Момент инерции.
При рассмотрении вращательного движения необходимо ввести новые физические понятия: момент инерции, момент силы, момент импульса.
Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении тела.
Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения равен произведению её массы на квадрат расстояния до рассматриваемой оси вращения (рис.1):
.
зависит только от массы материальной точки и её положения относительно оси вращения и не зависит от наличия самого вращения.
Момент инерции - скалярная и аддитивная величина, поэтому момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его точек:
.
В случае непрерывного распределения массы эта сумма сводится к интегралу:
,
где 
- масса малого объема тела 
, 
- плотность тела, 
- расстояние от элемента до оси вращения.
Момент инерции является аналогом массы при вращательном движении. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить угловую скорость вращаемого тела. Момент инерции имеет смысл только при заданном положении оси вращения. Бессмысленно говорить просто о “моменте инерции”. Он зависит:
1)от положения оси вращения;
2)от распределения массы тела относительно оси вращения, т.е. от формы тела и его размеров.
Экспериментальным доказательством этого является опыт со скатывающимися цилиндрами.
Произведя интегрирование для некоторых однородных тел, можно получить следующие формулы (ось вращения проходит через центр масс тела).
1. Момент инерции обруча (толщиной стенок пренебрегаем) или полого цилиндра:
.
2. Момент инерции диска или сплошного цилиндра радиуса R:
,
где 
.
3. Момент инерции шара
.
4. Момент инерции стержня
.
Если для тела известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, находится по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.
,
где d расстояние от центра масс О до оси вращения (рис. 2).
Центр масс - воображаемая точка, положение которой характеризует распределение массы данного тела. Центр масс тела движется так же, как двигалась бы материальная точка той же массы под действием всех внешних сил, действующих на данное тело.
Понятие момента инерции было введено в механику отечественным ученым Л. Эйлером в середине XVIII века, и с тех пор широко используется при решении многих задач динамики твердого тела. Значение момента инерции необходимо знать на практике при расчете различных вращающихся узлов и систем (маховиков, турбин, роторов электродвигателей, гироскопов). Момент инерции входит в уравнения движения тела (корабля, самолета, снаряда, и т.п.). Его определяют, когда хотят узнать параметры вращательного движения летательного аппарата вокруг центра масс при действии внешнего возмущения (порыва ветра и т.п.).
Момент силы.
Одна и та же сила может сообщать вращающемуся телу разные угловые ускорения в зависимости от её направления и точки приложения. Для характеристики вращающего действия силы вводят понятие момента силы.
Различают момент силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси. Моментом силы относительно точки О (полюса) называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора 
проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы: 
.
Поясняющий это определение рис. 3 выполнен в предположении, что точка О и вектор 
лежат в плоскости чертежа, тогда вектор 
также располагается в этой плоскости, а вектор 
^ к ней и направлен от нас (как векторное произведение 2-х векторов; по правилу правого буравчика).
Модуль момента силы численно равен произведению силы на плечо:
,
где 
- плечо силы относительно точки О, a - угол между направлениями и , 
.
Плечо - кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.
Вектор момента силы сонаправлен с поступательным движением правого буравчика, если его рукоятку вращать по направлению вращающего действия силы. Момент силы - аксиальный (свободный) вектор, он направлен вдоль оси вращения, не связан с определенной линией действия, его можно переносить в
пространстве параллельно самому себе.
Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется проекция вектора на эту ось (проходящую через точку О):
.
Если на тело действуют несколько сил, то результирующий момент сил относительно неподвижной оси Z равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно этой оси.
Если сила, приложенная к телу, не лежит в плоскости вращения, её можно разложить на 2 компоненты: лежащую в плоскости вращения 
и перпендикулярную к ней Fn. Как видно из рисунка 4, Fn вращения не создает, а приводит только к деформации тела; вращение тела обусловлено только составляющей Ft.
Основное уравнение динамики вращательного движения.
Выберем произвольно некоторую точку с массой mi, на которую действует сила 
, сообщая точке ускорение 
(рис. 5). Поскольку вращение создает только тангенциальная составляющая, для упрощения вывода направлена перпендикулярно оси вращения.
В этом случае 
.
Согласно второму закону Ньютона 
. Умножим обе части равенства на ri:
,
,
где 
- момент силы, действующей на материальную точку,
- момент инерции материальной точки.
Следовательно, 
.
Для всего тела: 
, 
,
, (1)
т.е. угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту действующих на него внешних сил и обратно пропорционально его моменту инерции. Уравнение (1) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси, или второй закон Ньютона для вращательного движения.