Определение. Матрица А ≥ 0 называется продуктивной, если для любого вектора у ≥ 0 существует решение х ≥ 0 уравнения
х = Ах + у (2.4)
В этом случае модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной. Другими словами, модель продуктивна, если любое конечное потребление у можно обеспечить при подходящем валовом выпуске х.
Уравнение Леонтьева (2.4) можно записать следующим образом:
(Е – А)х = у, (2.5)
где Е – единичная матрица. Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы Е – А. Понятно, что если обратная матрица (Е – А)-1 существует, то из (2.5) вытекает
х = (Е – А)-1 у. (2.6)
Теорема 1 (первый критерий продуктивности).
Матрица А ≥ 0 продуктивна только тогда, когда матрица (Е – А)-1 существует и неотрицательна.
Доказательство.
Если матрица (Е – А)-1 существует и неотрицательна, то из (2.6) сразу же следует продуктивность матрицы А.
Обратно, пусть матрица А продуктивна. Рассмотрим следующие системы уравнений:
(Е – А)х = е1, (Е – А)х = е2, …, (Е – А)х = еn,
Где е1, е2, …, еn – столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы (столбцы) с1 ≥ 0, с2 ≥ 0, …, сn ≥ 0, что
(Е – А)с1 = е1, (Е – А)с2 = е2, …, (Е – А)сn = еn (2.7)
Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов с1 с 2, …, с n. Тогда вместо n равенств (2.7) можно написать одно:
(Е – А)С = Е.
Следовательно, матрица Е-А имеет обратную С, причем С ≥ 0.
Теорема доказана.
Теорема 2 (второй критерий продуктивности).
Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда её число Фробениуса меньше единицы.
Доказательство.
Пусть неотрицательная матрица А продуктивна. Тогда для любого неотрицательного вектора у существует решение х ≥ 0 уравнения (2.4) Пусть у > 0, тогда, очевидно, х > 0. Умножив равенство (2.4) слева на левый вектор Фробениуса рТА и учитывая, что
рТАА = λАрТА, (2.8)
получим
λ А (рТА х) + рТА у = рТА х,
или
(1 – λА)(рТА х) = рТА у.
Так как рТА ≥ 0 и у ≥ 0, х ≥ 0, то рТАу > 0, рТАх > 0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что λА < 1.
Обратно, пусть неотрицательная матрица А имеет число Фробениуса λА < 1. Покажем, что она продуктивна. Возьмем неотрицательный вектор у и покажем, что у системы (2.4) существует решение х ≥ 0.
Рассмотрим следующую неотрицательную матрицу размера (n + 1)(n+ 1):
а11 а12 … а1n у1
а21 а22 … а2n у2
А = …………….
аn1 аn2 … аnn уn
0 0 … 0 1
Где аij – элементы матрицы А и у1, …, уn – координаты вектора у. В более компактной форме матрицу можно записать так:
А = А у
0 1
Умножая эту матрицу слева на вектор рТ = (0, …, 0,1), легко убедиться, что
рТА = рТ.
Следовательно, одним из собственных значений матрицы А является вектор λ = 1.
Пусть вектор Х = (х1, …, хn, хn+1) = (х, хn+1) является собственным вектором матрицы А, т.е. АХ = λХ. В силу определения матрицы А эторавносильно тому, что
А у х = λ х
0 1 хn+1 хn+1
или
Ах + у хn+1 = λх,
хn+1 = λ хn+1. (2.9)
Если λ ≠ 1, то из второго соотношения системы (2.9) следует, что хn+1 = 0, в силу чего первое уравнение имеет вид Ах = λх. Следовательно, λ – собственное значение матрицы А и, по нашему предположению |λ| < 1. Таким образом, λА = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательный собственный вектор хА = (хА, хn+1), соответствующий λА =1. Очевидно, что хn+1 ≠ 0, так как в противном случае из (2.9) следовало бы, что Ах = х. А это противоречит тому, что число Фробениуса λА < 1. Поэтому мы можем считать, что хn+1 = 1. В силу того, что хn+1 = 1, равенство (2.9) принимает вид
АхА + у = хА.
Поскольку хА = (хА, хn+1) ≥ 0, то хА ≥ 0.
Следовательно, матрица А продуктивна.
Следствие.
Если для неотрицательной матрицы А и некоторыого положительного вектора у уравнение (2.4) имеет неотрицательное решение х, то матрица А продуктивна.
Доказательство.
Как было уже показано, из существования положительного решения у уравнения (2.4) следует, что λА < 1. На основании теоремы Фробениуса матрица А продуктивна.
Теорема 3 (третий критерий продуктивности).
Неотрицательная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд
Е + А + А² + … (2.10)
Доказательство.
Пусть сходится ряд (2.10). Согласно лемме его сема равна (Е – А)-1. При этом сумма указанного ряда будет неотрицательна, поскольку все слагаемые ряда неотрицательны. Итак, матрица (Е – А)-1 существует и неотрицательна. Отсюда по теореме 1.3 следует продуктивность А.
Обратное утверждение (если А продуктивна, то ряд (2.10) сходится) доказывать не будем.
Заключение
Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены одной из отраслей.
Балансовый метод – это метод взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей в них. Среди множества разновидностей балансового метода наиболее распространен межотраслевой баланс, увязывающий источники и направления использования ресурсов. Как правило, при применении балансового метода производятся вариантные расчеты с помощью вычислительной техники
Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель народного хозяйства, что позволяет проводить многовариантные расчеты структуры общественного производства по заданному объему и структуре конечного продукта. Это имеет важное значение на предварительной стадии составления плана для осуществления вариантов расчетов пропорций, темпов и отраслевой структуры экономики, а также на последующих стадиях планирования для повышения уровня сбалансированности отраслей и анализа межотраслевых связей. Таким образом, разработка межотраслевого баланса является одной из предпосылок развития методологии оптимального планирования.
Данные полученные по модели межотраслевого баланса, дают возможность судить о тенденциях развития технического прогресса, о насыщении экономики производственными фондами, капитальными вложениями, трудовыми ресурсами и т.д. Такой анализ возможен на основе сопоставления матриц прямой и полной фондо-, капитало-, трудоемкости и др.
Межотраслевой баланс, разработанный в трудовых единицах, дает информацию, необходимую для построения рациональной системы цен.
Итак, балансовый метод заключает в себе использование балансов для взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей в них.
В данной работе была рассмотрена сущность целочисленного программирования. Затронуты специальные методы решения целочисленных задач. Такие задачи возникают при моделировании разнообразных производственно-экономических, технических, военных и других ситуаций. В то же время ряд проблем самой математики может быть сформулирован как целочисленные экстремальные задачи.
Задачи такого типа весьма актуальны, так как к их решению сводится анализ разнообразных ситуаций, возникающих в экономике, технике, военном деле и других областях. Эти задачи интересны и с математической точки зрения. С появлением ЭВМ, ростом их производительности повысился интерес к задачам такого типа и к математике в целом.
Задача 1
Компания производит продукцию двух видов А и В. Обе требуют работы двух цехов сборочного и отделочного. Сведения о производстве:
| Цех | Продукция | Вместе необходимо рабочих часов | |
| А | В | ||
| Сборочный | |||
| Отделочный | |||
| Валовая прибыль на единицу |
Компания заинтересована в наибольшей прибыльности этих комбинаций продукции. Найти сколько надо производить продукции А и В, чтобы валовая прибыль была максимальная.
Решение
Введем переменные:
х1 – количество продукции вида А;
х2 – количество продукции вида В.
Строим математическую модель:
Fмах = 5х1 + 32х2 при условиях:
3х1 + 5х2 ≤ 15;
5х1 + 2х2 ≤ 10.
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, т.к. продукция выпускаемая не может быть отрицательной.
Задачу можно решить графическим методом и можно решить или проверить симплекс-методом.
Для решения графическим методом запишем граничные прямые:
1) 3х1 + 5х2 = 15;
2) 5х1 + 2х2 = 10.
Строим граничные прямые на плоскости, но для этого найдем точки для построения прямых:
1) х2 = 0; х1 = 5; х1 = 0; х2 = 3;
2) х2 = 0; х1 = 2; х1 = 0; х2 = 5.
ОДЗ – многоугольник ОАВСD.
Для определения ОДЗ (области допустимых значений) необходимо найти направление полуплоскостей.
Для испытания берем точку О(0;0) и подставляем её координаты в неравенство (1) и (2), если неравенство удовлетворяется, то полуплоскость направлена к точке (0;0). При наложении полуплоскостей друг на друга получим ОДЗ.
Строим вектор целевой функции С, перпендикулярно к нему проводим линию уровня (пунктирная линия). Перемещаем линию уровня по ОДЗ в направлении вектора целевой функции С и самая дальняя точка от начала координат – это точка А(0;3) в ней хопт.
Подставим координаты (0;3) в целевую функцию и получим её максимальное значение
Fmах = 5*0 + 3*32 = 96 ед. стоимости в точке А(0;3).
Для получения прибыли равной 96 ед.ст. необходимо включить в план продукцию типа В.
Список литературы
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 2009.
2. Архангельский Ю.С., Коваленко И.И. Межотраслевой баланс. – К.: Выща шк. Головное изд-во, 2008.
3. Математика в экономике: Учебник: в 2-х ч. Ч.1/ А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2009.
4. В.Г.Карманов. Математическое программирование: Учебное пособие – 5-е издание, стереотип-М:ФИЗМАТ, 2011г.-264с.
5. А.В.Кузнецов, В.А.Сакович, Н.И.Холод. Высшая математика: Математическое программирование. Ученик - 2-е издание. 2001г. 351с.