Некоторые особенности усвоения математических понятий и их определений учащимся

В большинстве случаев в школьном преподавании применяется конкретно-индуктивный способ введения нового понятия, когда начинают с рассматривания конкретных примеров и путем мыслительных операций (анализа, сравнения, абстрагирования, обобщения, синтеза) приводят учащихся к образованию новых понятий. При умелом, продуманном проведении этого процесса учащееся почти всегда способны сами сформулировать определение нового понятия.

Конкретно-индуктивным методом вводятся понятия в пропедевтических циклах начал алгебры и геометрии в 1-6 классах, причем многие определяемые понятия там были введены без определений, описательно.

Приступая к изучению систематических курсов в 7 классе, пользуются всеми этими понятиями как известными. Так уже на первых уроках геометрии в 7 классе употребляются понятия “точка”, «прямая”, “ плоскость”, “ расстояние” и выясняется, что они будут первичными геометрическими понятиями, принимаемыми без определения, остальным понятиям даются определения.

Здесь же выясняется абстрактный характер геометрических понятий (точка не имеет размеров, прямая не ограничена, бесконечна и т. п.), мотивируется необходимость подобного абстрагирования, показывается логическое строение геометрии, роль аксиом и теорем.

Об определении не имеет смысла говорить, истинно оно или ложно. Определение может бить правильным (корректным) или неправильным (некорректным) в зависимости от того, удовлетворяет оно или нет определенным требованиям.

В определение через род и видовое отличие должен вклю­чаться ближайший род, что обеспечивает краткость определения.

Важно обучать школьников отысканию лишних слов в определении. Имеет смысл давать задания: отыскать лишние слова, например, в определении «Диаметром окружности называется отрезок, проходящий через ее центр, соединяющий две ее точки и делящий окружность пополам».

Полезны упражнения по сокращению определения путем использования термина (см. предыдущее определение).

Полезно давать задания на сравнение двух одинаково правильных и одинаково кратких определений с точки зрения того, какое из них легче проверить (подвести конкретный случай под определение).

Например, 1) диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр;

2) диаметром окружности называется ее наибольшая хорда.

Определяемое и определяющеепонятия должны быть соразмерны,то есть равны по объему. Нарушение этого требования приводит к ошибкам:

а) ошибка «слишком широкого определения», при которой объем определяющего понятия становится шире объема определяемого. Например, параллелограмм – это многоугольник, противоположные стороны которого параллельны. Контрпример – шестиугольник, противоположные стороны которого параллельны. Например, ромб—четырехугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями (контпример - ромбоид).

б) ошибка «слишком узкого определения», при этом в качестве видового понятия берется отличительный признак не вида, а подвида. Объем определяющего понятия оказывается уже объема определяемого. Например, параллелограмм – это четырехугольник с равными сторонами. Исправление ошибки – пример параллелограмма, который не подпадает под это определение. Например, ромб—четырехугольник с прямыми углами и взаимно перпендикулярными диагоналями. Нарисовать ромб, но не квадрат.

Так как профилактика всегда лучше лечения, то соответствующую работу следует проводить непосредственно в процессе изучения данного понятия.

Следующее требование к определению - независимость су­щественных свойств друг от друга. Другими словами, одни свой­ства, включенные в определение, не должны быть логическим следствием других. Это требование краткости вводимого опре­деления. В школьном курсе математики это требование, к сожа­лению, не выдерживается. Пример: определения прямоугольника и ромба в школьном курсе геометрии.

Еще одно требование - определение не должно содержать порочного круга. Нарушение этого требования приводит к ошибкам:

а) определение понятия через само себя (тавтология), то есть определяемое содержится (явно или неявно) в определяющем. Например, «решение уравнения – это то число, которое является его решением». «Подобными называются фигуры, которые между собой подобны». «Геометрия – это наука о геометрических фигурах». Учителю следует разъяснять смысл и назначение определения;

б) круг в определении, то есть при определении используется другое понятие, которое в свою очередь определяется с помощью первого. Например, «Угол называется прямым, если его стороны взаимно перпендикулярны" и "Две прямые взаимно перпендикулярны, если они образуют прямой угол". «Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел» и «Произведением чисел называется результат умножения этих чисел». В подобных случаях надо сопоставить оба определения, разъяснить суть ошибок.

Отсутствие в определении избыточности. Это означает, что в определении не должно быть указано лишних свойств, вытекающих из других свойств, также включенных в определение понятий. Например, «Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны». Требование равенства противоположных сторон четырехугольника – избыточно. Это свойство параллелограмма, которое доказывается учащимися.

Необходимо, чтобы определяемый объект существовал. Например, «Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого все углы – тупые».

Серьезным недостатком преподавания является неправильная методика исправления ошибок в определениях, даваемых учащимися. Если ученик неправильно дает определение понятия, то нельзя вызывать второго, третьего и т.д. ученика, пока кто-то не даст правильное определение, не выясняя, в чем ошибка (ее причина, сущность) и, следовательно, не предупреждая повторения ее другими учениками.

Важно требовать полных ответов учащихся. Они часто теряют определяющее слово. Например,

- Какие многоугольники называются подобными?

- Это, если углы одного равны углам другого.

Можно сделать выводы.

1. При введении математических понятий учащиеся должны понимать, что существуют различные их определения. В учебнике выбирается одно из них из методических соображений.

2. Не обязательно сразу давать учащимся определение в законченной форме. Полезна деятельность школьников по отысканию правильной формулировки, ее уточнению, отбрасыванию лишних слов.

3. При повторении определения на последующих уроках следует на примерах показывать ошибочность определений учащихся, либо подтверждать приемлемость определений.

4. Необходимо вести систематическую работу по выработке навыков подведения под определение.

Что значит, что понятие и его определение усвоено учащимся, какие уровни усвоения поня­тий возможны?

Уровни усвоения учащимися понятий можно пред­ставить в виде следующей последовательности. Учащийся:

- узнает понятия;

- знает формулировку определения;

- понимает значение каждого слова, каждой составной части определения, отделяет существенные свойства от несуществен­ных;

- может привести собственные примеры объектов, подходящих под определение;

- может доказать, почему некоторый объект подходит под опре­деление, а другой - нет;

- может использовать понятия в явных ситуациях при решении задач;

- может использовать понятия в неявных ситуациях, при реше­нии нестандартных задач.

Перечисленные уровни - конкретные дидактические цели изу­чения понятий.

Какие цели развития учащихся может ставить учитель при изу­чении определений? Это - учить правильно формулировать опре­деления, отделять существенные свойства от несущественных, понимать зависимость между существенными свойствами в опре­делении, осознавать приемы, которые используются при решении задач: подводить под определения, классифицировать, устанав­ливать связи между понятиями. Эти умения относятся к общим интеллектуальным умениям, так как используются в различных на­уках и школьных предметах. Эти умения являются умениями раз­витого понятийного логического мышления.