Задача 1. Оценка средней величины силы разрушения изолятора
Некая промышленная компания производит электрические изоляторы. Если во время работы изолятор выходит из строя, происходит короткое замыкание. Чтобы проверить прочность изолятора, компания проводит испытания, в ходе которых определяется максимальная сила, необходимая для разрушения изолятора. Сила измеряется в килограммах нагрузки, приводящей к разрушению изолятора. Ниже приведены результаты 30 испытаний изоляторов.
Сила, необходимая для разрушения изолятора
| 1 522 | 1 592 | ||||||||
| 1 788 |
Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности величин силы, необходимой для разрушения изолятора, доверительный уровень которого равен 95%.
Решение. Для решения задачи воспользуемся программой Excel:
Сервис Þ Анализ данных Þ Описательная статистика.
В результате для результатов проведенных испытаний изоляторов получим следующие данные:
| Сила разрушения изолятора | |
| Среднее | 1723,4 |
| Стандартная ошибка | 16,34967046 |
| Медиана | |
| Мода | |
| Стандартное отклонение | 89,55083319 |
| Дисперсия выборки | 8019,351724 |
| Эксцесс | -0,243548981 |
| Асимметричность | -0,367141545 |
| Интервал | |
| Минимум | |
| Максимум | |
| Сумма | |
| Счет |
Как показано в итоговой таблице, выборочное среднее равно 
=1723,4 кг, а выборочное стандартное отклонение равно S = 89,55 кг.
Чтобы вычислить нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала с помощью формулы (7), необходимо определить критическое значение t -распределения с 29 степенями свободы для α = 0,05. Как следует из табл. 2, критическое значение t 29 = 2,05.
Итак, =1723,4, S = 89,55, п = 30 и t 29 = 2,05. Следовательно,
1689,99 ≤ µ ≤ 1756,92.
Таким образом, вероятность того, что средняя величина силы разрушения изолятора находится в интервале от 1689,99 до 1756,92, равна 95%. Корректность этих доверительных интервалов зависит от того, насколько распределение генеральной совокупности близко к нормальному.
Задача 2. Определите критическое значение t при следующих данных.
1. 1-α = 0,95, n = 10. 2,26
2. 1-α = 0,99, n = 10. 3,25
3. 1-α = 0,95, n = 41. 2,02
4. 1-α = 0,95, n = 120. 1,98
5. 1-α = 0,90, n = 16. 1,75
Задача 3. Предположим, что = 75; S = 24; n = 36 и генеральная совокупность является нормально распределенной. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95%.
Задача 4. Предположим, что = 50, S = 15, n = 16, и генеральная совокупность является нормально распределенной. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 99%.
?
Задача 5. По каждой из выборок, приведенных ниже, постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95%, предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение.
Выборка А: 1 1 1 1 8 8 8 8
Выборка Б: 1 2 3 4 5 6 7 8
Объясните, почему эти выборки имеют разный доверительный интервал, хотя их средние значения и размах совпадают.
А: 4,5; 1,32; 3,13
Б: 4,5; 0,87; 2,05
Задача 6. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95%, для выборки {1, 2, 3, 4, 5, 6, 20}. Замените 20 на 7 и снова постройте доверительный интервал. Используя этот пример, продемонстрируйте влияние выброса (т.е. экстремального значения) на доверительный интервал.
?