С65
Сорокин А. С.
С65 Техника счета (Методы рациональных вы*
числений). М., «Знание», 1976.
120 с. (Нар. ун-т. Естественнонаучный фак.)
В книге в научно-популярной форме представлен один из
интересных разделов вычислительной математики.
Автор дает систематическое изложение приемов, упрощаю-
щих сложение, умножение, деление, возведение в степень и
извлечение корня.
Книга раcчитана на студентов технических вузов, инже-
неров и экономистов. Она может быть полезна учителям сред-
ней школы при организации лекций по устному счету, а также
слушателям народных университетов естественнонаучных зна-
ний и всем, кому приходится иметь дело с вычислительными
операциями.
г 20200—126,,„
073(02Р76 Б3~16-3-76 б1
(С) Издательство «Знание», 1976 г.
ВВЕДЕНИЕ
Современный уровень развития социалистического
народного хозяйства характеризуется повсеместным внед-
рением электронно-вычислительной техники и экономи-
ко-математических методов во все отрасли советской
экономики. Все чаще и чаще математические расчеты
входят в качестве необходимой составляющей в работу
Рабочего, инженера, экономиста, в работу специалистов,
Ранее никогда не сталкивавшихся с необходимостью вы-
полнять вычислительные работы. Но несмотря на то, что
математическая культура современного производствен-
ника стала несоизмеримо выше по сравнению с уровнем
рабочего первых пятилеток, на арифметические расче-
ты, когда их приходится выполнять, тратится неоправ-
данно много времени. «Неумение считать быстро и про-
сто является настолько общим и современным недостат-
ком, что мы его не замечаем, несмотря на весь
приносимый им вред»,— писал И. Ф. Слудский в 1925
году. К сожалению, эта цитата не устарела и сегодня,
правда, с учетом того, что сейчас под умением быстро и
просто считать понимается несколько иное, чем имелось
в виду в то время. Отсутствие навыков в быстрых при-
ближенных вычислениях часто заставляет отказываться
от оценочных расчетов, от рассмотрения ряда вариантов,
столь необходимых для принятия грамотного решения.
Преклонение перед математикой как самой точной на-
укой нередко переходит в веру непогрешимости и опти-
|мальности тех методов счета, которые мы познаем в
средней школе. Любое вмешательство в рутинные, но
|хорошо освоенные нами методы счета чаще всего вызы-
|ает протест (иногда неосознанный), который прежде
проявляется в отношении к новым методам,
Овладение рациональной, быстрой и изящной техни-
кой счета требует от человека определенных усилий, а|
главное—творческого отношения к вычислительному про-
цессу, ибо наиболее эффективные методы, дающие наи-
больший выигрыш в вычислительной работе, основаны
на сознательном использовании основных особенностей
чисел, применяемых в вычислениях. Знание же этихваж-
ных свойств конкретных чисел дает порой исключитель-
ные результаты. Например, даже при наличии арифмо-
метра выполнить умножение чисел 0,9999997-0,9999998-
дело нелегкое (подобные и еще более сложные вычис-
ления приходится производить при расчете надежности
элементов и систем). Но вычисление выполняется устно
проще и быстрее, чем на любой математической машине
Ознакомившись с методом дополнений, вы сможете убе
диться в правильности этого утверждения.
В настоящее время на русском языке отсутствует ли-
тература, хотя бы относительно полно освещающая при-
емы и методы, упрощающие вычисления. Одна из наибо-
лее известных в этой области книга математика Г. Н]
Бермана «Приемы счета» содержит очень небольшое
количество известных приемов и не может удовлетво-
рить требованиям сегодняшнего дня. Но и она стала биб-
лиографической редкостью. Интересная работа Э. Кот-
лера и Р. Мак-Шейна «Система быстрого счета по Трах
тенбергу», вышедшая в переводе с английского языка в
1967 году, включает в основном специфические разработ-
ки немецкого профессора.
Настоящая работа призвана по возможности воспол-
нить этот пробел, помочь всем, кому приходится иметь
дело с вычислениями, предоставить в их распоряжение
наиболее рациональные приемы вычислений, существен-
но сокращающие вычислительный процесс, упрощающие
его и способствующие повышению достоверности поли
чаемых результатов.
В работе представлены материалы по рационализа-
ции выполнения основных арифметических действии
проверке правильности полученных результатов. Наибо-|
лее перспективные и общие методы автор пытался осве-
тить полнее, показать различные аспекты их применения,
чтобы читатель мог активно их освоить, а иногда и раз-
вить дальше. Стремление показать все возможности ме
тода заставляли автора иногда нарушать порядок поме-
щения материала по главам. В частности, чтобы
показать логику развития и использования метода, ма-
териал по возведению в квадрат чисел определенного ви-
да оказался в главе об умножении.
При просмотре материала может возникнуть вопрос:
неужели все написанное здесь можно запомнить? Неуже-
ли все это надо запомнить? Принципы применения ос-
новных методов, безусловно, нужно освоить. Многое бу-
дет непосредственно следовать из этих основных положе-
ний (как, например, метод дополнений). Некоторые
способы, несмотря на относительно узкий круг примене-
ния, настолько просты, что запоминаются непроизволь-
но. В детстве еще мне сообщили способ возведения в
квадрат чисел, оканчивающихся на 5, — число десятков
надо умножить на следующее число и приписать 25:
65-65=? 6-(6+1) =42 65-65 = 4225.
Этого оказалось достаточным, чтобы такой простой ме-
тод навсегда остался в памяти, и вошел в активный ар-
сенал моих вычислительных способов. Но, безусловно,
книга может чему-то научить только заинтересованного
человека, читающего ее с карандашом и бумагой в ру-
ках.
Подавляющее большинство предлагаемых способов
предельно просто, но подробное формальное описание
занимает много места. Поэтому, сталкиваясь с длинными,
многошаговыми методами вычислений, не пугайтесь, раз-
беритесь. В итоге скорее всего все окажется очень про-
сто. Большая часть приемов рассчитана на устное вы-
числение с записью окончательного результата, некото-
рые методы упрощают письменные вычисления.
Иногда выполнение арифметических действий с
одними и теми же числами описывается с применением
разных методов. Читателю предоставляется возможность
выбрать тот из них, который конкретно для него будет
наиболее прост.
В начале второй главы автор дает рекомендации по
записи и расположению чисел в вычисляемых примерах,
но в дальнейшем сам этими рекомендациями не пользу-
йся. Это не случайно. Непривычное расположение чи-
сел, непривычная запись могут мешать восприятию
нового излагаемого материала и с этим необходимо счи-
таться.
Автор будет благодарен всем читателям за высказан-
ные замечания о работе, которые можно послать или в
адрес редакции или непосредственно автору: Москва,
129243, Ракетный бульвар, д. 15, кв. 46,
Глава 1
МЕТОДЫ, УПРОЩАЮЩИЕ
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
С ложение и вычитание относятся к простей-
шим арифметическим действиям. Предпола-
гается, что читатель выполняет эти действия без затруд-
нения. Поэтому материал данной главы надо рассматри-
вать как попытку систематизировать наши знания по
технике выполнения сложения и вычитания, акцентиро-
вать внимание на тех деталях вычислительного процес-
са, которые позволяют выполнять его несколько быстрее
и с меньшими усилиями, ибо трудно назвать общие ме-
тоды, дающие существенный выигрыш в объеме вычис-
лений при выполнении сложения и вычитания.
УСТНОЕ СЛОЖЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Если возникает необходимость найти сумму ряда
многозначных чисел устно, не производя никаких запи-
сей, то можно рекомендовать следующий порядок вы-
числений, проиллюстрированный на примере сложения
чисел:
5754
2315
+ 6438
9313
Суммируем старший разряд слагаемых
5+2+6+9=22.
Сложив все цифры старшего разряда, приписываем
к сумме О
22—220
и продолжаем прибавлять цифры следующего разряда
220+7+3+4+3=237,
опять приписываем 0 и прибавляем цифры третьего разря-
да 237—2370; 2370+5+1+3+1=2380,
приписываем последний раз 0 и завершаем вычисление
суммы
2380—23 800; 23 800+4+5+8+3 = 23 820.
В конце вычислений приходится помнить относитель-
но большое число, но зато прибавляем к нему каждый
раз только число однозначное. Это существенно облегча-
ет устное вычисление.
Найдите самостоятельно суммы:
1) 2374 2) 2437 3) 1234 4) 659
3943 7538 124 3541
+ + + 35 +
6513 1467 2343 2413
7231 9325 594 79
Ответы: 1) 20061, 2) 20 767, 3) 4330, 4) 6692.