и нечетной, если f (– x)= – f (x). Если же f (– x)≠ f (x) ≠ – f (x), то функция y = f (x) не является ни четной ни нечетной и называется функцией общего вида.
График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной – относительно начала координат.
Пример: y = x 2 – четная функция, т.к. f (– x)= (- х)2 = x 2 = f (x);
y = x 3 – нечетная.
2. Монотонность.
Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке А, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
Пусть х 1, х 2Î А и х 2> х 1. Тогда функция возрастает на промежутке А, если f (х 2)> f (х 1) и убывает если f (х 2)< f (х 1).
| 
|
| Рис. 1. Возрастающая функция | Рис. 2. Убывающая функция |
Возрастающие и убывающие функции на множестве А называются монотонными на этом множестве. Промежутки, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.
3. Ограниченность.
Функция f (x) ограниченной на промежутке А, если существует такое число М >0, что для всех х Î А выполняется неравенство ï f (x)ï£ М. В противном случае функция называется неограниченной.
График ограниченной функции лежит между прямыми y = М и y = – М.
Например, функция y = cos x ограничена на всей числовой оси, т.к. ïcos x ï£1 для любого х Î R.
4. Периодичность.
Функция y = f (x), определенная на множестве D, называется периодической, если существует такое число Т >0, что при каждом хÎ D значение (х + Т)Î D и f (x + Т) = f (x). Число Т при этом называется периодом функции.
Периодическими являются, например, функции y = sin x и y = cos x с периодом Т =2π и y = tg x, y = ctg x с периодом Т =π.