Средняя гармоническая простая и взвешенная

 

В ряде случаев бывают известны варианты (х) и произведение варианты на частоту (х*f), в то время как сами частоты неизвестны. В этих случаях применяется средняя гармоническая, которая бывает взвешенной и простой.

1. Средняя гармоническая взвешенная:

– средняя арифметическая взвешенная.

(4.5)

Пример: определить среднюю заработную плату работников по 3 корпусам пансионата.

Таблица 4.6 – Фонд оплаты труда по корпусам пансионата

2. Средняя гармоническая простая

Если произведение f*x=M равно 1, то для расчета средней величины применяется средняя гармоническая простая.

 

(4.6)

(4.7)

Пример: в бригаде работает 3 человека, которые оказывают одни и те же услуги

 

Таблица 4.7 – Выработка сотрудников в бригаде

Затраты времени на 1 услугу, ч, (х) Число услуг в 1 ч хf=М
1/2
1/3
1/4

 

Затраты времени на оказание одной услуги:

для 1-го работника = 1/2 ч;

для 2-го работника = 1/3 ч;

для 3-го работника = 1/4 ч.

Определить средние затраты времени на оказание услуги.

 

 

Средняя хронологическая

Средняя хронологическая применяется для расчета средней величины, если исходные данные представлены на определенные даты, моменты времени.

Пример: определить среднюю стоимость имущества пансионата за 1-й квартал по следующим данным:

Таблица 4.8 – Стоимость имущества в 1 квартале

Дата 01.01 01.02 01.03 01.04
Стоимость имущества, тыс. руб.

 

(4.8)

(4.9)

 

Средняя геометрическая

Средняя геометрическая чаще всего применяется для определения средних темпов роста в единицу времени.

Пример: определить среднегодовой темп роста продукции предприятия.

Таблица 4.9 – Выпуск продукции предприятием в 2008–2012 гг.

Показатели Годы
Выпуск продукции, млн руб. 20,0 Y1 22,0 Y2 26,4 Y3 50,1 Y4 100,2 Y5
Коэффициент роста выпуска продукции 1,1 k1 1,2 k2 1,9 k3 2,0 k4

 

(4.10)

где n – число коэффициентов роста.

 

В среднем за каждый год объем продукции возрастает в 1,497 раза (или на 149,7%).

(4.11)

(4.12)

где p – число дат.

Средняя квадратическая. Взаимосвязь степенных срених величин

 

Средняя квадратическая – простая и взвешенная.

(4.13)

(4.14)

Пример: имеются 3 земельных участка в форме квадрата со сторонами:

X1= 100 м;

Х2= 200 м;

Х3= 300 м.

Определить среднюю величину стороны земельных участков. Если примем формулу средней арифметической, то получим, что общая площадь всех участков составляет 120 000 м2, что не соответствует действительности (реальная площадь 3-х участков равна 140 000 м2:

,

т.к :

Для правильного расчета следует использовать формулу средней квадратической простой:

 

 

Все рассмотренные средние величины (кроме средней хронологической) являются степенными средними и выводятся из следующей общей формулы:

(4.15)

 

где при: k = –1 – получается средняя гармоническая;

k = 0 – средняя геометрическая;

k = 1 – средняя арифметическая;

k = 2 – средняя квадратическая;

k = 3 – средняя кубическая.

Все эти показатели рассчитываются для варьирующего признака для простых средних. Если все значения признака в ряде распределения одинаковы, то все значения средних равны. Между указанными средними величинами имеет место следующая зависимость (для одного ряда распределения):

(4.16)

Мода и медиана

Мода – это наиболее часто встречающаяся варианта распределения или варианта, имеющая наибольшую частоту.

Для дискретных радов мода определяется визуально.

Пример: определить моду следующего ряда распределения.

 

Таблица 4.10 – Данные о проданных парах обуви, ед.

Размер обуви (х) Число проданных пар (f) Накопленные частоты (cum f)
12 (2 + 10)
32 (12 + 20)
37 88 120 (32 + 88)
139 (120 + 19)
148 (139 + 9)
150 (148 + 2)
Итого 150

Модой является размер 37, т.е. наибольшее число проданной обуви было 37-го размера.

 

Мода интервального ряда определяется по следующей формуле:

(4.17)

где: х0 – нижняя граница модального интервала;

i – величина модального интервала;

fm0– частота модального интервала;

fm0-1– частота интервала, предшествующего модальному;

fm0+1– частота интервала, следующего за модальным.

Модальный интервал – это интервал, имеющий наибольшую частоту.

Пример: определить моду следующего ряда распределения:

Таблица 4.11 – Распределение работников предприятия по стажу в 2012 г.

Стаж работы, лет (x) Число работников (f) Накопленные частоты (cum f)
до 2 2–4 4–6 6–8 8–10 свыше 10
Итого 100

Ответ: наибольшее число работников имеет стаж работы 6,76 лет.

Медиана (Мe) – это варианта, которая приходится на середину ряда распределения, расположенного в порядке возрастания признаков. Она делит ряд распределения на 2 равные части.

Определение медианы для дискретного ряда распределения.

Медианой дискретного ряда является варианта, которая приходится на полусумму накопленных частот:

(4.18)

В нашем примере размер обуви 37 является также и медианой, т.е. половина проданной обуви меньше 37-го размера, другая половина – 37-го размера и больше.

Для интервального ряда Ме определяется по формуле:

(4.19)

где х0– нижняя граница медианного интервала;

i – величина медианного интервала;

– полусумма накопленных частот;

– сумма накопленных частот, интервалов, предшествующих медианному;

– частота медианного интервала.

Медианный – это интервал, на который приходится полусумма накопленных частот. В нашем примере «6–8 лет» – медианный интервал.

Это означает, что половина работников имеет стаж работы меньше 6,2 года, а другая половина больше.

Контрольные вопросы и задания

1. В чем заключается сущность статистической обработки методом средней величины?

2. Перечислите основные положения теории средних величин.

3. В каких случаях применяется средняя арифметическая простая? В чем ее отличие от средней арифметической взвешенной?

4. Какие свойства средних величин Вы знаете? Для чего они применяются?

5. Назовите виды средних степенных величин и напишите формулу степенной средней.

6. Какая зависимость существует между степенными средними величинами для одного ряда распределения?

7. Являются ли мода и медиана средними величинами и почему?

8. Как определить моду и медиану для дискретного ряда?

9. Что такое модальный и медианный интервалы? Могут ли они совпадать?

5. Изучение ВАРИАЦИи рядов распределения

Понятие вариации

Для каждой единицы изучаемой совокупности интересующий нас признак принимает различные значения, т.е. варьирует.

Вариация – это колебание признака в ряде распределения.

Рассмотрим 2 ряда чисел:

1) 75, 90, 78, 82, 93, 86

2) 65, 122, 84, 70, 105, 58

Разности следует освободить от знака для построения показателей вариации. Для этого нужно взять моду или четную степень. На этом принципе основано построение основных показателей вариации.

 





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.


ТОП 5 активных страниц!

...