Плоскость в пространстве




 

Пусть - декартова система координат в пространстве.

Т1 (О задании плоскости в пространстве)

Всякая плоскость в пространстве задается уравнением Ax + By + Cz +D = 0 (1), где A2 + B2 + C2 > 0. Всякое уравнение (1) задает плоскость в пространстве.

 

Следствие. Уравнение плоскости в пространстве задается с точностью до постоянного множителя.

 

Т2 (о взаимном расположении 2-х плоскостей)

Пусть

Тогда:

 

 

Способы задания плоскости в пространстве

 

1. Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки

 

2. Уравнение плоскости в отрезках

, где a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

 

3. Нормальное уравнение плоскости

, где - направляющие косинусы нормали к плоскости, p – расстояние от плоскости до начала координат.

 

Прямая в пространстве

 

О. Прямая в пространстве – геометрическое место точек M(x, y, z), координаты которых удовлетворяют системе уравнений:

(*) – общее уравнение прямой

 

 

Способы задания прямой в пространстве

 

1. Каноническое уравнение прямой: , где - координаты направляющего вектора , а - координаты точки

2. Параметрическое уравнение прямой: , получаемое из канонического введением параметра t.

3. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки

 

 

Кривые 2-го порядка

 

Рассмотрим основные типы кривых 2-го порядка.

Эллипс

Эллипс (Э) - геометрическое место точек М на плоскости, сумма расстояний которых до двух заданных точек F1 и F2 постоянна

Точки F1 и F2 называются фокусами Э. Предполагается что ,где .

Если выбрать систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы, а ось ординат – через середину расстояния между фокусами, то уравнение Э запишется в виде

Свойства Э:

 

1. Ограниченность -

2. Симметрия относительно координатных осей и начала координат.

3. Эксцентриситет Э - параметр, характеризующий вытянутость Э.

4. Директрисы Э – прямые Δ, заданные уравнением: .

Директориальное свойство Э:

Пусть точка , r- расстояние от М до фокуса, d – расстояние от М до директрисы. Тогда

 

Гипербола

 

Гипербола (Г) – геометрическое место точек М на плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух заданных точек постоянен

 

- фокусы Г,

Если выбрать систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы, а ось ординат – через середину расстояния между фокусами, то уравнение Г запишется в виде

Свойства Г:

1. Симметрия относительно координатных осей и начала координат.

2. Гипербола имеет асимптоты, которые задаются уравнениями:

3. Эксцентриситет Г - параметр, характеризующий размах ветвей Г.

4. Директрисы Г – прямые Δ, заданные уравнением: .

Директориальное свойство Г:

Пусть точка , r- расстояние от М до фокуса, d – расстояние от М до директрисы. Тогда

 

 

Парабола

Парабола (П) – геометрическое место точек М на плоскости, равноудаленных от фиксированной точки F (фокуса П) и прямой Δ (директрисы параболы)

Если выбрать систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус и перпендикулярно директрисе, а ось ординат – через середину расстояния между фокусом и директрисой и параллельно директрисе, то уравнение П запишется в виде:

 

Свойства параболы:

1. Симметрия относительно оси абсцисс. Парабола расположена в верхней полуплоскости.

2. Фокальный параметр p задает размах ветвей параболы.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-07 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: